(第8讲)离散系统状态方程及解
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0
f (t )
*
f (t )
0
*
t
n 0 n 0
t
f * (t ) f (nT ) (t nT ) f (t ) (t nT ) f (t ) T (t )
f (t )
0
f (t ) 幅值 调制 t
f (t )
0
*
f * (t )
t
T (t )
t
T (t )
x(t ) (t, t0 )x(t0 )
0
x(t0 )
t
t0
t1
e At数学上叫矩阵指数，控 制理论上叫状态转移矩 阵
Φ(t0 , t0 ) I Φ(t ) AΦ(t )
Φ(t ) Φ(t, 0) eAt
Φ(t, t0 ) Φ(t t0 ) e
A(t t0 )
k 1
(t ) (t,0) e At (k ) (k ,0) Gk e AkT (kT )
性质： ( 0) I ( k , 0 ) ( k , k 0 ) ( k 0 , 0) 1 (k , k0 ) (k0 , k ), 1 (k ) ( k )
1/ T
注2：若离散信号的各 个频谱分量有重叠部分， 即使使用理想滤波器， 也无法复现原信号。 s 2s 0 max s Sichuan University s & Engineering 为了不失真地复现原信号，采样频率必须满足：of Science 2max
F * ( j )
nT T
tgq77@126.com
离散时间系统状态方程的解
x(n 1) Gx(n) Hu(n)
迭代法
x(1) Gx(0) Hu(0) x(2) Gx(1) Hu(1) k 1 x(k ) G k x(0) G k i 1 Hu(i) i 0 x(k ) Gx(k 1) Hu(k 1)
g h (t )
h
1
1
T
0
T 2T 3T 4T 5T
t
0
T
t
0
1
t
1 1 Ts 1 e Ts gh (t ) 1(t ) 1(t T ) Gh ( s) e s s s tgq77@126.com
无采样保持的离散化过程
连续时间系统
u
系统
x u
x(t ) Ax(t ) bu(t ) n 1 * u (t ) u (kT ) (t kT ) 0 t nT , k 0 t x(t ) e At x(0) e A(t )bu* ( )d x(nT ) 0
(x Ax) e At bu或 x e A bu( )d
t 0 0 At t 0 t
d At (e x) e At bu dt
At
零输入响应(自由响应)
x(t ) e x(0) e A( t )bu( ) d
2、拉普拉斯变换法： sX( s ) x(0) AX( s ) bU ( s )
Review
信号的复现：零阶保持器
在满足香农定理的条件下，从理论上说，可以无 失真地复现原信号。但是，这种理想滤波器是无法实 现的，只能寻找在特性上接近理想形状的滤波器。工 程上常采用具有滤波功能的保持器来代替。 零阶保持器是一种恒值外推装置，它把前一时刻 nT的采样值不变地保持到下一采样时刻(n+1)T。 若外施δ(t)函数，则零阶保持器 *(t),f (t) f h 的单位脉冲响应曲线为 g (t )
T
0
*
t
0
t
连续信号经过理想周期采样后的信号为周期序列信号：
f (t ) f (0) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) f (kT ) (t kT )
k 0
tgq77@126.com
Review
f (t )
幅值调制？！
T
f (t )
t
零状态响应(强迫响应)
X( s ) ( sI A) 1 x(0) ( sI A) 1 bU ( s ) x(t ) e x(0) e A( t ) bu( ) d
At 0
tgq77@126.com
Review
状态转移矩阵
x(t1 )
状态转移矩阵，就是将系统由一个状态转移到 另外一个状态，即 x(t ) (t1 , t0 )
0
连续时间系统
x(nT ) e
AnT
x(0) e A( nT )bu( )d
0
nT
e AT x(nT ) e A bd u (nT ) 0 x(n 1) Gx(n) Hu(n),G e AT , H A1 (e AT I )b
Φ1 (t ) Φ(t )
Φ(t1 t2 ) Φ(t1 )Φ(t2 ) Φ(t2 )Φ(t1 )
Φ(t2 , t1 )Φ(t1 , t0 ) Φ(t2 , t0 )
Φ1 (t, t0 ) Φ(t0 , t )
tgq77@126.com
Review
连续和离散信号
连续：模拟系统
i 0
k 1
tgq77@126.com
Example
已知系统x(n 1) Gx(n) Hu(n), 求状态方程的解。其中 1 0 1 1 G , H 1, x(0) 1, u (n ) 1, n 1,2, 0.16 1
>> G = [0 1; -0.16 -1], H = [1; 1], x0 = [1; -1] >> syms z k >> faiz = inv( z * eye(2) - G ) >> xz = faiz * (z * x0+H * ztrans(1+0 * k)) >> xk = iztrans( xz ) >>
