一致收敛的概念和判别法

7.1

第7讲 一致收敛的概念与判别法

所谓函数项级数是指级数的每项均为某一变量或多个变量的函数的级数，也就是说是无穷多个函数求和的问题，研究函数项级数主要回答下列几个问题：

1. 收敛区域，即对于函数项级数：

()1

n n a x ∞

=∑，x 在什么范围内级数是收敛的？

这一问题是平凡的，因为对于给定x ，由数项级数之收敛性即可判别级数的收敛性，从而确定x 之收敛域。

2. 设()()1

n n S x a x ∞

==

∑是收敛的，

若()n a x 均为连续函数，问()S x 是否连续？

回答是不一定。例如：当1x <时，()1

n n a x x −=，则有()1

1S x x

=

−，()n a x 在1x =处左连续，但()S x 在1x =处不是左连续的。

问题还可以提为：什么时候()S x 连续？ 3. 可导性能否保持？即：

若()n a x 均为可导函数，问()S x 是否可导？

同样有问题：什么时候可导性可以保持？特别地，如果均可导，()S x 的导数与()n a x 的导数有何关系？

4. 可积性问题。即：

若()n a x 均为可积函数，问()S x 是否可积？何时可积？它们的积分有何关系？ 为了研究上述几个问题，我们需要引进“一致收敛”的概念。

7.2§1 一致收敛的概念

讨论级数的收敛性实质上是其部分和函数()n S x 的性质，因此我们先考虑极限过程

()()lim n n S x S x →∞

=的性质。

上面所说的关于和函数的连续性，可导性、可积性有一个共同的特点，就是某一点x 处的连续性与可导性均与函数在该点邻域的性质有关，而不仅仅只与该点函数值相关，而可积性则更是函数在某一区间内的性质了。

另一方面，函数序列()n f x 在0x x =处是否收敛实际上只是数列()0n f x 的性质，与0

x 点邻域内的性质是不相干的，因此从这一角度看，我们知道收敛性是无法用来描述其极限函数之性质的，因而有必要引入新的概念来区分不同的收敛性，以刻画函数序列的极限函数的性质。

先来看极限之性质。我们知道收敛过程()()n f x f x →按照定义是：

0ε∀>，(),0N x ε∃>，当n N >时，有()()n f x f x ε−<

上述表述中，对于不同的x 值，所找到的N 是不同的。那么对于所有的x 是否可以找到同一个N 来呢？下面的定义就是从这一点出发的：

例1. 讨论函数列()22

1n x

f x n x =

+在(),x ∈−∞∞上的一致收敛性。

解： 显然()()0n f x f x →=

由于：()()2222

211

1122n x n x f x f x n x n x n n

−=

=≤++， 所以：0ε∀>，12N ε⎡⎤

∃=⎢⎥⎣⎦

，n N >时，(),x ∀∈−∞∞，均有：

()()n f x f x ε−<，即：()()

,0n f x −∞∞

⎯⎯⎯→。

一致收敛的函数有如下之等价定义：

定理1：()()n f x f x ⎯⎯→X

⇔()()lim sup 0n n x f x f x →∞∈−=X

。

证明：“⇒”由于()()n f x f x ⎯⎯→X

，按照定义，

0ε∀>，()0N ε∃>，当n N >时，x ∀∈X ，有()()n f x f x ε−<，

所以：()()()()sup n n x f x f x f x f x ε∈−=−≤X

，

7.3

即：()()lim 0n n f x f x →∞

−=。

“⇐”由于：()()lim 0n n f x f x →∞

−=，按照极限定义，

0ε∀>，0N ∃>，当n N >时，有()()n f x f x ε−<，

所以，x ∀∈X ，有()()()()sup n n x f x f x f x f x ε∈−≤−

，

即：()()n f x f x ⎯⎯

→X

。 证毕

例2. 讨论级数

1

1

n n x

∞

−=∑在()1,1−上的一致收敛性。

解： 容易计算出：()1

1S x x

=

−，考虑： ()()()11

1,11,11

11sup sup 11n

n

n

k k k k x x S x x x x −−−−==−=−=−−∑∑， 当11x n =−时，111n

n

x n x n ⎛⎞

=−→+∞⎜⎟−⎝⎠

，所以：()1,1sup

1n

x x −=+∞−， 即：级数不一致收敛。

例3. 讨论函数列()22

1n nx

f x n x =

+在()0,1上的一致收敛性。

解： 容易计算出：()0f x =，即：()()n f x f x →。考虑：

()()()

()

2222

0,10,1sup

0sup 11n nx nx

f x f x n x n x −=−=++， 当11x n =−时，111n

n

x n x n ⎛⎞

=−→+∞⎜⎟−⎝⎠

，所以：()1,1sup

1n

x x −=+∞−， 即：级数不一致收敛。

例4. 上述两个例子中，若改变讨论的区间，则函数列的一致收敛性会有变化。

例2中，若令：[]0,c =X ，1c <，则有：()[]1

0,1

sup 011n

n n

k c k x c x S x x c −=−==→−−∑（在

[]0,c 上函数

1n

x x

−单调上升），所以，在[]0,c （()0,1c ∀∈）上级数一致收敛到零。 在例3中，若令：[],1c =X ，()0,1c ∈

，则有：

()()()

22220,1sup

011n nx nc f x f x n x n c −==→++（n 充分大以后，22

1nx

n x +是对于x 是单调下降的），所以()[]

,10c n f x ⎯⎯→。