自动控制第四章频率响应法

第四章 频率响应法
➢ 第一节 频率特性概述 ➢ 第二节 极坐标图 ➢ 第三节 对数坐标图 ➢ 第四节 控制系统稳定性分析 ➢ 第五节 闭环系统的频率特性 ➢ 第六节 频域指标与时域指标的关系 ➢ 第七节 用实验法确定系统的传递函数
第一节 频率特性概述
考察一个系统的好坏，通常用阶跃信号输入下系统的阶 跃响应来分析系统的暂态性能和稳态性能。
j 1 1 jT
1
1 jT
1
1 jT
——
幅频特性
1 —— 相频特性 1 jT
⑤
1
1
jT

1 1 sT
|
s j
即把传函中的s
用j
代替就可得
到频率特性。
css(t) = A G( j) sin[ t + G( j) ]
r(t)
c(t)
G(s)
10
r(s)
c(s)
解: 系统的闭环频率特性为 系统的稳态输出为：
R(s)
C(s)
解: 系统的闭环传递函数为：
+﹣
系统的幅频特性为：
系统的相频特性为：
三、频率特性的定义：
1.频率响应－－在正弦输入函数的作用下，系统输出的稳态值 称为频率响应。
2.频率特性－－频率响应c(t)与输入正弦函数r(t)的复数比称 为频率特性。
C(s)

1 Ts
1

A s2 2
AT 1 (T )2

1
AT (T
)2
s

A 1 (T )2


s 1/T
s2 2
c(t)
AT 1 (T )2
t
eT
AT 1 (T )2
cos t

A
1 (T )2
sin t
lim c(t)
2 2T
2
,
Q( )

(1
T
2 T 2 2 )2 4
2 2T
2
A() P()2 Q()2
1
(1T 2 2 )2 (2T )2
( )

tg 1
Q( ) P( )

tg 1
2 T 1 T 2 2
25
Monday, March 02, 2020
a. 幅频特性：稳态输出与输入振幅之比，用A() 表示。
四、频率特性的表示法：
（一）系统频率特性的解析式表示 1.幅频—相频形式:
2. 指数形式: 3. 三角函数形式:
4. 实频—虚频形式:
（二）系统频率特性常用的图形形式
1. 极坐标图----Nyquist图
G(jω)H(jω)=|G(jω)H(jω)|∠G(jω)H(jω) =A(ω)∠ φ(ω)
有时也用正弦信号输入时系统的响应来分析，但这种响 应并不是单看某一个频率的正弦信号输入时的暂态响应，而 是考察频率由低到高无数个正弦信号输入下所对应的每个输 出的稳态响应。因此，这种响应也叫频率响应。
频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样能间接地 表示系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方 便又有效的工具。
⒋
振荡环节的频率特性：G(s)

T
2s2
K
2Ts
1

s2

Kn2 2ns n2
讨论 0 1时的情况。当K=1时，频率特性为：
G(
j )

1
(1 T 2 2 )
j2 T
实频、虚频、幅频和相频特性分别为：
P( )

(1
T
1 T 2 2 2 2 )2 4

0
P(0) K，Q(0) 0
Re 1 时：A( 1 ) K ，( 1 ) 45
T
T2T
0
P( 1 ) K ，Q( 1 ) K
T2 T 2
1 T
时：A() 0，() 90
P() 0，Q() 0
极坐标图是一个圆，对 称于实轴。证明如下：
1
当 0时，Q() 0 ， 曲线在3，4象限；当
0 时，与之对称 于实轴。
实际曲线还与阻尼系数 有关。
-1 0.1
Im
0
1
0
2 1
Re 0.1 ✓Hale Waihona Puke Baidu图可见无论是欠阻尼
还是过阻尼系统，其图形 的基本形状是相同的。
0.6 -1 0.5
G(s) T 2s2 2Ts 1
频率特性分别为：
G( j) j G( j) 1 jT G( j) 1 T 2 2 j2T
① 纯微分环节： G( j) j
A() ,

(
)


2
, ,
2
0
0
第一节 频率特性概述
一、频率法的特点：
(1) 不用求解系统的特征根，而用一些较为简单的图解方 法就可研究系统的稳定性，进而对系统进行分析和设计；
(2)系统的频率特性可用实验方法测出；
(3) 用频率法设计系统，可使噪声忽略或限制在规定的程度内；
(4) 频率响应法的缺点是，三阶及以上系统的频率特性和时间响 应之间只有间接的联系，而不能直接反应系统的瞬态响应。
P( )

(1 T
1 T 2 2 2 2 )2 4
2 2T 2
Q( )

(1
T
2 T 2 2 )2 4
2 2T
2
A()
1
(1 T 2 2 )2 (2T )2

(
)

tg
1
1
2T T 2
2
当 0时，A() 1,() 0
④
e e 1
j arctanT
1
1 (T )2
1 jT
j 1 1 jT
1
1 jT
上式完全地描述了网络在正弦输入电压作用下，稳 态输出电压幅值和相角随正弦输入电压频率变化的规律， 称为网络的频率特性。
e e 1
jarctanT
1
1 (T )2
1 jT
P(
)

1

K
T 2
2
Q(
)

