全等三角形1(学情分析)
13.1.1 全等三角形
【教材分析】
全等三角形是八年级上册人教版数学教材第十一章第一节的教学内容。本节课是“全等三角形”的开篇，是全等三角形全等的条件的基础，也是进一步学习四边形、圆等图形的基础之一。全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活的运用他们，本章是在学过了线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识以及在七年级教材中的一些简单的说理内容之后来学习，为学习全等三角形奠定了基础。通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学生今后学习相似三角形奠定了基础，三角形全等的部分判定定理，可以直接类比到相似三角形的判定中去，因此本章相关知识的学习对于学生初步了解平面图形的运动性质具有重要意义.
【课时分配】
【教学目标】
?1．知识与技能
经历图形的抽象、性质探讨、位置确定等过程，掌握全等三角形的概念和性质。理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。
?2．过程与方法
建立符号意识和空间观念，初步形成几何直观，发展形象思维与抽象思维。经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角。在参与观察、猜想数学活动中，发展演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。学会独立思考，体会数学的比较归纳基本思想和思维方式。
?3．情感、态度与价值观
积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。体会数学的特点，了解数学的价值。
养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。
【重点难点】
?重点：经历图形的抽象、性质探讨、位置确定等过程，掌握全等三角形的概念和性质。
理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。
?难点：建立符号意识和空间观念，初步形成几何直观，发展形象思维与抽象思维。经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角。在参与观察、猜想数学活动中，发展演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。学会独立思考，体会数学的比较归纳基本思想和思维方式。
【学情分析】
根据皮亚杰的发展理论，现阶段的学生从具体思维阶段向抽象阶段转移。因此注重引导学生通过动手操作探究规律。全等三角形一节，应注意从实际例子引入全等形的概念，并让学生举出一些例子。这样做既可以使学生易于理解相关概念，又可以调动学生的积极性，使学生体验到原理来源于现实生活。
【教学方法】
由于初中生具有可塑性，模仿性。在教学中采用直观、类比的方法，以动手操作为主，引导学生预习教材内容，养成良好的自主学习，启发学生发现问题、思考问题，培养学生逻辑思维能力，形成以“动手——发现——总结”的教学模式。引导学生积极参与讨论，肯定学生总结的结论，使其具有成就感，提高他们学习的兴趣和学习的积极性. 【教学过程】
设计思路
一、创设情境导入新课设计意图一、动手操作，导入课题
问题1
观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形
问题2
从上面的片段中你有什么感受？还能举出生活中一些这样的例子吗？
收集学生讨论中的图片，接着追问：上面这些图形有什么共同的特征呢？
带着问题，自学课本本节内容（时间5分钟），可以在小组内交流。
【学生活动】小组讨论，交流。
【教师活动】出示课件，引导讨论，得出结论。丰富的图形很容易引起学生的注意，使他们很快的投入到学习当中，通过观察，发现，形成猜想，通过构图和操作，为学生理解全等三角形的有关概念奠定基础。
动手操作合作交流
代表发言
教师归
纳总结
练习巩固
问题3
1．先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？
2．重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？
【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论．
【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形．
学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注意整个过程要细心．
【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．
概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？
【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等．
【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边．【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？
【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论：
1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合．
2．这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了．
3．完全重合说明三条边对应相等，三个内角对应相等，?对应顶点在相对应的位置．以动手操作的形式来开始本堂课的学习，带动学生学习的的积极性，让学生能在活动中学习，通过动手操作、合作讨论让学生总结发现本堂课的学习内容，并找出相关结论。
【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范．
1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，
?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．
二、合作交流解读探究设计意图在图（一）中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF.
在图（二）中，把△ABC沿直线BC翻折180度,得到△DBC.
在图（三）中，把△ABC旋转180度，得到△AED.
各图中的两个三角形全等吗?
