§1 测地曲率与测地线

cosψ
−
ξ1
sinψ)•[ddξs1
cosψ
+
dξ2 ds
sinψ
+
(ξ2
cosψ
−
ξ1
sinψ
)
ddψs ]
=
dψ ds
+
ξ2•
dξ1 ds
cos2ψ
−
ξ1•
dξ2 ds
sin2ψ
=
dψ ds
+
ξ2•
dξ1 ds
=
dψ ds
+
=
dψ ds
+
而易知
r2 g22
•
d ds
⎛ ⎝
r1 g11
⎞ ⎠
=
dψ ds
≡0，
此即 gij
dui ds
duj ds
取常值，故得结论．
□
关于测地线的内蕴确定方式，一般可以考虑两种．一种是求解对应的 测地线内在形式的微分方程；其中在正交网下的测地线对应于 Liouville 形 式下的一阶常微分方程组 (1.5) 阶数较低，而当联络系数较为简单时测地线 所对应的二阶常微分方程组 (1.4) 也有可能较易求解．另一种是利用测地线 的内蕴属性，在一些特殊曲面上考虑测地线时，利用等距对应进行考虑； 其前提是已经或容易了解等距对应曲面的测地线行为．前一种解法通常依 赖于微分方程组的求解技巧；后一种解法通常依赖于几何直观能力．在下
族．为考虑曲线段 C 的弧长变分，记曲线段 C 的单位切向为 T(s) ，记曲线 段 Cβ 的弧长为
(1.6)
L(β) = L(Cβ) = ∫ba
∂r ∂s
•
∂r ∂s
ds ；
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作者：王幼宁
则有算式
L′(β) = ∫ba
∂ ∂β
∂r ∂s
•
∂r ∂s
ds
= ∫ba
∂r ∂s
•
∂2r ∂β ∂s
B(u1(b), u2(b)) 的连续可微单参数 β 正则曲线段族 Cβ : r: [a, b]→S⊂E3
s →r(u1(s, β), u2(s, β)) , ui(a, β) = ui(a) , ui(b, β) = ui(b) , i = 1, 2 ，β∈(−ε, ε) ， 其中 s 是 C0 的弧长参数（未必是 Cβ 的弧长参数），ε 是某个正数．记 C = C0: r = r(u1(s, 0), u2(s, 0)) ， 通常称曲线段族 { Cβ | β∈(−ε, ε)} 是曲线段 C 的具有固定端点的一个变分
cosψ
+
1 2E
∂lnG ∂u1
sinψ ⎠⎟⎞
=
dψ ds
+ ⎝⎜⎛
−1 G
∂ln E ∂u2
cosψ +
1 E
∂ln G ∂u1
sinψ⎠⎟⎞
．
公式 (1.2) 或 (1.3) 式称为正交网下的 Liouville 公式，它揭示出曲面上曲线
的测地曲率与曲线在曲面上由 (1.1) 式所确定的连续可微切向角函数 ψ =
曲面 S 的沿曲线 C 的单位法向 n = n(u1(s, 0), u2(s, 0)) = n(s) ，则变分向量场
可分解为
v(s) = l(s)T(s) + h(s)n(s)×T(s) ，l(a) = l(b) = h(a) = h(b) = 0 ，
其中系数函数是连续可微的．此时，(1.7) 式改写为
=
dψ ds
+
⎝⎜⎛
−(
E )2 G
du1 ds
+
(
G )1 E
ddus2 ⎠⎟⎞ ，
或写为
(1.3)
κg
=
dψ ds
+
1 EG
⎝⎜⎛−E2 2
cosψ + E
G1 2
sinψ G
⎠⎟⎞
=
dψ ds
+
−(
E )2 cosψ + ( EG
G )1 sinψ
=
d来自百度文库 ds
+
⎝⎜⎛
−1 2G
∂lnE ∂u2
(1.8)
L′(0)
=
∫ab
T•
dv ds
ds
= ∫ba T•( l′T + h′n×T + lT ′ + hn′×T + hn×T ′) ds
= ∫ba [ l′+ h (T, n, T ′)] ds = l(b) − l(a) − ∫ab hκg ds
= − ∫ab hκg ds ．
公式 (1.8) 称为曲面上具有固定端点的曲线段的弧长的第一变分公式．由此 可见，弧长的第一变分 L′(0) 由测地曲率 κg 和变分向量场 v 的垂直分量 h 确定，并且用以直接得到下列定理和推论．
du2 ds
．
故由测地曲率定义式出发进行推导可得 κg = T ′(s)•[n(u1(s), u2(s))×T(s)] = [n(u1(s), u2(s))×T(s)]•T ′(s)
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作者：王幼宁
= (ξ2 cosψ − ξ1 sinψ)•
d ds
(ξ1 cosψ + ξ2 sinψ)
=
(ξ2
(
dr dt