KT 1 T 2 2
Im

0
Re 0
Q() T P( )
1 T
P

1

K
T 2
2

K 1 (Q )2
P
整理得： (P K )2 Q2 ( K )2
2
2
下半个圆对应于正频率部 分，而上半个圆对应于负 频率部分。
0
=0 Re
由于( )随频率的增长而线性滞后，将严重影响系统的稳定性
二、开环控制系统的极坐标图： (一)、用幅频特性和相频特性计算做图
设开环频率特性为：
Gk ( j ) G1( j )G2 ( j ) Gn ( j ) A( ) e j ( )
P() 0, Q()
微分环节的极坐标图为
正虚轴。频率从0→∞
特性曲线由原点趋向虚 轴的+∞。
Im
0
Re
② 一阶微分：
A() 1 T 22，() tg1T P() 1，Q() T
一阶微分环节的极坐标 图为平行于虚轴的直线。
频率从0→∞特性曲线
第四章 频率响应法
系统的动态性能用时域性能指标来描述是最直观的， 但是，一个控制系统，特别是高阶系统的时域性能是很难 用解析法来确定的。尤其是系统设计方面，到目前为止还 没有直接按时域性能指标进行设计的通用方法，而频域中 的一些图解法则可以方便的用于控制系统的分析和设计。
本章主要讨论频率响应法的基本概念，典型环节及系统 频率特性的求取，频率特性与时域响应的关系，闭环系统 的频率特性，频率响应法在工程研究中的应用等。
t

css (t )


1
AT (T )2
cos t

1

A
(T )2
sin t
A [T cost sint] 1 (T )2
css(t)
1

A
(T
)2
[T
cos t

sin t ]

A

T
cost
1

sint
1 (T )2 1 (T )2
相当于纯微分环节的特 性曲线向右平移一个单 位。

Im
0 Re
③ 二阶微分环节： G(s) T 2s2 2Ts 1
幅频和相频特性为：
A()
(1

T
2
2
)2

(2T
)2，
( )

tg 1
1
2T T 2
2
P() 1 T 2 2 , Q() 2 T
当ω=0→∞变化时,A(ω)和φ(ω)随ω而变,以 A(ω)作幅值,φ(ω)作相角的端点在s平面上形 成的轨迹,称Nyquist曲线。
可以证明：
Im
=
0.5
0
G(j)
=0 Re
=1
2. 对数坐标图----Bode伯德图
极坐标图是ω变化时相量G(jω)H(jω)在复平面上 画出的轨迹。同样，也可以将复数相量G(jω)H(jω)的 幅值和相角分别用横坐标（按对数分度）和纵坐标（ 线性分度）的半对数坐标画出。 对数幅频特性：

Im

2 1
T 1; T0.7 0 G(s) s2 1.40s 1 1
Re
0
6.滞后（延迟）环节
频率特性为 ：G(j) = e jT 幅值为：A() = e jT = 1 相角为：() = T (rad)
Im
由于幅值总是1，相 角随频率而变化， 其极坐标图为一单 位圆。
1 (T )2


A sin(t arctanT )
1 (T )2
T
1
r(t) css(t)
lim c(t) A sin(t arctan T )
t
1 2T 2
t
t
8
③ 稳态输出电压相角比输入电压相角迟后了arctanT， 是频率 的函数，称为RC网络的相频特性。
二、对正弦输入信号的响应：
例： RC线性电路，当输入为正弦电压r(t)=Asint
时，c(t)的稳态输出为多少？
R
解： RC电路的微分方程为 r(t)
C
c(t)
T dc(t) c(t) r(t) dt
式中，T=RC。网络的传函为：
C(s) 1 R(s) Ts 1
如果输入为正弦电压r(t)=Asint ，c(t)的稳态输出：
0
Re
由虚轴的－∞趋向原点。
=0
3.惯性环节
频率特性：
A( ) K
G(s) K , G( j ) K
Ts 1
Tj 1
, ( ) tg1T
1 T 2 2
P(
)

1

K
T 2
2
,
Q(
)

KT 1 T 2 2
Im
0时：A(0) K，(0) 0
Im
0
K
比例环节的极坐标图为 Re 实轴上的K点。
2. 积分环节
频率特性：
G( j )
K


j
K

K

e2
j
A( ) K
P( ) 0
( ) tg1( K 0)

2
Q( ) K

Im
积分环节的极坐标图为负虚
轴。频率从0+→∞特性曲线
P() 1,Q() 0
当

1 T
时，A( )

1
2
, ( )


2
;
P( ) 0,Q( ) 1
2
当 时， A() 0,()
P() 0,Q() 0

0
k 1,T 1, 0.7
G(s)

s2
1 1.4s
几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性等。它
们之间的关系如下： 微分方程
j d
dt
频率特性
s d dt
传递函数
s j
L{g(t)} L1{G(s)}
脉冲函数
20
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第二节 极坐标图
一、典型环节的极坐标图： 1.比例环节
其传递函数为： G(s) = K;频率特性为 ： G(j ) = K 幅相频率特性为：A( ) = K () = 0 实频特性：P() K；虚频特性：Q() 0；
L(ω)=Lm|G(jω)H(jω)|=20lgG(ω)H(ω) (db)
对数相频特性： φ(ω)=∠ G(jω)H(jω) (rad)
横坐标是ω的对数分度, 纵坐标是L(ω)和φ(ω)的线性分度
[结论]：当传递函数中的复变量s用jw 代替时，传递函数就转变
为频率特性。反之亦然。
到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下
0.4
0.3 -2
0.2
0.8 0.7
当 1 时，
2
有谐振峰值。
1 2 2 p T
M p A( p ) 2
1
1 2
⒌ 微分环节的频率特性：
微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为：
G(s) s G(s) 1 Ts