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等．
在图⑴中，点A与点D重合．点B与点E重合．我们把这样互相重合的一对顶点叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；∠A与∠D重合，它们就是对应角．△ABC与△DEF全等，我们把它记作：“△ABC≌△DEF”．读作“△ABC全等于△DEF”．
注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．【问题】你能找出图⑴中其他的对应顶点、对应边和对应角吗？怎样表示图⑵⑶中的两个全等三角形，并找出对应顶点、对应边和对应角．
点C与点F是对应点，BC边与EF边是对应边，CA边与FD边也是对应边．∠B与∠E是对应角，∠C与∠F也是对应角．
【问题】图中的三角形为全等三解形。全等三角形的对应边有什么关系呢？对应角呢？
1.全等三角形的性质：
2.全等三角形的对应边相等．
3.全等三角形的对应角相等．加深学生对全等三角形概念的理解，组织学生观察、归纳，引导学生归纳全等三角形的性质．
经历图形的抽象、性质探讨、位置确定等过程，掌握全等三角形的概念和性质。理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中
利用几何语言来描述其性质（板书）
∵△ABC≌△DEF（已知）
∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF (全等三角形的对应边相等)
∴∠A=∠D，∠B=∠E ，∠C=∠F (全等三角形的对应角相等) 的对应边、对应角。
三、应用迁移巩固提高设计意图
【例1】如图，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°．求出△AEC各内角的度数．
解：∵∠ACB=85°，∠B=30°（已知）
∴∠BAC=180°-∠ACB -∠B =65°
（三角形的内角和等于180°）
∵△ABC≌△AEC（已知）
∴∠EAC=∠BAC=65°，∠E=∠B=30°，
∠ACE=∠ACB=85°（全等三角形对应角相等）
答：△AEC的内角的度数分别为65°、30°、85°．
【例2】如图，已知△ABC≌△ADE,∠C=∠E,BC=DE,想一想: ∠BAD=∠CAE吗?为什么?
答:相等.理由如下:
∵△ABC≌△ADE(已知)
∴∠BAC= ∠DAE(全等三角形对应角相等)
∴∠BAC -∠DAC= ∠DAE -∠ DAC(等式性质)
∴∠BAD=∠CAE
【例3】如图是一个等边三角形，你能利用折纸的方法把它分成两个全等的三角形吗？你能把它分成三个，四个全等的三角形吗？在学生对全等三角形概念、性质的了解后，延伸到全等三角形的实际应用中去，让学生能够在实际的应用中解决实际问题，提高对知识的应用.
四、总结反思拓展升华设计意图
通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，?并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．
找对应元素的常用方法有两种：
（一）从运动角度看
1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．
3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．
（二）根据位置元素来推理
1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．归纳总结本节课的学习内容，加深学生对知识点的记忆，更加方便学生课后的复习，指出本节课的重点难点，让学生有针对性的学习。
五、课堂作业课后延伸设计意图
1.课本P4练习．
【探研时空】
2.如图1所示，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=20cm，BC=8cm，你能求出线段AB的长吗？与同伴交流．（AB=6）
3．如图2所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数．?（∠AEC=30°，∠EAC=65°，∠ECA=85°）通过课后练习加深学生对课堂只是点的巩固，以及对课后知识的延伸学习.
