运筹学——第2章_线性规划的图解法

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同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表最低限 约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约束条件变为等 式约束条件，加了松弛变量与剩余变量后例2的数学模 型变为标准型（注意松弛变量符号为正，而剩余变量符 号为负）：
目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2，s3≥0. s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，上式中所有的约束
线性规划的数学模型的一般形式为:


目标函数： max (min) Z=c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件： a11x1+a12x2+…+a1nxn≤( =, ≥) b1, a21x1+a22x2+…+a2nxn≤( =, ≥) b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤( =, ≥) bm, x1, x2, …, xn≥0.
第二章 线性规划的图解法
线性规划是运筹学的一个重要分支。它是现代科 学管理的重要手段之一，是帮助管理者作出最优决策 的一个有效的方法。下面看看一些在管理上经常应用 的典型线性规划问题： 1．合理利用线材问题。现有一批长度一定的钢管， 由于生产的需要，要求截出不同规格的钢管若干。试 问应如何下料，既满足了生产的需要，又使得使用的 原材料钢管的数量最少。 2．配料问题。用若干种不同价格不同成分含量的 原料，用不同的配比混合调配出一些不同价格不同规 格的产品，在原料供应量的限制和保证产品成分的含 量的前提下，如何获取最大的利润。
Q点坐标为x1=250,x2=100。也即得到此线性规划问 题的最优解，购买A原料250吨，购买B原料100吨， 可使成本最小，即2x1+3x2=2×250+3×100=800(万元)。 分析: 可知购买的原料A与原料B的总量为 250+100=350(吨)正好达到约束条件的最低限，所需 的加工时间为2×250+1×100=600正好达到加工时间 的最高限。而原料A的购进量250吨则比原料A购进量 的最低限125吨多购进了250-125=125吨， 这个超过 量在线性规划中称为剩余量。
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6．运输问题。一个公司有若干个生产单位与销售单
位，根据各生产单位的产量及销售单位的销量，如何制 定调运方案，将产品运到各销售单位而总的运费最小。 以上的这些问题，线性规划都能成功地加以解决。 这些例子都有一个共同的特点: 首先，每个例子中都要求达到某些数量上的最大化 或最小化的目标。 其次，所有线性规划问题都是在一定的约束条件下 来追求其目标的。
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像这样把所有的约束条件都写成等式，称为线性 规划模型的标准化，所得结果称为线性规划的标准形 式。在标准型中 bj(右边常量)都要大于等于零， 对某 个bj小于零时，只要方程两边都乘以(-1)即可。 实际上以后可看到应同时具备如下三个条件的模型 才是标准型： 一是约束条件必须化为等式；二是所有变量必须化 为大于或者等于零；三是约束条件中的右端常数项必 须是大于或者等于零。 对例1 的最优解 x1=50,x2=250来说，松弛变量的值 如下所示： 约束条件 松弛变量的值 设备台时数 s1=0 原料A s2=50 原料B s3=0 15
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§2.1 问题的提出
例1．某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的
生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A，B两 种原材料的消耗，以及资源的限制，如下表所示。
Ⅰ 设备 原料A 原料B 1 2 0 Ⅱ 1 1 1 资源限制 300台时 400千克 250千克
该工厂每生产一单位产品I可获利50元，每生产一单位产品 Ⅱ可获利100 元，问工厂应分别生产多少个产品Ⅰ和产品Ⅱ才 能使工厂获利最多?

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3．投资问题。从许多不同的投资项目中选 出一个投资方案，使得投资的回报为最大。 4．产品生产计划。合理充分地利用厂里 现有的人力、物力、财力，作出最优的产品 生产计划，使得工厂获利最大。 5．劳动力安排。某单位由于工作需要， 在不同时间段需要不同数量的劳动力，在每 个劳动力工作日连续工作八小时的规则下， 如何安排劳动力，才能用最少的劳动力来满 足工作的需要。
Z=1=X1+X2
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4．线性规划存在无可行解的情况。若在 例1的数学模型中再增加一个约束条件 4x1+3x2≥1200，显然可见新的线性规划的可行 域为空域，也即不存在满足所有约束条件的x1 和x2的解，当然更不存在最优解了。出现这种 情况是由于约束条件自相矛盾导致的建模错误。
400
x2 X2=250
100 100 300
x1 X1+X2=300
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4x1+3x2=1200
目标函数最小化的线性规划问题
例2 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨(A，B两种材料有一定替代性)，其中A原料 至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同， 各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需 要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总共 有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万元， 每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需要的 前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买 A，B 两种原料，使得购进成本最低? 解：设x1为购进原料A的吨数，x2为购进原料B的 吨数。得到了此线性规划的数学模型如下： 目标函数： min f=2x1+3x2， 约束条件： x1+x2≥350， x1≥125，2x1+x2≤600, x1,x2≥0.
品的 产量是不能取负值的。综上所述，就得到了例1的数学模型 如下：
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目标函数： max Z=50x1+100x2， 满足约束条件：x1+x2≤300， 2 x1+x2≤400， x2≤250, x1≥0, x2≥0. 由于上述数学模型的目标函数为变量的线性函数， 约束条件也为变量的线性等式或不等式，故此模型称 之为线性规划。如果目标函数是变量的非线性函数， 或约束条件中含有变量非线性的等式或不等式的数学 模型则称之为非线性规划。 把满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行 解。把使得目标函数值最大(即利润最大)的可行解称 为该线性规划的最优解，此目标函数值称为最优目标 函数值，简称最优值。

