平面向量总复习ppt课件

ur 2 6e1
1
ur uur e1e 2
2
e2
2
7 2
ab 7 7 2
∴θ=120°
（1）k=19
（2）k 1 , 反向 3
例4、 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a
解：设a =(x,y) 则 x2+y2=100 -4x-3y=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)
例5、 设|a|=|b|=1 |3a-2b|=3则|3a+b|=____
解：法1 a=(x1y1) b=(x2,y2)
则 a b （x1 x2，y1 y2） D
（二）向量的减法
b a +b
1、作图
平行四边形法则：uAuBur
uuur AD
uuurA DB
a
C
b
B
C
B
2、坐标运算： 设a （x1，y1），b （x2，y2）
则
a
b
（x1
x2，y1
y
）
2
r
（三）数乘向量 λ a( R)
r
r
1、a 的大小和方向（：1）长度： a
a2=a·a=|a|2(a·a= a2 )
④cosθ= ab
|a||b|
⑤|a·b|≤|a|·|b|
四、向量垂直的判定
（1） a b a b 0 向量表示
（2） a b x1x2 y1 y2 0 坐标表示
五、向量平行的判定(共线向量的判定)
（1）ra //rb b a（a 0） 向r 量表示 r
=9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12
∴(3a+b)=2 3
法2 9=9a2+4b2-12a·b
∴a·b=
1 3
又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12
∴|3a+b|=2 3
r 2 ur uur 2 ur uur 2 ur 2 ur uur uur 2
a
r
r
（2）方向：
当 0时，
a与a同向
rr
当 0时， ar与ar异向
r 当 0时， a 0
2、数乘向量的坐标运算： a （x，y）（ x， y）
3、数乘ar 向量的 运ar （算律：）ar
r a
r a
rr r r
（a b） a b
4、平面向量基本定理
ur uur
如果
e1
，e2
是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于 r
（2）b // a x1y2 x2 y1 0，其中a （x1，y1），b （x2，y2）
六、向量的长度
坐标表示
rr r r （1） a ra | a |2 ，| a |
r2 ar
（2）设 a （x，y），则| a |
x2 y2
（3）若A（x1，y1），B（x2，y
），则 2rr
七、向量的夹角 cos ra br
x12+y12=1
x22+y22=1
3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)
∴9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9
x1x2+y1y2=
1 3
3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2)
|3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2
解：∵ a 2e1 e2 2e1 e2 4e1 4e1e 2 e 2
4
ur e1
2
r e2
2
4
ur e1
uur e2
cos 60
41
4 11
1 2
1
7
∴ a 7 同理可得 b 7
r r
ab
ur uur 2e1 e2
rr
cos ra br
ur uur 3e172e2
2
| a || b |
|
AB
| （x1 x2）2 （y1 y2）2
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
特别注意：
a b 0 cos 0 为锐角或 0
a b 0 cos 0 为钝角或
由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应
排除夹角为0或 的情况，也就是要进一步说明两向量不共
B
a b x1x2 y1 y2
θ
4、运算律: （1） ab ba O
B1
A
（2）（ a）b （a b） a（ b）
（3）（a b）c ac b c
平面向量的数量积a·b的性质: ①e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b a·b=0
③a，b同向a·b=|a||b|反向时a·b=-|a|·|b|
平面向量
复习课
知识网络
向量
向量有关概念 向量的定义 单位向量及零向量
相等向量
向量的运算
基本应用
向量的加法
平行与垂直的条件
向量的减法
求长度
实数和向量的积
求角度
平行向量和共线向量 向量的数量积
一、向量的概念
向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、 相等向量、相反向量、向量的夹角等.
二、向量的表示
这一平面内的任一向量 r ur uur
a
，有且只有一对实数1，2使
a 1e1 2 e2
(四) 数量积
1、平面向量数量积的定义： a b | a | | b | cos
2、数r量积的几r何意r义：r
r
等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 方向上的投影 | b | cos 的乘积.
3、数量积的Βιβλιοθήκη Baidu标运算
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
2=2λ ∴λ=-1
k=-λ k=-1 ∴k=-1
例3、 已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)， 用a、b表示c。
解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b
线。
典型例题分析:
例1 e1、e2不共线，a=e1+e2 b=3e1－3e2 a与b是否共线。
解：假设,a与b共线则 e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe2 1=3λ 1=-3λ 这样λ不存在。 ∴a与b不共线。
例2 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)
1、字母表示：AB或a A 2、坐标表示：
rrr
a xi y j （x，y）
OA （x，y）
B
y
a
y A (x,y) a
j
O
i
x
x
三、向量的运算
（一）向量的加法 uuur uuur uuur 1、作图 三角形法则：AB BC AC a + b
平行四边形法则：
2、坐标运算： 设a （x1，y1），b （x2，yA2） a