1-3傍轴条件下的单球面折射成像

n ' n n ' n s' s r
-s

方法上，可假设n‘= -n (物理上无意义)则，
物象公式为： 1
P
s‟
P‟
1 2 s' s r
⑥ 当介质和球面一定时（n,n’,r 一定），*式右端一个常量
定义
n' n r
——球面的光焦度
单位：m－1，称为屈光度，用D表示。1D＝100度
如果， l s, l ' s ' , 即u,u’张开角度很小， ——近轴条件 -i1 A n l l ' n‟ 成像公式近似为： -i2 -u u‟ n' n n' n O C P r
n' n 1 n' s' ns l' l r l' l
3、球面反射的放大率：
y' s' u 1 y s u
[注] 在笛卡儿坐标系下，反射系统的实象和虚象 对应的像距的正负与折射系统恰相反. 对于反射系统：s′<0为实象，s′>0 为虚像; 对于折射系统：s′<0为虚像，s′>0 为实像.
反射系统由 值辨别物像性质的原则与折射系统相同
P
n -u
l
-i1 A

-i2
l'
n‟
P`
O
r
u‟ C s‟
-s
∴同心光束非同心光束，球面折射不能理想成像 在近轴光线条件下，很小，在一级近似下，cos1，
l r r s 2r r s cos
2 2
r r s 2r r s r r s s
同1有 : s
' 2
n'
n n n s2 r2
'
代入数据 10 cm
s2′为负，所以最后的像P2′与中间像P1′同侧，是一个虚像， 正好落在哑铃的中央
[课下练习]也可用高斯公式、牛顿公式求解！
17
来自百度文库
3)若P是一定高度的垂轴小物， 则由横向放大率公式
n
P
-s1
五、垂轴小物成像和放大率
近轴条件： 垂轴小物、 近轴光线 像也垂轴， 物与像相似 Q y P n l -u -i A n’ h -i’ l’ d u‟ O r C P’ -y’ s’ Q’
-s
y' 1、横向放大率：像与物的横向大小之比 y
y PC s r PQC∽PQC , y PC r s
u x f n 1 角向放大率： u f x n
20
作业
P27 1.8 1.9 1.12（结合1.11球面反射公式）
21
15
例：一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径 为2cm。若在离哑铃左端5cm处的轴上有一物点，试求像的位 置和性质。 n n ′ n P′ [解]：两次折射成像问题。 P O2 1 O1 P2′ 1) P为物对凸球面O1折射成像P1′ -s1 s1 ′ -s2 -s2′ '
已知: s1 5 , r1 2 , n 1, n 1.6
n ' n n ' n s r ns 由物像公式 ，变形得： s' s r s r ns
y ' ns ' y n's
#
12
1)利用 s ( f x ), s ' ( f ' x '), 牛顿公式xx ' ff ' ,
y ' ns ' y n's
2 2 2
l r s r 2r s ' r cos
' 2 ' 2
l s, l ' s ' ,
5
s' r s r 2r s r r s r
2 ' 2 ' ' 2
三、近轴条件下的物像公式
x' P’
• • P F -s
• F'
•
s'
根据上面的定义, 有：s=x+f , s'=x'+f ' 代入高斯公式，得 整理得
f' f 1 f ' x' f x
---牛顿公式(普适公式)
xx' ff '
n' n n' n f ' f 11 [注]在球面折射中, ' , ' 1, xx ' ff '三者等效 s s r s s
即：
nuy nyu
拉格朗日—亥姆霍兹不变式 （傍轴条件下，物像空间各共 13 轭量的关系）
[注] 像的性质判断（也适用于球面反射）：

y ' ns ' nu y n ' s nu
0 正立像 （虚实相反）实物虚像或虚物实像
0 倒立像 （虚实相同）实物实像或虚物虚像
n' n n' n 由折射成像公式 ' s1 s1 r1 ' ' n 得 : s1 代入数据 16 cm ' n n n s1 r1
s1′为正，所以中间像P1′与物分居球面两侧，即在顶点右侧， 16 是实像
例：一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径 为2cm。若在离哑铃左端5cm处的轴上有一物点，试求像的位 置和性质。 n n ′ ′ n P′ 2) P1 为物对凹球面O2折射成像 O2 P 1 O1 P2′ 已知 : s2 20 16 4, -s1 ′ s -s2 1 ' r2 2, n 1.6, n 1 -s2′
对整个系统来说：
1 2 2 4 8
18
最后所得的像为倒立的、放大的虚像。
小 结
单球面折射 物像公式
n n n n s s r n n n nr n nr ,f , f r n n n n
单球面反射 物像公式
s'
s
r
P`
——近轴条件下的物像公式
-s
s‟
讨论：
① 当介质和球面一定时（n,n‟,r 一定），s„与s一一对应，即： 在近轴光线条件下光束单心性得到保持。 ② 物像共轭：P物P„像；P„物P像 ③ 对凹球面折射同样适用
n' s ④ 平面 r , 则 s ' n
6
讨论：
⑤ 在球面反射中，物像空间重合，且入射光 线与反射光线行进方向相反，在数学处理