,
d2r dt2
,
n)
≡
0
．
测地线微分方程的常见内在形式分别为以下两种，一者为测地线弧长参数 下关于曲面一般参数 (u1, u2) 的形式
(1.4)
d2ul ds2
+
Γilj
dui ds
du j ds
=
0
,
l
=
1,
2;
C:
gij
dui ds
du j ds
=
1
;
另一者为关于曲面正交网 (u1, u2) 的Liouville形式
Γlim
dul ds
dum ds
dui ds
= [(gij)l − Γlji − Γlij]
dul ds
dui ds
duj ds
=
1 2
{2(gij)l − [(gji)l + (glj)i − (gli)j] − [(gij)l + (gli)j − (glj)i]}
dul ds
dui ds
duj ds
d2uj ds2
= (gij)l
dul ds
dui ds
duj ds
+ gij
⎛ ⎝
−Γlim
dul ds
dum⎞ ds ⎠
duj ds
+
gij
dui ds
⎛ ⎝
−Γljm
dul ds
dum⎞ ds ⎠
=
(gij)l
dul ds
dui ds
duj ds
−
Γljm
dul ds
dum ds
duj ds
−
三．弧长的第一变分公式与局部短程线
同考察面积
n
变分一样，为了
n×T
考察曲面上的曲 线段的形变对于
| v
=
∂r ∂β
β =0 = l T + h n×T
其长度的影响，
Cβ
S
可以利用变分法
T
进行一般化的讨
A
B
论．本段将讨论
较为简单的情
形，对应的几何
图 6-1
直观可以参照弦
的振动．考虑曲面 S: r = r(u1, u2) 上的具有固定端点 A(u1(a), u2(a)) 和
长 s 参数化曲线 C: ui = ui(s) 的测地曲率．为此，取自然标架场 {r; r1, r2, n} 所对应的单位正交右手标架场 {r; ξ1, ξ2, n} ，其中
ξ1 =
r1 |r1|
=
r1 = g11
r1 E
， ξ2 =
r2 |r2|
=
r2 = g22
r2 G
，g12
=
F
≡
0
．
沿曲线 C 可写
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作者：王幼宁
另一方面，在上述曲面 S 上，若指定连接两点 A(u1(a), u2(a)) 和 B(u1(b), u2(b)) 的弧长 s 参数化曲线段 C: ui = ui(s) , i = 1, 2 ，并且指定连续可微函数 h(s) 满足 h(a) = h(b) = 0 ，则一定存在曲线段族 { Cβ | β∈(−ε, ε)} 是曲线段 C 的一个固定端点的变分族，使变分向量场 v(s) = h(s)n(s)×T(s) ；此种变分通 常称为垂直变分．所指定的垂直变分可构造如下：分解
T
=
ri
dui ds
=
ξ1
g11
du1 ds
+
ξ2
du2 g22 ds
= ξ1 cosψ + ξ2 sinψ ， 其中夹角函数 ψ = ψ(s) 在曲线 C 局部总可取到连续可微的单值支，满足
(1.1)
| | cosψ =
g11
(u1(s),
u2(s))
du1 ds
，sinψ
=
g22
(u1(s),
u2(s))
+
r2•r1i g11g22
dui ds
；
r2 g11g22
•
dr1 ds
r2•r12 = r2•r21 =
(g22)1 2
=
G1 2
，r2•r11 = −r21•r1 =
−(g11)2 2
=
−E2 2
，
故进一步有
(1.2)
κg
=
dψ ds
+
1 EG
⎛−E2 ⎝2
du1 ds
+
G1 2
du2 ⎞ ds ⎠
定理 2 设曲面 S 上的连续可微单参数 β 正则曲线段族 { Cβ | β∈(−ε, ε)} 是测地线段 C 的具有固定端点的一个变分族，则 C 的弧长在该变分族中取 逗留值．
推论 2 若曲面 S 上连接两点的曲线段 C 的弧长在所有连接这两点的 曲线段的弧长值中达到最小值，则 C 必为测地线段．即：局部最短线一定 是测地线．
(1.5)
C:
dψ ds
+ ⎝⎜⎛
−1 G
∂ln E ∂u2
cosψ +
1 E
∂ln G ∂u1
sinψ⎠⎟⎞ = 0 ;
cosψ =
E
du1 ds
，sinψ
=
G
du2 ds
．
利用内在形式常微分方程组的解的唯一连续性理论，可证下述结论．
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作者：王幼宁