注1：离散时间系统状态方程的解由两部分组成：一部 分是初始状态所引起的自由响应；另一部分是控制所 引起的强迫响应。 注2：第k个采样时刻的状态只取决于之前的(k-1)个输 入采样值，与第k个及以后的采样值无关。 注3：可以很好的与连续系统状态方程的解作对照。
tgq77@126.com
连续和离散系统的状态转移矩阵
连续信号经采样后所得的离散信号为一脉冲序 列，它等于该连续信号与单位理想脉冲序列的乘积。 因此，采样过程为一幅值调制过程。 tgq77@126.com
0
Review
香农（Shannon）定理
通常，连续信号f(t)的频谱为一孤立的连续谱， 其频带宽度是有限的。设F(jω)所包含的最高频率为 ωmax，典型的频谱特性如图所示。则离散信号f*(t)的 频谱F*(jω)是一系列形状相同的组成部分所构成的周 期函数。 注1：若离散信号的各个频谱 F ( j) 1 分量无重叠部分，则可将离散 信号通过理想滤波器，滤出高 频分量，取出主频分量，从而 无失真地复现原信号。 0 max
1 z z 1 1 1 [解]： G ) ( zI ( z 0.2)( z 0.8) 0.16 z 0.16 z 1 2 zz1 z 1 z zx(0) Hu( z ) z 2 2 z z 1 z 1 z 1
f (t )
信号在时间上不连续的信号，叫离散信号。含有离 散信号的系统称为离散系统。
从时间上看
离散：离散系统
连续：采样系统
f (t )
0
t
ຫໍສະໝຸດ Baidu
从数值上看 离散：数字系统
tgq77@126.com
0
t
Review
采样的概念
信号采样是指获取连续信号在特定时刻的值，采 样后信号成为离散信号，而离散信号重新复原为连续 信号的过程叫做信号的复现。信号复现通常是用“保 持器”来完成的。 对连续信号进行采样的元件叫采样开关。采样开关是 理想采样器，它只取出连续信号在特定时刻的数值。 采样按每间隔周期T闭合采样一次，称为周期采样。 间隔时间不等的采样，叫非周期采样。 f (t ) f * (t )
25 17 (0.2) k 22 (0.8) k 18 9 x(k ) 176 7 (0.2) k 88 (0.8) k 18 45 30
tgq77@126.com
Symbolic Math Toolbox of MATLAB
已知系统x(n 1) Gx(n) Hu(n), 求状态方程的解。其中 1 0 1 1 G , H 1, x(0) 1, u (n ) 1, n 1,2, 0.16 1
Modern Control Theory
现代控制理论
（第8讲 2009年4月）
线性连续系统的离散化 离散时间系统状态方程的解 自动化教研室 谭功全
tgq77@126.com
Review
非齐次状态方程的全响应
x Ax bu x(0) x 0
1、直接积分法： e e
At
1 1
X ( z ) ( zI G ) 1 zx(0) HU ( z )
25 17 z z0.2 22 z z0.8 18 z z 1 9 176 z 88 7 z z 30 z 0.2 45 z 0.8 18 z 1
u * (t ) u (nT ) t nT t (n 1)T , A( t nT ) x(t ) e x(nT ) e A(t )bu* ( )d nT ( n 1)T AT x[(n 1)T ] e x(nT ) e A( nT T )bu* ( )d
tgq77@126.com
Z变换法求解离散状态方程
x(n 1) Gx(n) Hu(n), x(0) x0
zX ( z ) zx(0) GX ( z ) HU ( z ) X ( z ) ( zI G ) 1 zx(0) ( zI G ) 1 HU ( z ) Definition: (k ) Z 1 ( zI G ) 1 z G k Z 1 ( zI G ) 1 HU ( z ) G k i 1 Hu(i ), (卷积定理)
x(t ) e x(0) e A(t )bu( )d , (t , t0 ) e A(t t0 )
At 0 t
x(k ) G k x(0) G k i 1Hu(i), (k , k0 ) G ( k k0 ) e AT ( k k0 )
i 0
x(nT ) e AnT x(0) e A( nk )T bu(kT )
n 1 k 0
离散时间系统 x 系统 * x* u x(t ) Ax(t ) bu* (t )
u * (t ) u(nT ) (t nT ) t nT t (n 1)T , A( t nT ) x(t ) e x(nT ) e A(t )bu* ( )d nT AT AT x[(n 1)T ] e x(nT ) e bu(nT) x(n 1) Gx(n) Hu(n),G e AT , H e AT b tgq77@126.com
有零阶采样保持的离散化过程
离散时间系统 x x u u 系统 系统 * x* u x(t ) Ax(t ) bu(t ) x(t ) Ax(t ) bu* (t ) t At 0 t nT, x(t ) e x(0) e A(t )bu* ( )d x(nT )
f (t )
*
f (t )
0
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t