全等三角形知识点及应用题
一.三角形的基础知识 全等三角形 1、全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形对应角的平分线相等。全等三角形对应边上的高线、中线对应相等。 2、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）。 3、有两多角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”）。 4、有两角和其中一角的对边相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）。 5、有三条边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”）。 6、有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）。 7、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。8、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 等腰三角形 1、等腰三角形 有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． 2、等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形. （2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等. 3、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 等边三角形 1、等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形． 2、等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60° 3、等边三角形的判定方法 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 三角形中的边角不等关系 （1）在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.（简称为：大边对大角）
全等三角形知识点梳理.pdf
第十二章全等三角形 2018.9 杨1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．对应边相等。 2．全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．对应角相等。 证明三角形全等基本思路： 三角形全等的判定(1) 三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS． 1.如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)∠B＝∠D. 证明：(1)连接AC，在△ABC与△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS)． (2)∵△ABC≌△ADC，∴∠B＝∠D. 2.已知在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,,求证AD//BC A D 做辅助线，连接AC，利用SSS证明全等，得到∠ DAC=∠ACB ，从而证明平行 B C 三角形全等的判定(2) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)． 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 1.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A，B，D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE，CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论． 解：结论：AE＝CD，AE⊥CD. 证明：延长AE交CD于F，在△ABE与△CBD中AB＝CB， ∠ABE＝∠CBD， BE＝BD， ， ∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB， ∵∠DCB＋∠CDB＝90°，∴∠EAB＋∠CDB＝90°， ∴∠AFD＝90°，∴AE⊥CD. F
2.在△ABC和△CDE中，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，AE与BD交与点 F （1）求证：△ACE≌△BCD （2）求证：AE⊥BD 1,利用SAS证明全等， AC=BC DC=EC ∠BCD=∠ACE 2，全等得到角相等∠CAE=∠DCB ∠CAB+∠EAB+∠ABC=90° ∠DCB∠EAB+∠ABC=90° 三角形全等的判定(3) 两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等，简称角边 角或ASA． 两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称 角角边或AAS． 求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等． 如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，求证：BE＝CF. 证法1： ∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BED与△CFD中∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD， ∴△BED≌△CFD(AAS)，∴BE＝CF. 证法2：∵Ｓ△ABD＝1 2 AD·BE，S△ACD＝ 1 2 AD·CF， 且S△ABD＝S△ACD(等底同高的两个三角形面积相等)， ∴1 2 AD·BE＝ 1 2 AD·CF，∴BE＝CF. 三角形全等的判定(4) 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL”． 如图，E，F分别为线段AC上的两点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，AE＝CF，BD交AC于点M. 求证：BM＝DM，ME＝MF. 证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF∴AF＝CE. 在Rt△ABF与Rt△CDE中AB＝CD，AF＝CE， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(H L)， ∴BF＝DE.∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEM＝∠BFM＝90°. 在△BFM与△DEM中∠BFM＝∠DEM，∠BMF＝∠DME，BF＝DE， ∴△BFM≌△DEM(A AS)， ∴BM＝DM，ME＝MF. 角的平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 文字命题的证明方法： a.明确命题中的已知和求证； b.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； c.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
全等三角形第一节课
教学过程： 我们上学期学习了三角形本身的一些性质，如边角之间关系等。我们把问题更深入一步想：三角形之间有什么样的关系呢？要研究这个问题，首先我们从两个完全一样的三角形去研究，也就是今天要讲的全等三角形。 观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形 问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？ 这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。 能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 “全等”用?表示，读作“全等于” 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如?和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作ABC? DEF ? ? ABC? DEF 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角 全等三角形性质： 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。
练习：（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角 o O B A C D A B C D A B C D C A B D （2）将ABC ?沿直线BC 平移，得到DEF ?，说出你得到的结论，说明理由？ B C A D F E （3）如图，,ACD ABE ???AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠B A ，求ADC ∠的大小。 A B C D E
（4）拓广探索： 如下图,矩形ABCD 沿AM 折叠,使D 点落在BC 上的N 点处,如果AD=7cm,DM=5cm, ∠DAM=39°,则AN=___cm, NM=___cm, ∠ NAB=___. 5、如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，?指出其他的对应边和对应角． D C A B E 寻找对应元素的规律（一般地说） （1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
全等三角形讲义知识点+典型例题(完美打印版)
B P A a 专题 三角形的尺规作图 知识点解析 作三角形的三种类型： ① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA % ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS 典型例题 【例1】作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . ， 【例2】作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB 。 求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB 【例3】已知三边作三角形 已知：如图，线段a ，b ，c. ' 求作：△ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法： 【例4】已知两边及夹角作三角形 已知：如图，线段m ，n, ∠ .