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对于一般线性规划问题的建模过程。应注意 如下几个问题：
1．要正确理解所要解决的问题，要搞清在什么条件
下，追求什么样的目标。 2．定义决策变量，每一个问题都用一组决策变量 (X1， X2, …, Xn)表示任何一个方案；这组决策变量的值就代 表一个具体方案，一般这些变量取值是非负的。 3．用决策变量的线性函数形式写出所要追求的目标， 称之为目标函数，按问题的不同，要求目标函数实现最 大化或最小化。 4．用一组决策变量的等式或不等式来表示在解决问 题过程上所必须遵循的约束条件。 满足以上2、3、4三个条件的数学模型称之为线性规 划的数学模型，其一般形式为: 8

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2x1+x2=400
400 x2 B Z=15000=50x1+50x2 X2=250
100 100 300
x1 X1+X2=300
Z=0=50x1+50x2
Z=10000=50x1+50x2
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线性规划存在无界解，即无 最优解的情况。对下述线性规划问 题： 目标函数： max z =x1+x2 约束条件： x1-x2≤1 - 3x1+2x2≤6 x1≥0，x2≥0．
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如何建立模型？
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这个问题可以用以下的数学模型来加以描述。工厂目前要决 策的问题是生产多少个Ⅰ产品和生产多少个Ⅱ产品，把这个要决 策的问题用变量x1、x2来表示，则称x1和x2为决策变量，即决策 变量x1=生产I产品的数量，决策变量x2=生产Ⅱ产品的数量。 用x1和x2的线性函数形式来表示工厂所要求的最大利润的目标： max Z=50 x1+100x2 （称为目标函数）。

这表明了生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消 耗完所有可使用的设备台时数和原料B，但对原料A来 说只消耗了350千克，还有(400—350)=50千克没有 使用。在线性规划中，对一个≤约束条件中没使用的资 源或能力的大小称之为松弛量。 13
松弛变量和线性规划标准化
为了把一个线性规划标准化，需要有代表没使用的
x1 X1+X2=300
B点为最优解，坐标为（50，250）
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问题的解：

最佳决策为x1=50, x2=250，此时z=27500。 这说明该厂的最优生产计划方案是生产I产品50单位， 生产Ⅱ产品250单位，可得最大利润27500元。 把x1=50, x2=250代入约束条件得： 50+250=300台时设备 2×50+250=350千克原料A， 1×250=250千克原料B．
其中max为最大化的符号(最小化为min)；50和100分别为单位产
品 Ⅰ、 Ⅱ的利润。同样也可以用x1和x2的线性不等式来表示问 题的约束条件。对于台时数的限制可以表示为： X1+X2≤300．
同样，两种原材料的限量可分别表示为： 2X1+X2≤400,
X2≤250.
除了上述约束外，显然还应该有x1≥0，x2≥0，因为Ⅰ产品, Ⅱ产
资源或能力的变量，称之为松弛变量，记为Si。显 然这些松弛变量对目标函数不会产生影响，可以在 目标函数中把这些松弛变量的系数看成零，加了松 弛变量后我们得到如下的例1的数学模型： 目标函数： max Z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3， 约束条件： x1+x2+s1=300, 2x1+x2+s2=400, x2+s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
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§2.2 图 解 法

对于只包含两个决策变量的线性规划问题，可 以用图解法来求解。大于两个决策变量不能用图解 法来解了。 图解法.首先把每个约束条件（代表一个平面） 画在二维坐标轴上。
300 x2
X1+X2=300
100
100
300
x1
10
400
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x2
2X1+X2=400
100 100 300 x2

习题1： 目标函数： max Z=6x1+2x2， 满足约束条件：2x1+3x2≤9， 4x1+7x2≤4， x1≥0, x2≥0. 1、用图解法求解 2、写出线性规划问题的标准形式 3、求出此线性规划问题的两个松弛变量的值
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线性规划问题解的有如下特点：
1．如果某一个线性规划问题有最优解，则一 定有一个可行域的顶点对应一个最优解。 2．线性规划存在有无穷多个最优解的情况。 若将例1中的目标函数变为求max Z =50x1+50x2， 则可见代表目标函数的直线平移到最优位臵后将 和直线x1+x2=300重合。详见下图。 此时不仅顶点B，C都代表了最优解，而且 线段BC上的所有点都代表了最优解，这样最优 解就有无穷多个了。当然这些最优解都对应着相 同的最优值（只有一个）： 50x1+50x2=50×50+50×250=15000。
x1
X2=250
100
100
300
x1
11
2x1+x2=400
400 x2 B Z=27500=50x1+100x2 X2=250
阴影部分的每 100 一点(包括边界 100 300 线)都是这个线 性规划的可行 解，而此公共 部分是例1的可 Z=0=50x1+100x2 行解的集合， Z=10000=50x1+100x2 称为可行域。
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x2 500
用图解法来解：
2x1+3x2=1200
300
Q点坐标为 x1=250, x2=100
2x1+3x2=800
100
Q
100
300
500
600 X1+X2=350
x1
X1=125
2X1+X2=600
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目标函数在可行域内Q点处取得最小 值。Q点
的坐标下面两方程的交点：
x1 x2 350 2 x1 x2 600
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3
从图中可知该问
x2 3
注意啊
题可行域无界， 目标函数值可以 增大到无穷大， 成为无界解即无 最优解。出现这 种情况，一般说 明线性规划模型 有错误，该模型 中忽略了一些实 际存在的必要的 约束条件。
-3x1+2x2=6 -1 X1-X2=1
1
1
-1
2
3
4
x1
Z=3=X1+X2
Z=0=X1+X2