曲边梯形的面积

1 x
2 上,可以认为函数 f x x
2近似代替
图1.5 3
y x2
o
i 1 i n n
1
图1.5 4
的值变化很小 , 近似等于一 个常数 ,不妨认为它近似地 i 1 等于左端点 处的函数 n i 1 值f .从图形上看 , 就是 x n 用平行于 x轴的直线段近似
i 1 i n n
y
y x2
1 x
图1.5 3
分别过上述 n 1个点作 x轴的 垂线，把曲边梯形分成
S , S , S , S 它们的面积分别为 1 2 3 n n
Si 则所求面积为 S = i 1
y
y x2
o
y
i 1 i n n
记f x x 2 . 如图 1.5 3 ,当n很大 , 即 i 1 i Δx很小时, 在区间 , n n
第二步：近似代替. 取每个小区间右端点对应的函数值 1 ( 4i ) 2 4 为小矩形的高，宽为 x i 4 , 可得
n
4 n
Δ Si≈f(xi)·Δ xi.
第三步：求和.
求出这n个小矩形的面积的和
8 n 1 2n 1 1 4i 2 4 S {[ ( ) 4] }＝ 16 . 2 4 n n 3n i 1
y＝f(x)
O
a
b x
探究：曲边梯形面积的算法
思考1：由抛物线y＝x2与直线x＝1， y＝0所围成的平面图形是什么？它与我 们熟悉的平面多边形的主要区别是什么？
直线x＝0，x＝1，y＝0 和曲线y＝x2所围成的是 曲边梯形.平面多边形的 每条边都是直线段，上 O 图中有一边是曲线段.
y
y＝x2
1
x
O
1
x
例1、求y=2x-x2，y=0,0≤x≤2围成的图形的面积.
解：(1)分割
在区间［0，2］上等间隔地插入n-1个 点，将区间［0，2］等分成n个小区间：
2 n 1 2 2 4 ［0, ］，［ , ］ ,［ , ,2］ n n n n
n
则S＝ Si
i 1
2 i 1 2i 记第i个区间为 ［ ，］ (i 1,2,n)， n n
上，
用小矩形的面积Δ Si′近似地代替Δ Si，即在局部范围 内“以直代取”，则有Δ Si≈Δ Si′
si＝［2(
2 i 1
n 2 8 i 1 (i 1) [ )] 2 n n n
)(
2 i 1 n
2 )］ n
2
例1、求y=2x-x2，y=0,0≤x≤2围成的图形的面积. (3)求和
思考4：计算，这n个小矩形的面积之和 Sn等于多少？
1 2 2 2 2 2 2 Sn 3 (0 1 2 3 4 n ) n n (n + 1)(2n + 1) 2 2 2 又1 + 2 + L + n = 6
y y＝x2
(n - 1)n (2n - 1) \ Sn = 3 1 O 6n (n - 1)(2n - 1) 1 1 1 = = （ 1） (2) 2 6 n n 6n
8 i 1 (i 1) 2 8 n 2 Sn Si ＝ [ )] 3 [n i 1 i 1 ］ 2 n n n i1 i 1 i 1 n 8 8 2 2 2 2 ［0 1 2 (n 1)］ 3 ［(1 2 n 1 )］ n n 8 n n 1 8 n 1 n 2n 1 2 3 n 2 n 6 1 4 1 1 4(1 ) (1 )(2 ) n 3 n n
n
第四步：取极限 设CEO的面积为S，则
S＝lim f (x i ) x i lim ［ 16
n i 1 n
n
8 n 1 2n 1 3n
2
］
16 32 16 . 3 3
32 112 2 S矩形ABCD 2S＝8 2 2 m . 3 3
' i
图1.5 3
y x2
o
i 1 i n n
1
x
图1.5 4
i 1 1 i 1,2, , n. n n
2
思考3：上述n个矩形，从左到右各矩形 的高分别为多少？宽为多少？
i 1 i y , i 1, 2, , n , n n y＝x2 i i 1 1 区间长度为 x . n n n 1 O i 1 2 ) 第i个矩形高为 h i ( n i- 12 即第i个矩形的高为 hi = ( n ) ，
1 S = lim S n = n 3
O
1
x
思考8：若分别以区间
1 1 2 2 3 n- 1 é 0, ],[ , ],[ , ], L [ ,1] ê ë n n n n n n
内任意一点对应的函数值为高作矩形， 那么这些小矩形的面积之和的极限等于 曲边梯形的面积吗？ y 相等
y＝x2Leabharlann Baidu
p42练习
如图1.5 3, 把区间 0,1 分成 许多小区间 , 进而把曲边梯形 拆分为一些小曲边梯形 .对每 一个小曲边梯形 " 以直代曲 " 即用矩形 的面积 近似 代 替 小 曲边梯形的面积 , 得到每个小
y
y x2
o
i 1 i n n
1 x
图1.5 3
曲边梯形面积的近似值 .可以想象 ,随着拆分越来越 细, 近似程度就会越来越好 . 也即 : 用化归为计算矩 形面积和逼近的思想方 法求出曲边梯形的面积 .我 们通过下面步骤来具体 实施这种方法 .
