排队论模型解析
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M—负指数分布、D—确定 型、Ek —k阶爱尔朗分布。
描述排队论系统的主要数量指标
1.队长(Ls) ：指在系统中顾客的平均数 等待队长(Lq)：指系统中等待的顾客的平均数
2.顾客的平均等待时间(Wq)：指顾客进入系统的时刻起到开始接 受服务止的平均时间 与平均逗留时间(Ws)：指顾客在系统中平均等待时间与平均服务 时间之和 3.系统的忙期与闲期
13
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
当 2 2 (k r 1)
下接受假设H0
时，在显著水平α
式中：fi——实际频数 ni——理论频数
上面方法的应用必须注意n要足够大，npi不能 太小。一般地n要大于50，而分组的npi应不小于5。 ❖ 例题：某公共汽车站，统计来站的乘客流，规定
12
一、经验分布
经验分布是对排队系统的某些时间参数根 据经验数据进行统计分析，并依据统计分析结果 假设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方 法进行检验，当通过检验时，我们认为时间参数 的经验数据服从该假设分布。
分布的拟合检验一般采用χ2检验。由数理统 计的知识我们知：若样本量n充分大(n≥50)，则 当假设H0为真时，统计量总是近似地服从自由度 为k-r-1的χ2分布，其中k为分组数，r为检验分布 中被估计的参数个数。
9
求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差分方程， 通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由于瞬态解一般求出
确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。因此常常使用它
的极限(如果存在的话)：
lim
t
p n
(t )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
pn
称为稳态(steady state)解，或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State) 的解。
8
排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究 排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系 统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现 有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。
排队问题的一般步骤： 1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分 布和服务时间分布(可实测)。 2. 研究分析排队系统理论分布的概率特征。 3. 研究系统状态的概率。系统状态是指系统中 顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时刻系统中有 n个顾客的概率，也称瞬态概率。
2.等待制排队系统：顾客到达时若服务台均被占，他们 就排队等待。服务顺序有：先到先服务、后到先服务、 随机服务、有优先权的服务
3.混合制排队系统：损失制与等待制的混合。队长（容 量）有限的混合；等待时间有限的混合；逗留时间有 限的混合
排队服务系统的基本概念
服务机构：
1.服务台的数目 2.顾客所需的服务时间服从怎样的概率分布 (常见顾客的服务时间分布有:定长分布、负 指数分布、超指数分布、k阶Erlang分布、 几何分布、一般分布)
服务机构工作强度=由于服务顾客的时间/服务设施总的服务时间
=1-服务设施总的空闲时间/服务设施总的服务时间
排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主要参 数的统计推断和对排队系统的结构分析，判断一 个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排 队理论进行研究。 2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律 性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分 布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。 3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优 运营（动态优化）。
每隔1分钟统计一次乘客到达情况，共统计100次，
其结果如表所示，问顾客是否服从普阿松流。
14
状 态 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ≥12 实 际 频 数 fi 1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 0
解：先估计分布的参数λ，由极大似然估计法得：
ˆ x 4.2 ,并根据公式
排队论模型的符号表示
通常由3-5个英文字母组成， 其形式为
A/B/C/n， 其中 A表示输入过程，
B表示服务时间， C表示服务台数目， n表示系统空间数
排队模型的表示：
X/Y/Z/A/B/C X—顾客相继到达的间隔时 间的分布； Y—服务时间的分布； Z—服务台个数； A—系统容量限制（默认为 ∞）； B—顾客源数目（默认为 ∞）； C—服务规则 （默认为先到 先服务FCFS)。
pn
稳态的物理意义图，系统的稳态一般很 快都能达到，但实际中达不到稳态 的现象也存在。要注意的是求稳态 概率Pn并不一定求t→∞的极限,只需 求Pn’(t)=0 。
过渡状态
稳定状态
t
图3 排队系统状态变化示意图 10
8-3 到达间隔时间分布和服务时间 的分布
一个排队系统的最主要特征参数是顾客 的到达间隔时间分布与服务时间分布。 要研究到达间隔时间分布与服务时间分 布需要首先根据现存系统原始资料统计 出它们的经验分布，然后与理论分布拟 合，若能照应，我们就可以得出上述的 分布情况。
第4讲
排队论模型
排队系统的描述
服务系统
顾客总体 输入
队伍
服务台
输出
排队服务系统的基本概念
输入过程：描述顾客来源是按怎样的规律抵达排队 系统。
1.顾客源总体:有限还是无限
2.到达类型：单个到达还是成批到达
3.相继顾客到达的时间间隔：相互独立、同分布的; 等时间间隔的;服从Poisson分布的； k阶Erlang分 布
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一 定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数， 机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。
排队服务系统的基本概念
排队规则：指服务系统是否允许排队，顾客是否愿意排队
1.损失制排队系统：顾客到达若所有服务台被占，服务 机构又不允许顾客等待，此时该顾客就自动离去。
i e
P{x i} i!
