第四章 图形的相似 复习课件

解：如图，CD＝3.6m，
∵△BDC∽△FGE，
∴ BC EF ，即 BC 2 ，
CD GE
3.6 1.2
∴ BC＝6m.
在 Rt△ABC 中，
∵ ∠A＝30°，
∴ AB＝2BC＝12 m，
即树长 AB 是 12 m.
例4 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们 来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立 的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请 你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高 度 (画出示意图)，并说明理由．
EM F
AC上，△ABC 的高 AD 与边 EF 相交于点 M，设正方形的 B
G DH C
边长为 x mm.
∵ EF//BC， ∴△AEF∽△ABC，
∴ EF AM . BC AD
又∵ AM＝AD－MD＝80－x，
则 x 80 x， 120 80
解得 x = 48.
B
A EM F
G DH C
D. 4个
2. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′，下列图形中， △ABC 和
△A′B′C′ 不存在位似关系的是
(B)
B
B
A
C'
B
B'
A(A')
C
B'
A(A') C' C
B B'
B B'
C C C'
D A(A') A A'
C' C
3. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与 △DEC
是以点 C 为位似中心的位似图形，其位似比为
4 : 3 ，面积比为 16 : 9 .
A D
BE
C
4. 在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(－6，
3)，(－12，9)，△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为
位似中心的位似图形. 若点 A′ 的坐标为 (2，－1) 则
点 B′ 的坐标为 (4，－3) .
∴△AOB∽△COD.
∴ AB BO ， ∴ 1.8 2，
CD DO
CD 6
解得 CD = 5.4m.
C
故球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方．
A 1.8m
B 2m O
6m D
考点三 位似的性质及应用 针对训练
1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 (C)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
你还有其他 方法吗？
针对训练 如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m
远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的 高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设 球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？
C
A 1.8m
B 2m O
6m
D
解：∵∠ABO=∠CDO=90°，
∠AOB=∠COD，
第四章 图形的相似 复习课件
知识框架
相似
定义
定义、判定、性质
相似图形
相似多边形 相似三角形
平行线分线段 成比例
判定
性质
位似
性质 平面直角坐标系中的位似
应用
要点梳理
1. 图形的相似 (1) 形状相同的图形
(2) 相似多边形
①表象：大小不等， 形状相同. ②实质：各对应角相 等、各对应边成比例.
(3) 相似比：相似多边形对应边的比
42
(2) 线段 AA′ 的长度是 3 .
7. 如图，△ABC 在方格纸中. (1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，3)， C (6，2)，并求出 B 点坐标；
解：如图所示， y B (2，1).
O
x
(2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内 将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′；
解：如图所示.
y
A′
B′ O
C′ x
(3) 计算△A′B′C′的面积 S. y A′
B′ O 解：S 1 48=16. 2
C′ x
谢谢
考点一 相似三角形的判定和性质
例1 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC
＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形
零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分
别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形 EFHG 为加工成的
A
正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、
(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
E′
D′
A
BG CF
P●
DE
C′
F′
G′
B′
A′
A′
G′ A
B′C′
F′
B C
G F
P●
DE
D′ E′
(4) 平面直角坐标系中的位似
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的 比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的 坐标的比为－k.
考点讲练
4. 相似三角形的应用 (1) 测高 (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在 同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距 (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角 形求解.
5. 位似 (21) 性如质果：两位个似图图形形不上仅任相意似一，对而对且应对点应到顶位点似的中连心 的线距相离交之于比一等点于，位那似么比这；样对的应两线个段图平形行叫或做者位在 一似条图直形线，上这.个点叫做位似中心. (这时的相似 比也称为位似比)
B
∴∠BAC＝∠ACE．
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△CED．
A Eຫໍສະໝຸດ Baidu
D CF
(2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长.
解：作 BM⊥AC 于点 M.
∵ AC＝AB＝6，
∴ AM＝CM＝3.
∵ AD ＝ 2CD，
∴CD＝2，AD＝4，
B
MD＝1.
A
M
E
D
CF
在 Rt△BDM 中，BM 62 32 3 3 ，
2. 相似三角形的判定
◑通过定义 (三个角分别相等，三条边成比例) ◑平行于三角形一边的直线 ◑三边成比例 ◑两边成比例且夹角相等 ◑两角分别相等 ◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例
3. 相似三角形的性质 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方
BD BM 2 MD2 2 7 ， 由(1) △ABD ∽△CED得，
BD AD，即 2 7 2，
ED CD
ED
∴ ED 7，BE BD ED 3 7.
A
M
E
D
B
CF
针对训练
1．如图所示，当满足下列条件之一时，都可判定
△ADC ∽△ACB．
(1) ∠ACD =∠B
E
B
C
4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC
=1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积 与 △DFA 的面积之比为 1 : 9 .
考点二 相似的应用
例3 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树 与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长．
解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜 子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑 顶 A. 若人眼距地面距离为 CD，测量出 CD、DE、 BE的长，就可算出纪念碑 AB 的高． 理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝ ∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE. 根据 CD DE ，即可算出 AB 的高． AB BE
；
(2) ∠ACB =∠ADC
；
(3)
AD AC AC AB
或 AC2 = AD ·AB .
A
D
B
C
2. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的 △DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条 边长为 36 和 39 ．
3. 如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上 且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与 △ABC 相似，则 AF = 2 或 4.5 . A
即这个正方形零件的边长是 48 mm.
例2 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线， 点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E. (1) 求证：△ABD ∽△CED；
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∠ACF＝120°．
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE＝60°，
5. 找出下列图形的位似中心.
6. 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1， 点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点. A
A′
B B′ O
C′ C
(1) 在图中 △ABC 内部作 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 和
△ABC 位似，且位似中心为点 O，位似比为 2 : 3.
解：如图所示.