当 s 时,由物像公式得 :
' n n' ' ' f s ' r 像方焦距 n n B. 物方焦点F、物方焦距f
当 s 时,由物像公式得 : F n n -s f s ' r 物方焦距 n n -f ' ' f n ' ' C. n n f f ∵ f n
§1-3 傍轴条件下的单球面折射成像
一．符号规则 二．球面折射对光束单心性的破坏 三．近轴条件下的物像公式
四．高斯公式、牛顿公式
五．垂轴小物成像和放大率
1
单独一个球面不仅是一个简单的光学系 统，而且光学仪器中透镜的表面都是球面的 ，因而球面是组成光学仪器的最基本单元。 研究光经球面折射（和反射）是研究一般光 学系统成像的基础。
物理意义：表示光进入光学系统的折光程度——折光度
7 0 为会聚系统， 0 为发散系统， = 0 为无焦系统 .
n' n r
球面反射
2n r
8
⑦ 焦点、焦距 A. 像方焦点 F‟、像方焦距f ‟
n ' n n ' n s' s r
n
-s O s‟ f` n n` F`
整理得
n' n 1 n' s' ns n(r s ) n' ( s 'r ) 0 或 l' l r l' l 4 l l'
n' n 1 n' s' ns l' l r l' l
对一定的球面和发光点P （S一定），s'与l, l'有关， 即与入射点A有关
1 放大像 1 缩小像
2、角放大率：一对共轭光线与光轴的夹角u'与u之比 n A n’ -i u Q l’ l h -i ’ u y -u d u‟ C P O P’ -y’ s n 1 -s r s’ Q’
s
n
n [注] 角放大率和横向放大率的关系 , n 14
l
-i1 A

-i2
l'
n‟ P`
O
r
u‟ C s‟
-s
二、球面折射对光束单心性的破坏
入射光线PA, 出射光线AP‟， 若点P‟与A无关，即: 单心光束单心光束，反之， 单心光束象散光束 光线PAP'的光程为： n P
l
-i1 A

-u
-s
-i2
l'
n‟ P`
O
r
u‟ C
s‟
△ =nPA+n'AP'=nl+n'l'
1 1 2 s s r 2 2n f f , r r
19
牛顿公式： 高斯公式：
xx ff f f 1 s s
横向放大率（折射）
（反射）
y ns f x y ns x f y s f x y s x f
'
n`
O s‟
“-”号表示 f 与 f ‟永远异号，物、像方焦点一定位于球面两侧
r 球面反射时： f ' f 2
9
四、高斯公式、牛顿公式
1、高斯公式
由
n n n n s s r
两边除以光焦度
n n r n f ' r n n ' n f' ' r n n
（l, l‘无正负号）
=n [r2+(-s +r)2-2r(-s +r)cosφ]1/2 +n'[r2+(s' -r)2+2r(s' -r)cosφ]1/2
根据费马原理：（φ可变）
余弦定理 a² =b² +c² -2bccosA
d 1 1 n 2r (s r )sin n ' 2r ( s ' r )sin 0 d 2l 2l '
#
f x' f' n' ，代入 #式，得 x f' f n
h 2) tan(u ) u s y h P tan(u ) u s
Q n l -u
-s
-i A
n’
h -i’ l’ d u‟ O r C P’ -y’ s’ Q’
y nu 代入#式，得： y nu
2
一、符号规则（新笛卡儿符号法则）
（1）轴向距离（物、象、焦距、曲率半径等）： 从顶点O算起，右为正，左为负
（2）垂轴距离（物、象、高）：
主轴之上为正，下为负 （3）角度： 以光轴或法线为始边， 沿小于/2 的方向旋转， 顺为正，逆为负 （4）图中标为记均为绝对值。如-s、-i‟等
3
n P -u
得
nr 1 nr 1 1 n n s n n s
将焦距公式代入
得
f f 1 ---高斯公式(普适公式) s s
对任何理想成像过程均适用
10
2. 牛顿公式
焦物距x：物方焦点到物点的距离 焦象距x'：象方焦点到象点的距离 n' n -x -f f'
f f 1 s s
n′ O1 P2′
P1′ -s2
n O2
ns'1 1.0 16 1 2 n' s1 1.6 (5) ns'2 1.6 (10) 2 4 n' s2 1.0 (4)
s1 ′ -s2′
左端球面折射所成像为倒立、放大的实像。
0 正立像（虚实相反） 0 倒立像（虚实相同） 1 放大像 1 缩小像 右端球面折射所成像为正立、放大的虚像。