定积分的概念与性质

一、定积分的概念
（2）近似
在每个小区间［xi－1,xi］上任取
一点ξi(xi－1≤ξi≤xi)，以Δxi=xi－xi－1为底，f(ξi)为
高的窄矩形代替第i个小曲边梯形(i=1,2,…,n)，若
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记ΔAi为第i个小曲边梯形面积，则有
ΔAi≈f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)．
一、定积分的概念
（3）求和 把这样得到的n个窄矩形面积之 和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即
一、定积分的概念
(1)连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)、x轴及两条直线x=a，x=b 所围成的曲边梯形的面积等于函数f(x)在区间［a,b］上的 定积分，即
(2)物体以变速v=v(t)(v(t)≥0)作直线运动，从时刻t=T1 到t=T2，该物体经过的路程等于函数v(t)在区间［T1,T2］上 的定积分，即
定积分的概 念与性质
1. 实例引入
一、定积分的概念
实例1 求曲边梯形的面积. 设f(x)为闭区间［a,b］上的连 续函数，且f(x)≥0．由曲线y=f(x)， 直线x=a，x=b以及x轴所围成的平 面图形，称为曲边梯形，如图5-1 所示．那么，这个曲边图形的面积 如何计算呢？
一、定积分的概念
我们知道，平面图形可以划为若干个曲边梯形之 和．为了解决求平面图形面积的问题，先来解决如何 求曲边梯形的面积问题．现在，我们所遇到的主要困 难是：它的一条边f(x)是曲线，如果f(x)是平行于x轴的 直线段，则为矩形，其面积公式为
路程＝速度×时间． 但速度随时间变化的运动就不能用这种方法计算路程 了．然而，由于物体运动的速度是连续变化的，在很短的时间间 隔内，速度的变化很小，可以把这段时间间隔内变速运动近似看 成匀速运动．这就提示了计算变速直线运动路程的方法．
一、定积分的概念
（1）分割 在时间间隔［T1,T2］内任意插入n－1个分点 T1=t0<t1<…<tn－1<tn=T2，
Δsi≈v(τi)Δti(i=1,2,…,n)． （3）求和 将这n个小段路程相加就得到物体在时间间隔 ［T1,T2］上经过的路程的近似值，即
（4）取极限 记λ=max{Δt1,Δt2,…,Δtn}，当λ→0时，对 上式取极限，就得到变速直线运动在时间间隔［T1,T2］内的总 路程
一、定积分的概念
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
它们的长度依次为 Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1，
在每个小区间［xi－1,xi］上任取一点ξi(xi－1≤ξi≤xi)，作n个乘 积f(ξi)Δxi的和式
一、定积分的概念
其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称 为积分下限，b称为积分上限，［a,b］称为积分区间，“∫”称为积分 号，是拉丁文Summa一词的字头S拉长． 可见，定积分本质上就是一个和式的极限．利用定积分的定义，前面 讨论的两个实际问题可以分别表述如下：
一、定积分的概念
（4）取极限 为了保证每个小区间的长 度都趋近于零，就必须要求小区间长度的最大值 趋于零，若记λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}，则上述 条件相当于λ→0．当λ→0时(必然是小区间的个 数无限增大，即n→∞)，对上式取极限，就得到 曲边图形的面积
一、定积分的概念
实例2 变速直线运动的路程. 设某物体做直线运动，已知它的速度v=v(t)是时间间隔 ［T1,T2］上的连续函数，且v(t)≥0．该物体在这段时间内所经 历的路程如何计算呢？ 匀速直线运动中，v(t)=常数，则
一、定积分的概念
（1）分割 在［a,b］区间内任取n－1个分点 a=x0<x1<…<xn－1<xn=b，
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
它们的长度依次为 Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1，
过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形．
把［T1,T2］分成n个小段 ［t0,t1］,［t1,t2］,…,［tn－1,tn］，
各小段的时间长依次为 Δt1=t1－t0,Δt2=t2－t1,…,Δtn=tn－tn－1，
相应地，物体在各段时间内经过的路程依次为 Δs1,Δs2,…,Δsn．
一、定积分的概念
（2）近似 在时间间隔［ti－1,ti］上任取一时刻τi，以τi时 的速度v(τi)作为时间间隔［ti－1,ti］上的平均速度计算Δsi，则
（2）在上述定义中，我们实际上限定了上限大于下限， 即a<b，但在实际应用及理论分析中，会用到上限小于下限 或等于下限的情况．为此，我们把定积分的定义扩充如下：
2. 定积分的定义
前面介绍的两个实例其解决的实际问 题虽不同，但其解决问题所用的思想和方 法却是相同的，即“分割、近似、求和、 取极限”．我们就把这类问题抽象成一个 数学概念，称之为定积分．
一、定积分的概念
定义
设f(x)是定义在区间［a,b］上的有界函数，用分点 a=x0<x1<…<xn－1<xn=b
一、定积分的概念
关于定积分定义的理解，应注意以下几点： （1）定积分是一个数，它仅与被积函数f(x)和 积分区间［a,b］有关，而与积分变量用哪个字母表 示、区间如何分割（采用均匀分割或非均匀分割） 及点ξi的取法（可以取第i个小区间的左端点、右端 点或中点，也可以是区间内任意一点）无关，即有
一、定积分的概念
矩形的面积＝底×高．
一、定积分的概念
但曲边梯形的面积不能用这个公式计算，因为它各处的高是 不同的．为了解决上面的困难，我们用一组平行于y轴的直线将 曲边梯形分割成若干个小窄曲边梯形．针对每个小窄曲边梯形， 由于它的底很窄，高f(x)变化不大，可以近似地看做不变，小窄 曲边图形可近似为窄矩形．把这些小窄曲边图形面积的近似值加 起来就得到了原曲边梯形面积的近似值．可以想象，把曲边梯形 分的越细，所得到的近似值的精确度就越高．因此，当无限细分 （每个小矩形的底边长都趋于零）时，所得的近似值如果有极限， 就可定义该极限值为曲边梯形的面积．下面分四步具体讨论：