可计算出理论频率、理论频数及项 fi npi
( fi npi )2 npi 见下页表所示
查表知:
(k r 1) 0.05(6) 12.592 6.2815
故可接受泊松分布假设。
15
fi
pi
npi fi-npi (fi-npi)2/npi
1 5
0.015 0.063
描述排队论系统的主要数量指标
1.队长(Ls) ：指在系统中顾客的平均数 等待队长(Lq)：指系统中等待的顾客的平均数
2.顾客的平均等待时间(Wq)：指顾客进入系统的时刻起到开始接 受服务止的平均时间 与平均逗留时间(Ws)：指顾客在系统中平均等待时间与平均服务 时间之和 3.系统的忙期与闲期
13
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
当 2 2 (k r 1)
下接受假设H0
时，在显著水平α
式中：fi——实际频数 ni——理论频数
上面方法的应用必须注意n要足够大，npi不能 太小。一般地n要大于50，而分组的npi应不小于5。 ❖ 例题：某公共汽车站，统计来站的乘客流，规定
12
一、经验分布
经验分布是对排队系统的某些时间参数根 据经验数据进行统计分析，并依据统计分析结果 假设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方 法进行检验，当通过检验时，我们认为时间参数 的经验数据服从该假设分布。
分布的拟合检验一般采用χ2检验。由数理统 计的知识我们知：若样本量n充分大(n≥50)，则 当假设H0为真时，统计量总是近似地服从自由度 为k-r-1的χ2分布，其中k为分组数，r为检验分布 中被估计的参数个数。
9
求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差分方程， 通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由于瞬态解一般求出
确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。因此常常使用它
的极限(如果存在的话)：
lim
t
p n
(t )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
pn
称为稳态(steady state)解，或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State) 的解。
8
排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究 排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系 统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现 有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。
排队问题的一般步骤： 1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分 布和服务时间分布(可实测)。 2. 研究分析排队系统理论分布的概率特征。 3. 研究系统状态的概率。系统状态是指系统中 顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时刻系统中有 n个顾客的概率，也称瞬态概率。
2.等待制排队系统：顾客到达时若服务台均被占，他们 就排队等待。服务顺序有：先到先服务、后到先服务、 随机服务、有优先权的服务
3.混合制排队系统：损失制与等待制的混合。队长（容 量）有限的混合；等待时间有限的混合；逗留时间有 限的混合
排队服务系统的基本概念
服务机构：
1.服务台的数目 2.顾客所需的服务时间服从怎样的概率分布 (常见顾客的服务时间分布有:定长分布、负 指数分布、超指数分布、k阶Erlang分布、 几何分布、一般分布)
服务机构工作强度=由于服务顾客的时间/服务设施总的服务时间
=1-服务设施总的空闲时间/服务设施总的服务时间
排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主要参 数的统计推断和对排队系统的结构分析，判断一 个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排 队理论进行研究。 2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律 性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分 布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。 3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优 运营（动态优化）。
每隔1分钟统计一次乘客到达情况，共统计100次，
其结果如表所示，问顾客是否服从普阿松流。
14
状 态 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ≥12 实 际 频 数 fi 1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 0
解：先估计分布的参数λ，由极大似然估计法得：
ˆ x 4.2 ,并根据公式
排队论模型的符号表示
通常由3-5个英文字母组成， 其形式为
A/B/C/n， 其中 A表示输入过程，
B表示服务时间， C表示服务台数目， n表示系统空间数
排队模型的表示：
X/Y/Z/A/B/C X—顾客相继到达的间隔时 间的分布； Y—服务时间的分布； Z—服务台个数； A—系统容量限制（默认为 ∞）； B—顾客源数目（默认为 ∞）； C—服务规则 （默认为先到 先服务FCFS)。
pn
稳态的物理意义图，系统的稳态一般很 快都能达到，但实际中达不到稳态 的现象也存在。要注意的是求稳态 概率Pn并不一定求t→∞的极限,只需 求Pn’(t)=0 。
过渡状态
稳定状态
t
图3 排队系统状态变化示意图 10
8-3 到达间隔时间分布和服务时间 的分布
一个排队系统的最主要特征参数是顾客 的到达间隔时间分布与服务时间分布。 要研究到达间隔时间分布与服务时间分 布需要首先根据现存系统原始资料统计 出它们的经验分布，然后与理论分布拟 合，若能照应，我们就可以得出上述的 分布情况。
第4讲
排队论模型
排队系统的描述
服务系统
顾客总体 输入
队伍
服务台
输出
排队服务系统的基本概念
输入过程：描述顾客来源是按怎样的规律抵达排队 系统。
1.顾客源总体:有限还是无限
2.到达类型：单个到达还是成批到达
3.相继顾客到达的时间间隔：相互独立、同分布的; 等时间间隔的;服从Poisson分布的； k阶Erlang分 布
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一 定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数， 机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。
排队服务系统的基本概念
排队规则：指服务系统是否允许排队，顾客是否愿意排队
1.损失制排队系统：顾客到达若所有服务台被占，服务 机构又不允许顾客等待，此时该顾客就自动离去。
i e
P{x i} i!
可计算出理论频率、理论频数及项 fi npi
( fi npi )2 npi 见下页表所示
查表知:
(k r 1) 0.05(6) 12.592 6.2815
故可接受泊松分布假设。
15
fi
pi
npi fi-npi (fi-npi)2/npi
1 5
0.015 0.063