的知识讲解_高考总复习：古典概型与几何概型(提高)

高考总复习：古典概型与几何概型

【考纲要求】

1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；

2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。 【知识网络】

【考点梳理】 知识点一、古典概型

1. 定义

具有如下两个特点的概率模型称为古典概型： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。 2. 古典概型的基本特征

（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。

（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。 3.古典概型的概率计算公式

随机事件的概率

古典概型

几何概型

应用

由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么

每一个基本事件的概率都是

1

n

。如果某个事件A 包含m 个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和，即n

m

A P =)(。

所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为：

试验的基本事件总数

包含的基本事件数

事件A A P =

)(

4.求古典概型的概率的一般步骤： （1）算出基本事件的总个数n ；

（2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ； （3）应用公式()m

P A n

=

求值。 5．古典概型中求基本事件数的方法： （1）穷举法； （2）树形图；

（3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。

知识点二、几何概型

1. 定义：

事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。

2.几何概型的两个特点：

（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的； （2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3.几何概型的概率计算公式：

随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。

所以几何概型计算事件A 的概率计算公式为：Ω

=

μμA

A P )( 其中μΩ表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，A μ表示构成事件A 的区域的几何度量。

要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法.

【典型例题】

类型一、古典概型

【例1】将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，求：

（1）向上的点数一共有多少种不同的结果？ （2）点数之和是4的倍数的概率； （3）点数之和大于5小于10的概率. 【思路点拨】利用古典概型步骤进行求解：

（1）算出基本事件的总个数n ；

（2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ； （3）应用公式()m

P A n

=求值。 【解析】

（1）作图，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种.

（2）记“点数之和是4的倍数”的事件为A ， 从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共有9个：

（1，3），（2，2），（3，1），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（6，6）， 所以1

()4

P A =

； （3）记“点数之和大于5小于10”为事件B ， 从图中可以看出，事件B 包含的基本事件共有20个，

即（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（1，6），（2，5），（3，4)，（4，3），（5，2），

（6，1），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），

所以9

5

3620)(==B P . 【总结升华】

①在解决古典概型问题时，首先应当分清楚计数的类型，要分清是排列还是组合，单一的还是混合的；

②若所求事件的基本事件个数不易求，很容易出现遗漏或重复，可借助有关图形，以便更准确地把握基本事件个数.

举一反三：

【变式】用数字1，2，3，4，5组成五位数，其中恰有4个相同数字的概率为 .

【答案】1115455

5

C C C P =1254

. 【例2】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件； （2）求这个试验的基本事件的总数；

（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件? 【思路点拨】利用古典概型解题步骤进行求解。

【解析】（1）这个试验的基本事件Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，

反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；

（2）基本事件的总数是8.

（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.

【总结升华】一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件. 【例3】抛掷两颗骰子，求： （1）点数之和出现7点的概率； （2）出现两个4点的概率.

【思路点拨】根据条件列举出事件A 所包含基本事件个数。

【解析】作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集S={（x ，y ）|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤6，1≤y ≤6}中的元素一一对应.因为S 中点的总数是6×6=36（个），所以基本事件总数

n=36.

O x 65432

1（1）记“点数之和出现7点”的事件为A A 包含的基本事件数共6个：