曲边梯形的面积
问题提出
1.任何一个平面图形都有面积，其中矩 形、正方形、三角形、平行四边形、梯 形等平面多边形的面积，可以利用相关 公式进行计算.
2.如果函数y＝f(x)在某个区间I上的 图象是一条连续不断的曲线，则称函 数f(x)为区间I上的连续函数.
3.如图所示的平面图形，是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x) 所围成的，称之为曲边梯形，如何计算 这个曲边梯形的面积是一个需要探讨的 课题. y
y
yx
2
o
y
i 1 i n n
1 x
地代替小曲边梯形的曲 边图1.5 4 .这样, 在区 i 1 i 间 , 上, 用小矩形 n n 的面积 ΔS 近似地代替 ΔSi , 即在局部小范围内 " 以直代曲 " , 则有 ΔSi i 1 ' ΔS i f Δx n
可以发现,图1.5 2中的曲边 梯形与" 直边图形 " 的主要区 别是, 前者有一边是曲线段 , 而" 直边图形 " 的所有边都是 直线段.
y
y x2
S
o
1
x
在过去的学习中 , 我们曾经
图1.5 2
用多边形逼近圆的方法 ,利用多边形面积求出圆 的面积 .这种" 以直代曲 " 的思想启发我们, 是否也 能用直边形 (比如矩形 )逼近曲边梯形的方法 , 求图 1.5 2 中阴影部分面积呢 ?
1.用极限逼近原理求曲边梯形的面积，是一种“以直代曲”
作业、 1、 求直线x＝0，x＝3，y＝0与曲线 y＝－x2＋2x＋3所围成的曲边梯形的面积. 2、课时练
思考2：设想把该曲边梯形分作若干个小 梯形，具体如何操作？
1、分割 在区间 0,1 上间隔地插入 n 1
个点, 将它等分成 n个小区间 : 1 1 2 n 1 0, , , , , ,1 , n n n n
n个小曲边梯形
o
第i个区间为
x
每个矩形的宽为
1 . n
思考4：计算，这n个小矩形的面积之和 Sn等于多少？
3、求和
Sn S
i 1 ' i i 1 n n
y
i 1 f x n
y＝x2 O
2
i 1 1 n i 1 n
n 2
2
1
x
1 1 1 2 n 1 1 1 2 2 0 1 2 n 1 3 n n n n n n
Sn S , 即S lim Sn
n
1x o
1x o
1x
o
1x
1 1 1 1 S = lim S n = lim (1 - )(2 - ) = n n 6 n n 3
思考6：上述用极限逼近思想求曲边梯形 面积的过程有哪几个基本步骤? 分割→近似代替→求和→取极限.
思考7：若按如图所示作小矩形，那么这 些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯 2 y ＝ x 形的面积吗？ y
n n
(4)取极限
1 4 1 1 8 4 S＝limSn lim[4(1 ) (1 )(2 )] 4 n n n 3 n n 3 3
例2、如图所示的图形为一隧道的截面，其中四边形
ABCD是矩形，CDE是抛物线的一段.在工程的设计中，要 计算开凿隧道挖出的土石方量，需要计算这个截面的面 积.试根据图中所给的数据计算这个截面的面积. 解：如图建立平面直角坐标系，可 得抛物线的方程为 1 2 y x 4(4 x 4) 4 先求曲边三角形CEO的面积.
1 1 1 S Sn 1 2 . 6 n n
x
思考5：如何利用各小矩形的面积之和求 曲边梯形的面积S？所得的结果是什么？
y
y
y
y x2
y
y x2
y x2
y x2

o
4、取极 图1.5 5 限 可以看到, n , 即x 0,
其长度为
2i 2 i 1 2 x n n n
分别过上述n-1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边 梯形，他们的面积分别记作：ΔS1,ΔS2,„，ΔSn
例1、求y=2x-x2，y=0,0≤x≤2围成的图形的面积. (2)近似代替
2 i 1 2i 当n很大，即Δ x很小时，在区间 ［ ，］ n n
y
x
第一步：分割 把区间［0,4］n等分，各分点的坐标依次为
x 0 0, x1 4 4 2 4i , x2 ，x i ，x n 4. n n n
分点把区间［0,4］分成n个小区间， 过各个分点作x轴的垂线，把整个图 形分成n个小曲边梯形，它们的面积
记为Δ S1, Δ S2„Δ Sn.
小结作业
的思想，它体现了对立统一，量变与质变的辨证关系.
2.求曲边梯形的面积的基本思路是：把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形→用小矩形近似替代小曲边梯形→求各小矩 形的面积之和→求各小矩形面积之和的极限. 3. 上述求曲边梯形面积的方法有一定的局限性，如果用 一般方法不能求出各小矩形的面积之和，则得不到曲边梯 形的面积.