等比数列第一课时(公开课)

常数
性质
通项 通项 变形
an a1 q n k an akq
n 1
(n, k N )
*
an a1 (n 1)d a n a k (n k )d *
(n, k N )
解：设它的第一项是 a1，则由题意得
1 51 4 a1 ( ) 3 9
解得，
a1 36
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. 解：设它的第一项是 a1，公比是 q ，则由题意得 a1q 10 ， a1q 2 20 解得， a1 5 ， q 2 a4 a1q3 40 因此 答：它的第一项是5，第4项是40.
2 4 8 16
5 ， 5， 5， 5 ， … 1，-1，1，-1，… 1， 0， 1， 0， … 0， 0， 0， 0， …
当q<0，各项符号正负相间 4. 数列 a, a , a , … a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等差数列通项公式的推导:
a4 a3 d (a1 2d ) d
a1 3d
an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
… …
an q n 2 等比数列通项公式的推导： an 1
方法一:叠乘法
a2 q a1
a3 q a2 a4 q a3 an q an 1
是,公比 q=3
1 是,公比 q= 2
5， 5， 5， 5， 5， 5， … 1，-1，1，-1，1，… 1， 0， 1 ， 0， 1， …
是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(6)
(7)
0， 0， 0 ， 0， 0， … 2 3 4
1, x , x , x , x , ( x 0)
旧知回顾
名称 概念 常数 性质 通项 通项 变形 等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零
an a1 (n 1)d
a n a k (n k )d
(n, k N )
*
创设情景,引入新课
（1）“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
a 3 4 128 5 q 32 q 2 4 a 8 128
∴ a 10 = a 3×q 10 －3= －4×(-2) 7= 512
回顾小结
等比数列 从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 公比(q) q可正可负,但不可为零
名称 概念
等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零
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等差数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一 项与它的前一项的 差 等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列 ，这个常数叫 做等差数列的公差（d）。
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) (2) (3) (4) (5) 1，3，9，27，81，…
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16

an 0
an a1 q
n 1
变形结论:
在等差数列 an 中
an am (n m)d
(n, m N * )
试问：在等比数列 an 中，如果知道 am 和公 比q，能否求 an ？如果能，请写出表达式。
an amq
n m
(n, m N )
*
等比中项的定义
（2） 一位数学家说过：你如果能将一张 纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬 上月球。
以上两个实例所包含的数学问题:
1 1 1 1 (1) 1 ， ， ， ， ，… 4 8 2 16
(2) 1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，…
等比数列概念
等比数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一 项与它的前一项的 比 等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫 做等比数列的公比（q）。
方法一:(叠加法)
a2 a1 d a3 a2 d a4 a3 d … … an1 an2 d
an an1 d

an an1 d
a2 a1 d a3 a2 d
方法二:(归纳法)
(n-1)个 式子
a1 2d
(a1 d ) d
n1 n
n 1
n
a1b1 (q1q2 ) 与a1b1 (q1q2 )
an1 bn1 a1b1 (q1q2 ) n q1q2 .它是一个与n无关的常数， n 1 an bn a1b1 (q1q2 )
所以 an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列
合作交流
例3、等比数列 { a n } 中， a 4 ·a 7 = －512，a 3 + a 8 = 124,
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成 等比数列，那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下，由等比数列的定义可得
G b 即 a G 2 G ab G ab
等比数列的通项公式练习
课后练习P53 A1 ， 7
典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
是,公比 q= x
对概念的更深理解 an1 q(是与n无关的数或式子 , 且q 0） an
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
1. 各项不能为零,即 an 0 1，3，9，27，… 2. 公比不能为零,即 q 0 1 1 1 1 , , , , 3. 当q>0，各项与首项同号
公比 q 为整数，求 a 10. 法一：直接列方程组求 a 1、q。 法二：在法一中消去了 a 1，可令 t = q 5 法三：由 a 4 ·a 7 = a 3 ·a 8 = －512
2 a3 124 a3 512 0
a3 128 或a3 4
∵ 公比 q 为整数
a 3 128 a 3 4 或 a 8 4 a 8 128
等比数列的例题
求证
例2 已知 a n , bn 是项数相同的等比数列，
an bn 是等比数列.
n1 1 n1
证明:设数列 an 首项为a1,公比为q1 ;bn 首项为b1,公比为q 2 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
a1 q
即为
b1 q2 与a1 q b1 q2
解：设这个等比数列的第1项是
a
a q 12 a q 18
2 1 3 1
1
,公比是q ，那么
解得， 因此
3 q 2
2 1
16 ， a 3
1
16 答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3
16 3 a aq 8 3 2
课堂互动
1 4 (1)一个等比数列的第5项是 ,公比是 ，求它的第1项； 9 3
… …

方法二:归纳法
a2 a1q
(n-1)个 式子
a3 a2 q (a1q)q 2 a1q
a4 a3q (a1q )q
2
a1q
3
… …
n 1
an n 1 q a1
an a1q
等比数列的通项公式
等比数列 an ，首项为 a1,公比为q,则通项公式为
当q=1时，这是 一个常函数。