n 0 n 0
t
f * (t ) f (nT ) (t nT ) f (t ) (t nT ) f (t ) T (t )
f (t )
0
f (t ) 幅值 调制 t
f (t )
0
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f * (t )
t
T (t )
t
T (t )
x(t ) (t, t0 )x(t0 )
0
x(t0 )
t
t0
t1
e At数学上叫矩阵指数，控 制理论上叫状态转移矩 阵
Φ(t0 , t0 ) I Φ(t ) AΦ(t )
Φ(t ) Φ(t, 0) eAt
Φ(t, t0 ) Φ(t t0 ) e
A(t t0 )
k 1
(t ) (t,0) e At (k ) (k ,0) Gk e AkT (kT )
性质： ( 0) I ( k , 0 ) ( k , k 0 ) ( k 0 , 0) 1 (k , k0 ) (k0 , k ), 1 (k ) ( k )
1/ T
注2：若离散信号的各 个频谱分量有重叠部分， 即使使用理想滤波器， 也无法复现原信号。 s 2s 0 max s Sichuan University s & Engineering 为了不失真地复现原信号，采样频率必须满足：of Science 2max
F * ( j )
nT T
tgq77@126.com
离散时间系统状态方程的解
x(n 1) Gx(n) Hu(n)
迭代法
x(1) Gx(0) Hu(0) x(2) Gx(1) Hu(1) k 1 x(k ) G k x(0) G k i 1 Hu(i) i 0 x(k ) Gx(k 1) Hu(k 1)
g h (t )
h
1
1
T
0
T 2T 3T 4T 5T
t
0
T
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t
1 1 Ts 1 e Ts gh (t ) 1(t ) 1(t T ) Gh ( s) e s s s tgq77@126.com
无采样保持的离散化过程
连续时间系统
u
系统
x u
x(t ) Ax(t ) bu(t ) n 1 * u (t ) u (kT ) (t kT ) 0 t nT , k 0 t x(t ) e At x(0) e A(t )bu* ( )d x(nT ) 0
(x Ax) e At bu或 x e A bu( )d
t 0 0 At t 0 t
d At (e x) e At bu dt
At
零输入响应(自由响应)
x(t ) e x(0) e A( t )bu( ) d
2、拉普拉斯变换法： sX( s ) x(0) AX( s ) bU ( s )
Review
信号的复现：零阶保持器
在满足香农定理的条件下，从理论上说，可以无 失真地复现原信号。但是，这种理想滤波器是无法实 现的，只能寻找在特性上接近理想形状的滤波器。工 程上常采用具有滤波功能的保持器来代替。 零阶保持器是一种恒值外推装置，它把前一时刻 nT的采样值不变地保持到下一采样时刻(n+1)T。 若外施δ(t)函数，则零阶保持器 *(t),f (t) f h 的单位脉冲响应曲线为 g (t )
T
0
*
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t
连续信号经过理想周期采样后的信号为周期序列信号：
f (t ) f (0) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) f (kT ) (t kT )
k 0
tgq77@126.com
Review
f (t )
幅值调制？！
T
f (t )
t
零状态响应(强迫响应)
X( s ) ( sI A) 1 x(0) ( sI A) 1 bU ( s ) x(t ) e x(0) e A( t ) bu( ) d
At 0
tgq77@126.com
Review
状态转移矩阵
x(t1 )
状态转移矩阵，就是将系统由一个状态转移到 另外一个状态，即 x(t ) (t1 , t0 )
0
连续时间系统
x(nT ) e
AnT
x(0) e A( nT )bu( )d
0
nT
e AT x(nT ) e A bd u (nT ) 0 x(n 1) Gx(n) Hu(n),G e AT , H A1 (e AT I )b
Φ1 (t ) Φ(t )
Φ(t1 t2 ) Φ(t1 )Φ(t2 ) Φ(t2 )Φ(t1 )
Φ(t2 , t1 )Φ(t1 , t0 ) Φ(t2 , t0 )
Φ1 (t, t0 ) Φ(t0 , t )
tgq77@126.com
Review
连续和离散信号
连续：模拟系统
i 0
k 1
tgq77@126.com
Example
已知系统x(n 1) Gx(n) Hu(n), 求状态方程的解。其中 1 0 1 1 G , H 1, x(0) 1, u (n ) 1, n 1,2, 0.16 1
>> G = [0 1; -0.16 -1], H = [1; 1], x0 = [1; -1] >> syms z k >> faiz = inv( z * eye(2) - G ) >> xz = faiz * (z * x0+H * ztrans(1+0 * k)) >> xk = iztrans( xz ) >>