求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n. … 【例5】已知两角及夹边作三角形 已知：如图，∠α，∠β，线段c . 求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c. @ 随堂练习 1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（） A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角 C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定 2． 3．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（） A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角 # C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角 D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角 3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边 C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角 4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（） A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半 % C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线 专题利用三角形全等测距离 知识点解析
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形考试复习试题大全(含答案) (46)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形 考试复习试题（含答案) 如图，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB＝CD＋BC． 【答案】证明见解析. 【解析】 试题分析：方法一：(截长法)在AB上取BE＝BC，再证AE＝DE＝CD即可．方法二：(补短法)延长BC至F，使BF=BA，证△BDA△△BDF，DC＝CF即可试题解析：方法一：△△C=2△A △BC 方法二：延长BC至F，使BF=BA，并连接DF 又△△ABD=△FBD，BD=BD △ΔABD△ΔFBD △△A=△F △△BCD=2△A=△F+△FDC △△F=△FDC △CD=CF △AB=BF=BC+CF=BC+CD 即AB=CD+BC. 考点：三角形全等的判定和性质 52．（本题10分）如图甲，已知：在△ABC中，∠BAC＝90o，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，设BD ＝m，CE＝n． （1）求DE的长（用含m，n的代数式表示）； （2）如图乙，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E 三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（0o＜α＜180o），设BD＝m，CE＝n．问DE的长如何表示？并请证明你的结论 【答案】（1）DE=m n+；（2）DE=m n+，证明见试题解析． 【解析】 试题分析：（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA， 则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE=m n+； （2）利用∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案． 试题解析：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900， ∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900，∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD， 又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD= m+； BD+CE=n （2）∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD， m+． AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE=n 考点：全等三角形的判定与性质． 53．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，求证：∥ABC∥∥DEF． 全等三角形第一课时教学设计 学习者特征分析 (1)起点能力水平：此阶段的学生已知道三角形的一些概念和基本性质，如边，角，顶点，角平分线，中线，高等，同时也认识一些基础图形：线、圆、正方形、长方形等。 (2)认知结构特点：大部分学生对以前所学内容掌握的比较扎实，只有少部分学生学习能力较差，跟不上教学进度。 (3)学习动机及态度：此阶段学生好奇心强，尤其在成绩较好、能力强的人身上体现更加明显，但此时期的学生叛逆心理增强，会有不少学生不再以长者的赞许为学习动力。 教材分析 本节课是新人教版义务教育课程标准实验教材数学八年级上册第十一章第一课时的内容，本章围绕全等三角形，主要学习全等三角形的有关概念和性质，三角形全等的条件以及角平分线的性质，学生在七年级教材中学过了线段、角、相交线等与三角形有关的知识和一些简单的说理内容，这为全等三角形的学习奠定了基础，并且在今后学习等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线等内容中都要通过证明两个三角形全等来加以解决。 教学设计理念 在教学过程中，有意创设诱人的知识情景，增加学生的好奇心、求知欲，产生自觉学习的内在动机，不断提高学生的智慧，发挥其潜力，促进学生的智能发展。 教学目标 1.知识与技能目标 (1)了解全等形和全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质。 (2)能用符号正确表示两个三角形全等，能找出全等三角形的对应元素。2. 