第四篇连续时间傅里叶变换

的 傅 立
X - j xte jt dt F xt 即得证。
在上述结论的基础上，有如下推论：
叶
变
1. 若 xt 是实信号，xt xt 则
换
X - j x te jt dt xte jt dt X j
即 X - j X j
① 用直角坐标表示实信号频谱 X j
X j ReX j j ImX j
4.2
周
解：由X ( j) 2 ak ( k0 )，先求ak
k
期
信
号
的
傅
立
叶
变
换
周期信号的傅立叶变换存在条件：
4.2
周
➢ 周期信号不满足无穷时间内的绝对可积条件；
期 信 ➢引入冲激信号后，周期信号的傅立叶变换是存在的；
号
的 ➢周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，即傅立叶变
傅
立
换是一系列冲激。
再乘以
1 T0
,即是相应周期信号的频谱。
ak
2T1 T0
Sa (k0T1 )
2T1 T0
Sink0T1 k0T1
例5.求理想低通滤波器的时域表达式
X
(
j)
1, 0,
W 。 W
说明：具有此频率特性的系统称为理想低通滤波器
4.1
非
解：由x(t) 1 X ( j)e jt d
2
周 期 信
x(t) 1 W e jtd SinWt W Sa(Wt) W Sinc(Wt )
傅 立 叶
X
(
j
)
j
[
(
0
)
(
0
)]
变 换
X ( j)
j
0
0
0
j
例2.
x(t)
cos0t
1 2
[e
j0t
e
j0t
]
X ( j) 2 ak ( k0) k
4.2
解：X ( j) [ ( 0) ( 0)]
周 期
X ( j)
信
号 的
0 0 0
傅 立
例3. x(t) (t nT )
叶
示
和周期信号的情况一样，当 x(t)的傅立叶变换存在，其傅
立叶变换在 x(t)的连续处收敛于信号本身,在间断点处收敛于左
右极限的平均值，在间断点附近会产生Gibbs现像。
三、 常用信号的傅立叶变换：
例1. x(t) eatu(t), a 0
X j xt e jtdt
4.1
非 周
解：由公式：X ( j) eate jtdt 1
第四章 连续时间傅立叶变换
主要内容
连续时间傅立叶变换 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 傅立叶变换的性质 系统的频率响应
§4.0 引 言
在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号， 本章要解决的问题有两个：
1. 对非周期信号应该如何进行分解？
2. 什么是非周期信号的频谱表示？
在时域可以看到
周期信号-T-------非周期信号
限来看待，并且研究这个周期信号傅里叶表示式的极限特
性。
~x (t) :周期性矩形脉冲信号；
xt :等于一个周期内的 ~x (t)，具有有限持续期。
4.1
非
当T0 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周
周
期的单个矩形脉冲信号，即
期 信
~x (t) xt
号
的 表
考查 T0ak 的变化: 它在T0 时可以是有限的。
由例5可以想到，如果
， 将趋向于一个冲击。
非
周 期
例6.若 xt 1,
则有
X
j
2
,
Tak
X
j
x t e
jt dt
信
号
的 表
证明 Q 1
W
e jt d
1
2 W
2
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
示
1 Fou rier
2
xt 1Fou rier 2
§4.2周期信号的傅立叶变换
的
对实信号有 X - j X j
傅
立
X j X j 实信号
结论：实偶信号的傅里叶 变换是实偶函数
叶
变 3. 若 xt xt 信号是实奇函数，则其傅里叶变换有
换
X ( j) X ( j)
结论：实奇信号的傅里叶
X ( j) X *( j)
变换是纯虚的奇函数
4. 若实函数用奇、偶函数之和表示 x(t) xe (t) xo (t)
0
a j
期 信 号
所以
X ( j ) 1 a2 2
S X ( j) tg1
a
的
表
x(t )
X ( j)
S X ( j)
示
1/ a
1
t
2 2a
2
a a
0
a 0 a
2
例2. x(t) ea t , a 0，求其傅里叶变换。
4.1
