数量积向量积混合积

第二讲

Ⅰ 授课题目

§7. 2 数量积 向量积

Ⅱ 教学目的与要求

1、掌握向量的数量积的定义及数量积的性质；

2、掌握向量的向量积的定义及向量积的性质；

3、掌握向量的数量积与向量积的计算方法。

Ⅲ 教学重点与难点

1、重点：数量积与向量积的定义及性质。

2、难点：数量积与向量积的计算方法。

Ⅳ 讲授内容

一、两向量的数量积

数量积的物理背景: 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M 1移动到点M 2. 以s 表示位移→21M M . 由物理学知道, 力F 所作的功为

W = |F | |s | cos θ, 其中 为F 与s 的夹角. 数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及 它们的夹角θ 的余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积,

记作a ⋅b , 即

a ·

b =|a ||b | cos θ.

数量积与投影:

由于|b | cos θ=|b |cos(a ,^ b ), 当a ≠0时, |b | cos(a ,^ b ) 是向量b 在向量a 的方向上的投影, 于是a ·b = |a |

Prj a b .

同理, 当b ≠0时, a·b = |b | Prj b a .

这就是说，两向量的的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积。

数量积的性质:

(1) a·a = |a | 2.

这是因为夹角θ=0，所以

a ·a =|a || a | cos θ=|a | 2.

(2) 对于两个非零向量a 、b , 如果a·b =0, 则a ⊥b ；反之, 如果a ⊥b , 则a·b =0.

这是因为如果a·b =0，由于|a | 与|b |均不为零，所以 cos θ =0，从而θ=

2π，即a ⊥b ；反之如果a ⊥b ,那么2π

θ=，cos θ =0，于是a ·b =|a ||b | cos θ=0。

由于零向量的方向可以看作是任意的，故可以认为零向量与任何向量都垂直, 因此，上述结论可叙述为：向量a ⊥b a ·b =0.

数量积的运算律:

(1)交换律: a·b =b·

a θ

b a

(2)分配律: (a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c .

(3) (λa )·b =a·(λb ) =λ(a·b ),

(λa )·(μb ) =λμ(a·b ), λ、μ为数.

(2)的证明:

分配律(a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c 的证明:

因为当c =0时,

上式显然成立

当c ≠0时, 有

(a +b )⋅c =|c |Prj c (a +b )

=|c |(Prj c a +Prj c b )

=|c |Prj c a +|c |Prj c b

=a ⋅c +b ⋅c .

例1 试用向量证明三角形的余弦定理.

证: 设在ΔABC 中, ∠BCA =θ , |BC |=a ,

|CA |=b , |AB |=c ,要证

c 2=a 2+b 2

-2 ab cos θ .

记→CB =a , →CA =b , →AB =c , 则有 c =a -b ,

从而 |c |2=c ⋅c =(a -b )(a -b )=a ⋅a +b ⋅b -2a ⋅b =|a |2+|b |2-2|

a ||

b |cos(a ,^b ),

即c 2=a 2+b 2-2 ab cos θ .

数量积的坐标表示:

设a =(a x ,a y ,a z ), b =(b x ,b y ,b z ), 则

a·b =a x b x +a y b y +a z b z .

提示: 按数量积的运算规律可得

a·b =( a x i +a y j +a z k )·(b x i +b y j +b z k )

=a x b x i·i +a x b y i·j +a x b z i·k

+a y b x j ·i +a y b y j ·j +a y b z j ·k

+a z b x k ·i +a z b y k ·j +a z b z k ·k

= a x b x + a y b y + a z b z .

两向量夹角的余弦的坐标表示:

设=(a ,^ b ), 则当a ≠0、b ≠0时, 有

222222||||cos z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ. 提示:a·b =|a ||b |cos θ.

例2 已知三点M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求∠AMB .

解 从M 到A 的向量记为a ,从M 到B 的向量记为b ,则∠AMB 就是向量a 与b 的夹角. a ={1, 1, 0}, b ={1, 0, 1}.

因为

A c b a C

B

a ⋅

b =1⨯1+1⨯0+0⨯1=1,

2011||222=++=a ,

2101||222=++=b . 所以2

1221||||cos =⋅=⋅=∠b a b a AMB . 从而3

π=∠AMB . 二、两向量的向量积

在研究物体转动问题时, 不但要考虑这物体所受的力, 还要分析这些力所产生的力矩. 设O 为一根杠杆L 的支点.有一个力F 作用于这杠杆上P 点处. F 与→

OP 的夹角为. 由力学规定, 力F 对支点O 的力矩是一向量M , 它的模

→θsin |||||| F M OP =, 而M 的方向垂直于→OP 与F 所决定的平面, M 的指向是的按右手规则从→

OP 以不超过的角转向F 来确定的.

向量积: 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出:

c 的模 |c |=|a ||b |sin θ, 其中θ 为a 与b

c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定.

那么, 向量c 叫做向量a 与b 的向量积, 记作a ⨯b , 即

c =a ⨯b .

根据向量积的定义,力矩M 等于→OP 与F 的向量积, 即

→F M ⨯=OP . 向量积的性质:

(1)a a =0;

(2) 对于两个非零向量a 、b , 如果a ⨯b = 0, 则a //b ; 反之, 如果a //b , 则a ⨯b =0.

如果认为零向量与任何向量都平行, 则a //b a ⨯b = 0.

数量积的运算律:

(1) 交换律a ⨯b = -b ⨯a ;

(2) 分配律: (a +b )⨯c = a ⨯c + b ⨯c .

(3)(λa )⨯b = a ⨯(λb ) = λ(a ⨯b ) (λ为数).

数量积的坐标表示: 设a = a x i +a y j +a z k , b = b x i +b y j +b z k . 按向量积的运算规律可得

a ⨯

b = ( a x i +a y j +a z k ) ⨯ ( b x i +b y j +b z k )

= a x b x i ⨯i +a x b y i ⨯j +a x b z i ⨯k

+a y b x j ⨯i +a y b y j ⨯j +a y b z j ⨯k