过程与方法目标 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，通过全等三角形有关概念的学习，提高学生数学概念的辨析能力，通过找出全等三角形的对应元素，培养学生的识图能力。 3.态度价值观目标 通过感受全等三角形的对应美激发学生热爱科学勇于探索的精神，通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，培养学生科学的学习态度及自信，互相尊重的健全人格。 教学重点和难点 重点：全等三角形的概念和性质． 难点：找出全等三角形的对应边、对应角． 教学内容本节课提出了全等形、全等三角形、全等三角形的对应顶点、对应边、对应角等概念以及利用全等三角形的概念得到全等三角形的性质，是一节基础课，是以以前学过的三角形知识为基础，根据全等三角形的性质得到对应边相等、对应角相等是今后证明线段和角相等的基本方法。 教学方法和手段：以互动中探究，比较中认知，组织教学，激发学生求知欲。 教学过程 一．提出问题，创设情境 1、展示生活图片（全等图形），提出问题：①指出图案中形状与大小相同的图形。 ②你还能再举出生活中的一些实例吗？ 【活动】将展示的两个图形（全等三角形）重叠在一起，要求学生观察同时引入全等形、全等三角形的概念。要求学生动手剪一剪 2．学生自己动手（每小组四名同学自主探讨） 剪出一个三角形，找两个学生到黑板上演示将三角形平移、翻折、旋转后的图形画出来。并观察与原三角形有何联系（引导学生观察图形，得出结论） 3．获取概念 全等三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上） ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合,一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形的性质和表示 性质： （1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 表示： 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用于两个直角三角形） 4、学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”5、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 6.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 7.角平分线： ⑴画法：（课本48页，必须要掌握） ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. （在做题时，只要满足条件就可以直接运用定理） ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 7.证明命题基本方法： ⑴明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平 分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 《全等三角形》 一、教材分析 本节课的教学内容是人教版数学八年级上册第十一章《全等三角形》的第一节.这是全章的开篇，也是全等条件的基础.它是继线段、角、相交线与平行线及三角形有关知识之后出现的.通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础，具有承上启下的作用. 教材根据初中学生的认知规律和特点，采用由浅入深、由易到难、抓联系、促迁移的方法.通过生活中的实例创设情景，形成概念，再通过平移、翻折、旋转说明变换前后的两个三角形全等，进而得出全等三角形的相关概念及其性质. 二、教学目标分析 知识与技能 1.了解全等三角形的概念，通过动手操作，体会平移、翻折、旋转是考察两三角形全等的主 要方法. 2.能准确确定全等三角形的对应元素. 3.掌握全等三角形的性质. 通过找出全等三角形的对应元素，培养学生的识图能力. 2.能利用全等三角形的概念、性质解决简单的数学问题. 出问题，乐于探索问题，同时注重培养学生善于合作交流的良好情感和积极向上的学习态度. 三、教学重点、难点 重点：全等三角形的概念、性质及对应元素的确定. 难点：全等三角形对应元素的确定. 四、学情分析 学生在七年级时已经学过线段、角、相交线与平行线及三角形的有关知识，并学习了一些简单的说理，已初步具有对简单图形的分析和辨识能力，但八年级的学生仍处于以形象思维为主要思维形式的时期.为了发展学生的空间观念，培养学生的抽象思维能力，本节课将充分利用动画演示，来揭示图形的平移、翻折和旋转等变换过程，以便让学生在观察、分析中获得大量的感性认识，进而达到对全等三角形的理性认识. 五、教法与学法 本节课坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“人人都能获得必需的数学”的原则，博采启发教学法、引探教学法、讲授教学法等诸多方法之长，借助多媒体手段引导学生观察、猜想和探究，促进学生自主学习，努力做到教与学的最优组合. 第十二章 全等三角形知识点总结 一、全等三角形的性质; 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 二、全等三角形的判定方法： 一般三角形的判定方法：边角边（SAS ）、角边角（ASA ）、角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 直角三角形的判定方法：除了以上四种方法之外，还有斜边、直角边（HL ） 全等三角形的证明过程： ①找已知条件，做标记； ②找隐藏条件，如对顶角、等腰三角形、平行四边形、公共边、公共角等； ③对照定理，看看还是否需要构造条件。 全等三角形的证明思路： ? ? ? ?? ??? ???? ? ???????? ? ???????? ????? ??）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（） 找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 三、角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言： ∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ． 四、角平分线的判定方法： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。