综合法、分析法

§2.1 综合法姓名

一、学习目标：

1．了解演绎推理及直接证明的一种基本方法————综合法．

2．理解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题．

二、学习过程

（一）复习1：

复习2：课本P6最后两段

合情推理为演绎推理确定了目标和方向，演绎推理为合情推理提供了前提且对猜想作出判决和证明。

否定猜想----举反例

猜想需要推理

肯定猜想------证明

（二）知识导学

从性的原理出发,推出某个情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.

演绎推理的一般模式：

(1) -------已知的一般原理;

(2) -------所研究的特殊情况;

(3) -------根据一般原理,对特殊情况作出判断.

例如：1、每一个司机都应该遵守交通规则，（）

小李是司机，（）

所以，小李应该遵守交通规则。（）

2、设m为实数,求证:方程x2-2mx+m-1=0有两个相异的实根. 利用三段论证明时,

大前提: ;

小前提: ;

结论: .

3、写出用三段论证明f(x)=x3+sin x(x∈R)为奇函数的步骤.

大前提: ;

小前提: ;

结论: .

三段论的基本格式 M —P （M 是P ） （大前提）

S —M （S 是M ） （小前提） S —P （S 是P ） （结论） 三段论推理的依据,用集合的观点来理解:如右上图。

演绎推理是由 到 的推理,从一般性的原理出发,通过三段论的模式,推出某个特殊情况下的结论,因而只要 、 、 都正确,结论就一定正确,即演绎推理得出的结论是可靠的.

（三）引入新课

引例：四边形ABCD 是平行四边形，求证：AB=CD ，BC=DA 。

证： 连结AC ，因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB//CD ，BC//DA 。故∠1=∠2，∠3=∠4。 又AC=CA ， △ABC ≌△CDA 。故 AB=CD ，BC=DA 。

思考：若利用三段论来证明,大前提，小前提，结论分别是什么？

直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为直接证明，其一般形式为：

。 （左→右，即综合法；右→左，即分析法） 综合法和分析法是直接证明的两种基本方法。

思考：综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

（四）学习新知

1．综合法的定义

从命题的 出发，利用 、 、 及 ，通过 ，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法(顺推证法) ．

2．综合法证明的思维过程

用P 表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用 框图表示为： P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q

说明：(1)综合法是“________ ”，其特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．

(2)综合法的书写形式一般为：“ 因为…… 所以…… ” (或“ ∵… ∴… ”)或 “ ⇒ ”.

3．综合法证明问题的步骤

第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．

第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．

第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．

（五）例题分析

例1 求证：π是函数)42sin()(π

+=x x f 的一个周期。

利用三段论证明时,

大前提:一般地，对于函数f (x )，如果存在____________，对定义域内的任意一个x 值，都有____________，我们就把f (x )称为周期函数，____称为这个函数的周期．

⎫

⎪⎪⎬⎪⎪⎭

本题条件已知定义⇒A ⇒B ⇒C ⇒本题结论已知公理已知定理

小前提: ; 结论: . 思考：如何用综合法书写证明过程？

例2：（韦达定理）已知1x 和2x 是一元二次方程)04,0(02

2≥-≠=++ac b a c bx ax 的两个根。求证：a

c x x a b x x =-=+2121,。 利用三段论证明时,

大前提: ; 小前提: ; 结论: . 思考：如何用综合法书写证明过程？

例3：已知：x,y,z 为互不相等的实数，且,111x

z z y y x +=+=+求证：.1222=z y x 证明：根据条件,11z y y x +=+可得.11yz

z y y z y x -=-=- 又由x,y,z 为互不相等的实数，所以上式可变形为 。

同理可得 ,,z

y x z zx x z y x xy --=--= 所以 .1222=------=z

y x z x z y x y x z y z y x (六)课堂练习：

在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a 、b 、c ，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，

求证：△ＡＢＣ为等边三角形．

分析：由A,B,C 是△ABC 的内角可得什么？由A,B,C 成等差数列可得什么？由a,b,c 成等差数列可得什么？

(六)课堂练习：课本第9页练习

12页习题1-2 2，3 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 组长或教师评价 该同学（学生）完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

?怎样把边,角联系起来222:2cos b a c ac B =+-（提示：余弦定理）