解：X ( j) 0 eate jtdt eate jtdt
如上节所分析，非周期信号用傅立叶变换表示。
由于周期信号不满足傅里叶变换的收敛条件,因而不 能直接从定义出发,建立其傅立叶变换表示。
但是可以直接由周期信号的傅里叶级数构造出一个 周期信号的傅里叶变换，所得到的变换在频域是由一串 冲激组成，各冲激的面积正比于傅里叶级数系数。
傅里叶变换： X j 2 0
2. Dirichlet 条件
a. 绝对可积条件： x(t) dt
4.1
b. 在任何有限区间内，x(t)只有有限个极值点，且 x(t)
非 极值有限。
周
期 c. 在任何有限区间内， x(t) 只有有限个第一类间断点。
信
号 注意：这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件，这两 的 组条件并不等价。 表
一.从傅立叶级数到傅立叶变换
周期矩形脉冲:
xt
1, 0,
t T1 T1 t T0 / 2
4.1
非 周
频谱系数为：
ak
2
sin k0T1
k0T0
T0ak
2sink0T1
k0
期
信
号
a
20
T0ak
2 0
0
的
表
示
b
40 T0ak
4 0
0
(a) T0 4T1
(b) T0 8T1
当 T0 --- T0ak 包络的谱线间隔 ，被采样的间隔越来越小 。
2 W
t
号
W
x(t)
的 表 示
X ( j)
1
W
t
W 0 W
0
结论：和矩形脉冲情况相比, 发现信号在时域和频域间存
在一种对偶关系。
4.1
对偶情况如下图所示:
非 周 期 信 号 的 表 示
同时可以看到,信号在时域和频域之间有一种相反的关 系,即信号在时域脉冲越窄,则其频谱主瓣越宽,反之亦然。
4.1
这表明,周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成,每一个冲激分
别位于信号各次谐波的频率处,其强度正比于傅立叶级数系数 ak 。
例1：
求周期信号
x(t )
Sin0t
1 2j
[e j0t
e
j0t
]
的傅里叶变换。
4.2
周 期
解：由 X ( j ) 2 ak ( k0 ) 知，
信 号 的
k
x(t) 的S傅in里0叶t 变2换1j为[e：j0t e ] j0t
也称x(t)的频谱
从关系式
ak
1 T0
X j
1 T0
X jk0
可以看出：
4.1
非
1.周期信号的频谱正比于非周期信号频谱的抽样；
周 期
2.而非周期信号的频谱是周期信号频谱(T 0ak )的包络。
信
号 的
Tak X j xte jt dt
表
示
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
周期趋近于无穷大时，即 T0 时，原来的周期 方波就趋近于一个矩形脉冲，在时域保留下一个非周期
4.1
信号，它对应于原方波的一个周期，而傅里叶系数的采
非
周 样间隔也越来越密集，因此，傅里叶系数更加趋近于包
期 信
络函数。
号
的 表
非周期信号傅里叶表示的基本思想：
示
把非周期信号当作一个周期信号在周期任意大时的极
n
变 换
解：ak
1 T
T
2
(t)e
j 2 T
kt
dt
1
T 2
T
T 2 (t)dt 1
T 2
T
X ( j) 2 ( 2 k)
T k
T
4.2
周
期
信
号
的
傅
立
叶
变 换
x(t) (t nT ) n
X ( j) 2 ( 2 k)
T k
T
例4.周期性矩形脉冲的傅里叶变换。
4.2
对应信号为： xt 1 2
2 0 e jt d e j0t
周 期
即
F
e j0t 2
0
表明：周期性复指
信 号 的
F
数信号的频谱是一
e jk0t 2 k0 个冲激。
傅
立
当周期信号表示为 x(t)
ak e jk0t
叶
k
变 换
就有 X ( j ) 2 ak ( k0 ) k
4.1
非
这表明 (t) 中包括了所有的频率成分,所有频率分
周 期
量的幅度、相位都相同。因此单位冲激响应 h(t) 才能
信 号
完全描述一个LTI系统的特性， (t) 才在信号与系统分
的 析中具有如此重要的意义。
表
示
(t)
X ( j)
1
t
0
0
例4.求矩形脉冲的傅里叶变换:
x(t)
1, 0,
t T1 。 t T1
xt X j
表明：信号的时移只影响
则 xt t0 X je jt0
它的相频特性，其相频特 性会增加一个线性相移。
三.共轭对称性
如果 xt X j, 则 xt X - j