符号语言： ∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 角平分线的画法： 第十一章 全等三角形测试题（A ） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1、下列说法正确的是（ ） A ：全等三角形是指形状相同的两个三角形 C ：全等三角形的周长和面积分别相等 C ：全等三角形是指面积相等的两个三角形 D ：所有的等边三角形都是全等三角形 2、如图：若△AB E ≌△AC F ，且AB=5，AE=2，则EC 的长为（ ） A ：2 B ：3 C ：5 D ：2.5 3、如图：在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，则下列结论：①△ABD ≌△ ACD ，②∠B=∠C ，③BD=CD ，④AD ⊥BC 。其中正确的个数有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个 4、如图：AB=AD ，AE 平分∠BAD ，则图中有（ ）对全等三角形。 A ：2 B ：3 C ：4 D ：5 5、如图：在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，AE ⊥BC 于E ， ∠B=40°，∠BAC=82°，则∠DAE=（ ） A ：7 B ：8° C ：9° D ：10° 6、如图：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，D E ⊥AC 于E ， DF ⊥AB 于F ，且FB=CE ，则下列结论：：①DE=DF ，②AE=AF ， ③BD=CD ，④AD ⊥BC 。其中正确的个数有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个 7、如图：EA ∥DF ，AE=DF ，要使△AEC ≌△DBF ，则只要（ ） A ：AB=CD B ：EC=BF C ：∠A=∠ D D ：AB=BC 8、如图：在不等边△ABC 中，PM ⊥AB ，垂足为M ，PN ⊥ （第2题） F E C B A （第4题） E D C B A （第7题） F E D C B A （第3题） D C B A （第5题）D C B A F E （第6题） C B A N M Q （第8题） C B A 全等三角形练习题 一、选择题 1. 如图，△ABC≌△DEF ，∠A =85°，∠B =60°，则∠F 的度数为( ) A. 85° B. 60° C. 55° D. 35° 2. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是( ) 第1题图第2题图 3. 如图，△ACB≌△DCE ，∠BCE =25°，则∠ACD 的度数为( ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 4. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=( ) A. 90° B. 135° C. 150° D. 180° 第3题 图第4题 图第7题 图 5. 已 知△ABC≌△DEF ，那么EF 的对应边是( ) A. AB B. BC C. CA D. DE 6. 全等形都相同的是( ) A. 形状 B. 大小 C. 边数和角度 D. 形状和大小 7. 如图，△AOB≌△COD ，A 和C ，B 和D 是对应顶点，若BO =8，AO =3，AB =5，则CD 的长为( ) A. 3 B. 8 C. 5 D. 不能确定 8. 如图，△ABC≌△DEC ，则结论 ①BC =EC ，②∠DCA =∠ACE ，③CD =AC ，④∠DCA =∠ECB ，其中结论正确的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图， △ABC≌△ADE ，若∠B =80°，∠C =35°，∠EAC =40°，则∠DAC =( ) A. 66° B. 60° C. 56° D. 54° 10.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边 相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等， 其中正确的说法为（ ） A ．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 二、填空 题 11.如图，△AEB ≌△ACD ，AB=10cm ，∠A=60°，∠ADC=90°，则AD= ______ ． 12.如图，△ABE ≌△CDF ，∠DFC=50°，那么∠BEC= ______ ． 13.如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x =度． 第11题图 第12题图 第13题图 14.已知△ABC ≌△FED ，若∠ABC=60°，∠ACB=40°，则∠DFE= ______ ． 15.△ABC ≌△DEF ，AB=2，BC=4，若△DEF 的周长为偶数，则DF= ______ ． 16.如图已知△ABE ≌△ACD, AB=AC, BE=CD ，∠B=40°,∠AEC=120°则∠DAC 的度数为. 17.若△ABC ≌△DEF,点A 和点D,点B 和点E 是对应点。如果AB=7cm ，BC=6cm ，AC=5cm ，则EF 的长为. 18.已知△ABC ≌△DEF ，且∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，△DEF 中最大边长是 ，最大角是 度． 19.已知如图,△ABC ≌△FED ，且BC=DE.则∠A=__________，AD=_______．FE=_______ 20.已知△ABC ≌△DEF ，BC=EF=6cm ，△A BC 的面积为18，则EF 边上的高的长是 . A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 第8题图 第9题图 全等三角形 知识总结 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 轴对称知识梳理 一、基本概念 1.轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 2.线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 3.轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 4.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 5.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 二、主要性质 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2.