3-4 一阶电路的零输入响应

X
几个定义
S(t 0) R i(t)
+
us(t) -
+
C uC(t)
-
uC (0 ) U 0
如图电路，开关闭合前电 容已有初始储能，为了求 开关闭合后电容电压的变 化情况，利用叠加定理可 分解为两个电路的叠加：
R iz.i.r (t)
+
C
＋ uCz.i.r (t)
-
uC (0 ) U0 , us (t) 0
二阶动态电路：用二阶微分方程描述的动态电路。 高阶动态电路：二阶以上的动态电路。
X
几个定义
如果已知电容电压和电感电流在初始时刻的值，则 根据该时刻的输入就能确定电路中的任何变量在随 后时刻的值。 将具有这种特性的量，即电容电压和电感电流，称 为状态变量。
动态电路中，通常以状态变量作为未知量来列写方 程。
+
R
ห้องสมุดไป่ตู้
uR (t)
-
+
C
uC (t)
-
uC () 0, i() 0, uR () 0,
X
§3-4-1 一阶RC电路的零输入响应
已知uC (0 ) U0 , 求开关闭合后，t 0时的uc (t), i(t), uR (t)
KVL方程: uR uC 0
i(t)
uR
Ri, i
C
duC dt
RC
s 1 1 称为电路的固有频率(natural frequency)
RC 表示网络本身固有的特性
§3-4-1 一阶RC电路的零输入响应
观察t 0时uc (t), i(t), uR (t)的表达式可知,指数前的系数 就是这些量的初始值,所以,任意量的零输入相应都可写为
标准形式:
y(t)
y(0
KVL方程: uR uL 0
iL (t )
uR
RiL, uL (t)
L
diL dt
uL (t) L
uR (t) R
L
diL dt
RiL
0
t 0
一阶常系数线性齐次微分方程:
特征方程Ls R 0 特征根s R
解的形式为:iL (t)
Ae st
Rt
Ae L
L
其中A由初始条件确定
iL (0 )
A
U0 R
I0
§3-4-2 一阶RL电路的零输入响应
因此方程的解得:
电感电压: uL (t) 电阻电压: uR (t)
iL
(t
)
U0 R0
L diL
dt
uL (t)
Rt
Rt
e L I0e L
U0
Rt
Re L
R0 R t
I0Re L t
1t
I0e
Rt
I0Re L
0
t 0 t 0
§3-4 一阶电路的零输入响应
北京邮电大学电子工程学院 2012.6
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内容提要
几个定义 一阶RC电路的零输入响应 一阶RL电路的零输入响应
X
几个定义
动态电路中，动态元件电压电流之间存在微积分关系， 因此电路方程就需要用微分方程进行描述。线性、非 时变动态电路用线性、常系数常微分方程描述。 含有一个独立的动态元件的线性、非时变动态电路 用线性、常系数一阶微分方程描述，称其为一阶动 态电路。
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X
§3-4-1 一阶RC电路的零输入响应
t 0 电路稳态，电容储存电荷 t 0时发生换路，即开关K由1倒向2，
R0
①
i
K (t 0)
②
换路瞬间电容电压保持不变。
U0 C
uC
R
uC 0 uC 0 U0
t 0时，电容通过电阻放电，
i(t)
电容释放能量，电阻消耗能量，
电容电压 ，电路电流 t 时，电容放电结束，
R
R0
U
0
t 0时，电感通过电阻放电，
iL (t )
电感释放能量，电阻消耗能量；
电感电流 ，电感电压 t 时，电感放电结束：
uL (t) L
uR (t) R
iL () 0, uL() 0, uR () 0。
X
§3-4-2 一阶RL电路的零输入响应
已知iL (0 ) U0 R0 I0 , 求t 0时的iL (t), uL (t), uR (t)。
响应曲线:
I0 iL(t)
uL (t)
0
t
I0R
0
t
RL电路的零输入响应是一个放电过程。电感的初始储
能被电阻消耗，零输入响应逐渐衰减为零。放电完毕，电路 达到新的稳态，电感相当于短路
X
§3-4-2 一阶RL电路的零输入响应
duC dt
uC
0
t 0
+
R
uR (t)
-
+
C
uC (t)
-
一阶常系数线性齐次微分方程:
特征方程RCs 1 0 特征根s 1
解的形式为:uC (t)
Ae st
1t
Ae RC
RC
其中A为积分常数，由初始条件确定 uC 0 A U0
§3-4-1 一阶RC电路的零输入响应
因此方程的解得:
)e
1
t
,
t
0
因此，只要知道了该量的初始值和电路的时间常数，就能够得到 该量在过渡过程中的变化规律
§3-4-2 一阶RL电路的零输入响应
t 0 开关闭合，电路稳态
S(t 0)
t 0时发生换路，即开关S打开，iL
换路瞬间电感电流保持不变。
iL (0 )
iL (0 )
U0 R
I0
uL
L uR
1t
1t
uC (t) U0e RC U0e
t 0
电路中的电流:
i(t) C duC
U0
1t
e RC
t 0
dt R
1t
电阻的电压: uR (t) uC (t) U0e RC
t 0
U0 uC (t)
i(t)
t
响应曲线:
0
U0
t
R
0
RC电路的零输入响应是一个放电过程，电容的初始储能被电 阻消耗，零输入响应逐渐衰减为零。放电完毕，电路达到新的 稳态，电容相当于开路。
零输入响应
R iz.s.r (t)
+
us(t) -
+
C
uCz.s.r (t )
-
uC (0 ) 0
零状态响应
X
几个定义
零输入响应(zero input response--z.i.r)：外加激励为 零时，仅由动态元件的非零初始状态引起的响应。 零状态响应 (zero state response--z.s.r)：动态元件的 初始储能为零时，仅由外加激励引起的响应。 全响应 (complete response--c.r)：动态元件处于非 零初始状态时，电路在外加激励作用下的响应。 零输入响应与零状态响应之和。
§3-4-1 一阶RC电路的零输入响应
可以看出各电量是按照相同的指数规律变化，其变化的快慢由电 路参数R和C决定。如果R和C值一定，则过渡过程的快慢也就决 定了；同时，改变R、C值，就可以改变过渡过程的快慢程度。
时间常数： RC
时间常数的单位：伏 安
库 伏
伏 安
安秒 伏
秒
电压、电流衰减的快慢取决于时间常数的大小， 越大，衰减越慢，反之则越快。