函数的极限 ppt课件

lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
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例. 给定函数
f
(x)
x 1, 0,
x0 x0
x 1 , x 0
y y x1
1
O 1 x y x 1
讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
解: 利用结论 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
x
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f (x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，f (x) 1 , g(x) 1
x
1 x
都有水平渐近线 y 0 ;
又如，f (x) 1 2 x , g (x) 1 2 x
都有水平渐近线 y 1.
lim
x x0
f
(x)
A
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
时, 有 f ( x) A .
右极限 :
f
(
x0
)
lim
x x0
f
(x)
A
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
时, 有 f ( x) A .
结论：
lim f (x) A
x x0
1 y y 1 12x
1 x
x
1 O2Ox
xx
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( f (x) 0)
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推论 若在 x0的某去心邻域内 f ( x) 0 , 且
lim f (x) A , 则 A 0.
( f (x) 0)
x x0
(A 0)
思考: 若条件改为 f ( x) 0, 是否必有 A 0 ? 不能! 如 lim x2 0
x0
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1. x x0 时函数极限的定义
lim f (x) A 或 f (x) A (当x x0 )
x x0
0 , 0 , 当 x U (x0 , ) 时, 有
f (x) A
y
A
A
A
y f (x)
x0
x
几何解释
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2. 左极限与右极限
左极限 :
f
( x0 )
(A<0)
使当x U (x0 , )时, f (x) 0.
( f (x) 0)
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性.
若
lim
x x0
f
(x)
A,
且A>
0,
则存在
U (x0 , ),
(A<0)
使当x U (x0 , )时, f (x) 0.
函数的极限
函数的极限（定义及性质）
对 y f (x) , 自变量变化过程的六种形式:
(1) x x0 (2) x x0 (3) x x0
本节内容 :
(4) x (5) x (6) x
一、自变量趋于有限值时函数的极限
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
x 0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
x 0
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性.
若
lim
x x0
f
(x)
A,
且A>
0,
则存在
U (x0 , ),
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义. 设函数 f (x)当 x 大于某一正数时有定义, 若
0 , X 0 ,当 x X 时, 有 f (x) A , 则称常数
A 为函数 f (x)当 x 时的极限, 记作
lim f (x) A 或 f (x) A (当x )
x
x X 或x X
A f (x) A
几何解释:
y A
A
y f (x)
A
X O X
x
直线 y = A 为曲线 y f (x) 的水平渐近线 .
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两种特殊情况 :
lim f (x) A
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0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f (x) A
lim f (x) A