定理 1（测地线存在唯一性定理） 给定正则曲面 S: r(u1, u2) 之上任意 一点 P0(u01, u02) ，则存在点 P0 的某个邻域 Σ0⊂S ，使得在 Σ0 内从点 P0 出
发沿指定单位切向 T0∈TP0 存在唯一一条测地线 C: r(u1(s), u2(s)) 满足
| ⎝⎛ri
dui ⎞ ds ⎠
s
=
s0
=
T0
，ui(s0)
=
u0i
,
i
=
1,
2
．
该定理的唯一性，强调了两条测地线若相切则必然重合．该定理的证 明只要注意到下面的引理便容易得到．
引理 1
(1.4)
式第一式的满足初始条件
⎝⎛gij
dui ds
| duj
ds
⎞ ⎠
s
=
s0
=
1
的唯一解
一定适合适定条件(1.4) 式第二式．
证明 对于 (1.4) 式第一式的解函数有
d ds
⎝⎛gij
dui ds
duj ds
⎞ ⎠
=
(gij)l
dul ds
dui ds
duj ds
+ gij
d2ui ds2
duj ds
+ gij
dui ds
∂r ∂s
•
∂r ∂s
ds = ∫ba
∂r ∂s
•
∂2r ∂s∂β
ds ，
∂r ∂s
•
∂r ∂s
(1.7)
| | L′(0)
=
∫ab
T•
⎛∂ ⎝∂s
∂r ⎞ ∂β⎠
β
=
0
ds
=
∫ba
T•dds
⎛ ∂r ⎝∂β
β
=
⎞ 0⎠
ds
．
| 记曲面
S
的沿曲线
C
的切向量场
v
=
∂r ∂β
β = 0 ，通常称之为变分向量场．取
作者：王幼宁
第六章 曲面的内蕴几何初步
本章将对曲面的内蕴几何展开进一步讨论．前面已经知道，曲面的第 一基本形式确定了曲面的度量性质；同时，对于确定曲面的局部弯曲性质 而言，曲面的 Gauss 曲率以及曲面上的曲线的测地曲率都是重要的内蕴几 何量，它们衡量了几何对象的内在弯曲程度，这种内在弯曲在本质上依赖 于曲面的度量性质．对于内蕴性质的细致讨论，将会为抽象理论提供可靠 的直观基础，便于用自然和合理的方式引进新的几何空间概念并深入理解 较为抽象的几何空间．在本章的学习过程中，应该注意体会什么是空间的 基本要素．
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作者：王幼宁
例中采用后一种解法是非常方便和有效的，同时也可以推广到一般可展曲 面之上．
例 2 确定圆柱面上的测地线全体． 解 将圆柱面局部等距对应于平面，使圆柱面的经纬网对应于平面的 正交直线网．平面上的测地线全体是平面上的直线全体，可以划分为对应 于圆柱面直纹的一族平行直线，以及与该族平行直线处处相交成非平凡定 角的直线全体．于是，利用局部等距不变量和等距不变性可知，圆柱面上 的测地线全体可以划分为两族，一族是直纹，另一族是与直纹处处相交成 定角的曲线全体——圆柱螺线全体和纬圆全体． □
例 1 曲面上的运动质点的轨迹 若质点被垂直于曲面的外力约束在 正则曲面上作惯性滑动，摩擦系数为零，则质点运动轨迹一定是曲面上的 测地线． □
曲面 S: r(u1, u2) 上测地线的微分方程可以以不同的方式表示．外在形 式可写为 C: (T ′(s), n(u1(s), u2(s)), T(s)) ≡ 0 或 (r′(s), r″(s), n(u1(s), u2(s))) ≡ 0 ，或等价变形为一般参数 t 下的形式
§1 测地曲率与测地线
在第四章中已经知道，曲面上的曲线的测地曲率是曲面的内蕴几何 量，并且是平面曲线相对曲率的推广．下面对此进行进一步的讨论．
一．测地曲率的 Liouville 公式
平面曲线相对曲率可以利用切向角关于弧长的导数而确定；类似地，
曲面上的曲线的测地曲率也可以利用适当的切向角来加以刻画．
在正交网下考虑．设曲面 S: r = r(u1, u2) 的参数网正交，考虑其上的弧
ψ(s) 的关系，在欧氏平面 Descartes 直角坐标系下即为曲线相对曲率与切向
角的关系式．
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作者：王幼宁
二．测地线基本概念
定义 1 若曲面 S 上的曲线 C 的测地曲率向量恒等于零，即曲线 C 的 测地曲率 κg ≡ 0 ，则称 C 为 S 的一条测地线．
注记 1 ① 测地线是内蕴几何体． ② 测地线具有明确的外在几何意义，即：曲线 C 为曲面 S 上的测地 线当且仅当曲线 C 的曲率向量处处垂直于曲面 S 的切平面．特别当曲面 S 上的曲线 C 无逗留点时，C 为 S 上的测地线的充要条件为 N ≡ ±n ． ③ 曲面上的直线一定是曲面上的测地线．曲面上的测地线若同时为 渐近曲线，则一定是直线．旋转面的经线是其上的测地线．