注1：离散时间系统状态方程的解由两部分组成：一部 分是初始状态所引起的自由响应；另一部分是控制所 引起的强迫响应。 注2：第k个采样时刻的状态只取决于之前的(k-1)个输 入采样值，与第k个及以后的采样值无关。 注3：可以很好的与连续系统状态方程的解作对照。
tgq77@126.com
连续和离散系统的状态转移矩阵
连续信号经采样后所得的离散信号为一脉冲序 列，它等于该连续信号与单位理想脉冲序列的乘积。 因此，采样过程为一幅值调制过程。 tgq77@126.com
0
Review
香农（Shannon）定理
通常，连续信号f(t)的频谱为一孤立的连续谱， 其频带宽度是有限的。设F(jω)所包含的最高频率为 ωmax，典型的频谱特性如图所示。则离散信号f*(t)的 频谱F*(jω)是一系列形状相同的组成部分所构成的周 期函数。 注1：若离散信号的各个频谱 F ( j) 1 分量无重叠部分，则可将离散 信号通过理想滤波器，滤出高 频分量，取出主频分量，从而 无失真地复现原信号。 0 max
1 z z 1 1 1 [解]： G ) ( zI ( z 0.2)( z 0.8) 0.16 z 0.16 z 1 2 zz1 z 1 z zx(0) Hu( z ) z 2 2 z z 1 z 1 z 1
f (t )
信号在时间上不连续的信号，叫离散信号。含有离 散信号的系统称为离散系统。
从时间上看
离散：离散系统
连续：采样系统
f (t )
0
t
ຫໍສະໝຸດ Baidu
从数值上看 离散：数字系统
tgq77@126.com
0
t
Review
采样的概念
信号采样是指获取连续信号在特定时刻的值，采 样后信号成为离散信号，而离散信号重新复原为连续 信号的过程叫做信号的复现。信号复现通常是用“保 持器”来完成的。 对连续信号进行采样的元件叫采样开关。采样开关是 理想采样器，它只取出连续信号在特定时刻的数值。 采样按每间隔周期T闭合采样一次，称为周期采样。 间隔时间不等的采样，叫非周期采样。 f (t ) f * (t )
25 17 (0.2) k 22 (0.8) k 18 9 x(k ) 176 7 (0.2) k 88 (0.8) k 18 45 30
tgq77@126.com
Symbolic Math Toolbox of MATLAB
已知系统x(n 1) Gx(n) Hu(n), 求状态方程的解。其中 1 0 1 1 G , H 1, x(0) 1, u (n ) 1, n 1,2, 0.16 1
Modern Control Theory
现代控制理论
（第8讲 2009年4月）
线性连续系统的离散化 离散时间系统状态方程的解 自动化教研室 谭功全
tgq77@126.com
Review
非齐次状态方程的全响应
x Ax bu x(0) x 0
1、直接积分法： e e
At
1 1
X ( z ) ( zI G ) 1 zx(0) HU ( z )
25 17 z z0.2 22 z z0.8 18 z z 1 9 176 z 88 7 z z 30 z 0.2 45 z 0.8 18 z 1
u * (t ) u (nT ) t nT t (n 1)T , A( t nT ) x(t ) e x(nT ) e A(t )bu* ( )d nT ( n 1)T AT x[(n 1)T ] e x(nT ) e A( nT T )bu* ( )d
tgq77@126.com
Z变换法求解离散状态方程
x(n 1) Gx(n) Hu(n), x(0) x0
zX ( z ) zx(0) GX ( z ) HU ( z ) X ( z ) ( zI G ) 1 zx(0) ( zI G ) 1 HU ( z ) Definition: (k ) Z 1 ( zI G ) 1 z G k Z 1 ( zI G ) 1 HU ( z ) G k i 1 Hu(i ), (卷积定理)
x(t ) e x(0) e A(t )bu( )d , (t , t0 ) e A(t t0 )
At 0 t
x(k ) G k x(0) G k i 1Hu(i), (k , k0 ) G ( k k0 ) e AT ( k k0 )
i 0
x(nT ) e AnT x(0) e A( nk )T bu(kT )
n 1 k 0
离散时间系统 x 系统 * x* u x(t ) Ax(t ) bu* (t )
u * (t ) u(nT ) (t nT ) t nT t (n 1)T , A( t nT ) x(t ) e x(nT ) e A(t )bu* ( )d nT AT AT x[(n 1)T ] e x(nT ) e bu(nT) x(n 1) Gx(n) Hu(n),G e AT , H e AT b tgq77@126.com
有零阶采样保持的离散化过程
离散时间系统 x x u u 系统 系统 * x* u x(t ) Ax(t ) bu(t ) x(t ) Ax(t ) bu* (t ) t At 0 t nT, x(t ) e x(0) e A(t )bu* ( )d x(nT )