线段垂直平分钱的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）. 《全等三角形》教学设计 一、创制教具让学生在兴趣中导入。回顾已有的知识，给学生以模型，尽量多地给他们表现的机会,对他们好的表现及时给予肯定和鼓励，充分发挥评价的激励作用,激发他们的参与热情和学习的积极性,教学中真正实现面向“全体学生”。 二、揭示课题明确目标很高兴今天这节课和同学们一起来探索第十章《三角形的有关证明》，第一节《全等三角形》，本节课有三个学习目标。 【设计意图】借助学习目标，让学生学有所本，胸中有“目标”，才能动静皆有“得”。三、自主学习 你还记得上学期我们探索过哪些全等三角形的相关知识？ 1、上一学期，我们学习了《探索三角形全等的条件》，你还记得三角形全等的条件 有哪些吗？哪些是基本事实，哪些是判定定理？ 【设计意图】唤醒旧知，体会知识的内在联系及整体性，为本节课的学习做好铺垫，并渗透研究一个几何图形可从三方面入手：定义、性质、判定。 2、请你运用三个基本事实（ ASA SAS SSS ），证明下面的定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（即：AAS）。 【设计意图】引导学生准确理解题意，写出已知、求证，并自主思考证明方法，利用问题“你选用哪条基本事实证明这个结论？为什么选用ASA加以证明？”，引发学生思考，感 悟猜想、证明的必要性，以及相辅相成的关系。 四、积极探究。 探究一由易到难，逐渐提升，学生在积极思考中相互合作 合作探究一：三角形全等的条件 例1、已知：如图，线段AB 和CD 相交于点O，线段 OA=OD，OC=OB。求证：△AOC≌△DOB 想一想： 1、还有一个隐含条件是什么呢？ 2、你能规范的证明吗？ 例2、已知：如图，∠ACB=∠DBC，AC=DB 求证：△ABC≌△DCB 想一想： 1、还有一个隐含条件是什么呢？ 2、你能规范的证明吗？ 全等三角形考点练习附答案 全等三角形考点练习：命题与定理. 分析：利用菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质对每个选项进行判断后即 可得到正确的选项. 解答：解：A、错误，如3与﹣3; B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题; C、旋转前后的两个图形，对应点所连线段不一定相等，故错误，是假命题; D、正确，是真命题， 故选D. 点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解菱形的判定、旋转的性质 及垂直平分线的性质. 2.2021?四川遂宁，第9题，4分如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是 A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 全等三角形考点练习：角平分线的性质. 分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可. 解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF， 由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴×4×2+×AC×2=7， 解得AC=3. 故选A. 点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的 关键. 3.2021?四川南充，第5题，3分如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是 原点，A的坐标为1，，则点C的坐标为 A.﹣，1 B. ﹣1， C. ，1 D. ﹣，﹣1 分析：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出 ∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可 得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可. 解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E， ∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°， 又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE， 在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCEAAS， ∴OE=AD= ，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为﹣，1.故选A. 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作 辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点. 4. 2021?益阳，第7题，4分如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件是 第1题图 A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. ∠1=∠2 全等三角形考点练习：平行四边形的性质;全等三角形的判定. 分析：利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可. 解答：解：A、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意; B、当BE=FD， ∵平行四边形ABCD中， ∴AB=CD，∠ABE=∠CDF， 在△ABE和△CDF中 ∴△ABE≌△CDFSAS，故此选项错误; C、当BF=ED， 第十二章全等三角形 一、结构梳理 二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形 定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形． 2．全等三角形 这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等． （二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等． 