4.2
周 期 信 号
证明： X j xte jtdt 两边同取共轭
X j
xt
e
jt
dt
x t e jt dt
4.2
周
由 X - j X j 可得，傅里叶变换的实部和虚部分别为：
期 信
ReX j Re X - j ReX - j 实部偶函数
号 的
ImX j Im X - j ImX - j 虚部奇函数
傅
立 ② 用极坐标表示实信号频谱：X j X je jX j
叶 变
则由 X - j X j 得
换
X j X - j X - j 即模是偶函数
X j X - j X - j 即相位是奇函数
2. 若 xt x t 信号是实偶函数，则
4.2
对偶函数 X j xte jt dt
周 期
x te jtdt x e j d X - j
信 表明：偶信号的傅里叶变换是偶函数
号
傅里叶变换对
二.傅立叶变换的收敛
既然傅立叶变换的引出,是从周期信号的傅立叶
4.1
级数表示讨论周期趋于无穷时的极限而来的，那么傅
非 周
立叶变换的收敛问题，就应该和傅立叶级数的收敛相
期
一致。
信 号
傅里叶变换也有相应的两组条件：
的
1. 平方可积条件
表
示
若
2
x(t) dt
，则
X ( j)
存在
这表明所有能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。
示
由
T0ak T0 2 x t e jk0t dt T0 2
令 T0
得
lim T0ak
x
t e jk0t dt
令
X ( j)
T0
4.1
则有
非 周
X j xt e jt dt 非周期信号的傅立叶变换
期 信 号
ak
1 T0
X jk0
非周期信号的频谱
的
表
示
表明：
周期信号的傅里叶系数，是与它相对应的非周期 信号频谱的等间隔样本。
反过来
非周期信号--周---期---延拓周期信号
4.0
引
言
我们把非周期信号看成是周期信号在周期
趋于无穷时的极限，从而考查连续时间傅立叶
级数在T趋于无穷时的变化，就应该能够得到
对非周期信号的频域表示方法。
§ 4.1 非周期信号的表示
—连续时间傅立叶变换
本节主要内容
非周期信号傅里叶变换表示的导出 傅里叶变换收敛 常用连续时间信号的傅里叶变换
叶
变
换
4.3 连续时间傅立叶变换的性质
本节通过讨论连续时间傅立叶变换的性质, 揭示信号时域
4.2
周 特性与频域特性之间的关系,同时掌握和运用这些性质，以简 期 化傅立叶变换对的求取。
信 一.线性
号
的
如果 xt X j ytFY j
傅
立
则 axt byt aX j bY j
叶 二.时移 变
换
如果
解：X ( j)
T1 e jt dt
T1
2SinT1
2T1SinT1 T1
2T1Sa(T1)
2T1Sinc(T1 )
4.1
非
1 x(t)
X ( j) 2T1
周
期
t
信
T1 0 T1
T1
0
号 的
1 x(t)
表 脉宽变宽时
示
t 2T1 0 2T1
X ( j) 4T1
22TT11
将X ( j)中的
代之以k 0
根据周期信号的傅立叶系数表示：
~x t
ak e jk0t
k
1 T0
X
k
jk0
e jk0t
1
2
X
k
jk0 e jk0t0
4.1
非 周 期
当 T0
时，0
2
T0
d,
k0 ,
信 号 的
~x(t) 1 X je jtd 2
表 示
此时 ~x(t) xt
于是 x(t) 1 X ( j)e jtd
2
傅里叶逆变换
上式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连
续分布的、振幅为 1 X jd 的复指数信号之和。
2
4.1
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非 周 期
由于
X
(
j
)
lim
T0
T0
ak
lim
T0 , f0 0
ak f0
具有频谱
信 号
随频率分布的物理含义，因而称 X j为频谱密度函数。
的
表 示
而 X j xte jt dt
0
非
d周t
期
eate jtdt 1 1
0
a j a j
2a
a2
2
结论:实偶信号的傅立 叶变换是实偶函数,如 图示信号的频谱。
信
号
易看出 X ( j) X ( j)
的
表 示
x(t)
1
S X ( j) 0
2 1a
X ( j)
t
a
0
a
a
例3. x(t) (t)，求其傅里叶变换。
解：X ( j) (t)e jtdt 1