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS． 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有： 图 2 '. 初中数学全等三角形考点总结 基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足： （1）形状相同的图形； （2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 初中数学全等三角形有关知识总结 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）xx对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理 证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。 运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS) ②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 三、疑点、xx点 1、对全等三角形书写的错误 在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。切记不要弄错。 2、对全等三角形判定方法理解错误； 《全等三角形的概念及性质》教学设计 （第一课时） 1.教材分析 1.1教学内容： 《全等三角形》是湘教版八年级上册第二章的内容，本节课是“全等三角形”的开篇，主要内容是全等三角形的概念及性质。 1.2教学地位： 本课在三角形的相关知识中具有重要的地位和作用:它是探究三角形全等条件的基础,是证明线段相等、角相等的重要依据,也是渗透对应思想的重要一课,同时为学生之后学习三角形相似奠定基础,而学生之前已经学习了三角形和图形平移、旋转、翻折的基础知识,因此,该课在有关三角形的知识结构中具有承上启下的作用. 2.学习者特征分析 初中学生具有很强的好奇心，对新鲜事物或内容比较感兴趣，但对复习旧知的热情较低，而且数学思维的细密性，灵活性也较欠缺，积极思考，独立解题的自主学习能力较差，所以需要在课堂上充分激发学生的兴趣，给予他们更多的动手和思考的空间，让他们成为课堂的主人。 3.教学目标分析 3.1知识与技能 1.认识什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3.理解全等三角形的性质，并能应用于解决简单的实际问题。 3.2过程与方法 通过让学生观察生活实例，亲身体验等，引出新知识；动手操作，培养学生的想象、分析问题能力；渗透对应和分类的数学思想，增强学生运用数学的意识。 3.3情感态度与价值观 1.通过生活中的实物创设情境，使学生认识到“数学来源于生活”，培养学生学习的兴趣. 2.让学生在观察、实践中感受全等三角形的对应美以及全等在生活中的较高使用价值，激发学生热爱科学、勇于探索的精神。 4.教学重难点分析 重点：找全等三角形的对应元素。全等三角形的性质的运用。 难点：找全等三角形的对应元素。 全等三角形知识点复习 一、知识要点 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的判定和性质 3、证题的思路： (AS A )(AAS)???? ?? ??? ????? ??? ??? ??? ?????? ??? ??? ?? 找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边(SAS) (HL)(SSS) (AAS)(SAS)(ASA)(AAS) 4、应注意的问题 （1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义； （2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等； （3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； （4）要正确区分判定三角形全等的结论的不同含义； （5）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等． 5、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 6、全等三角形问题中常见的辅助线的作法 （1）连接法（连接公共边构造三角形全等）； （2）延长法（延长至相交、倍长中线） （3）截长补短法（适合于证明线段的和、差等问题） （4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 二、考点解密 （1）常见全等的判定和性质考察 1、已知△ABD ≌△CDB ，AB 与CD 是对应边，那么AD= ，∠A= ； 2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE=2cm ，BE=1.5cm ，∠A=25°∠B=48°；那么DE= cm ，EC= cm ，∠C= 度；∠D= 度； E B A D C C B A F E D C B A 第2小题 第3小题 第4小题 3、如图，△ABC ≌△DBC ，∠A=800，∠ABC=300 ，则∠DCB= 度； 4、如图，已知，∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，（1）若以“SAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ； （2）若以“ASA ”为依据，还须添加的一个条件为 ；（3）若以“AAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ； 5．已知△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为32 cm ，DE =9 cm ，EF =12 cm 则AB =____________，BC =____________，AC =____________． 6．一个三角形的三边为2、5、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x +y =__________． 7．下列命题中正确的是（ ）全等三角形第一课时教学设计
全等三角形知识点总结
初中数学八年级《全等三角形》优秀教学设计
第十二章全等三角形知识点及单元测试题解析
全等三角形第一节试题
初中数学全等三角形知识点
初中数学_全等三角形教学设计学情分析教材分析课后反思
全等三角形考点练习附答案
全等三角形知识点归纳总结
初中数学全等三角形考点总结
全等三角形优质课教案
第十二章全等三角形知识点归纳