抛物线及其标准方程

作业：
P76 习题3-2集 A组 T2，4，5
P77 B组 T1
p 0, 2
p 0, 2
x 2 2 py
p 0
p y 2
x 2 2 py p 0
p y 2
例题讲解
例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1） y 6 x 2 （2） y 6x
2
（3）6 x y 0
2
2
拓展思考：你能说明二次函数 y ax (a 0) 的图 象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标和准线方程。
例2 根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)已知抛物线的焦点坐标 F（ 2， ）; 是 0 3 (2)已知抛物线的准线方程 x . 是 2
p 解：(1) 抛物线的焦点是F（ 2， ） ， 抛物线的焦点在 上， 且 2 p 4 0 x 2 所以， 所求抛物线的标准方程 ：y 2 8 x. 是 3 p 3 (2) 抛物线的准线方程是 . 抛物线的焦点在 上， 且 p 3 x x 2 2 2 所以， 所求抛物线的标准方程 ：y 2 6 x. 是
当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px， p= 得 ∴抛物线的标准方程为x2 =
2 3 9 y或y2 = 2
y
A
o
4 x 3
x
-
例4.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的 距离小2，求点M的轨迹方程。 解:依题意,点M与点F的距离 y 等于它到直线x+4=0的距离, x+5=0 M 根据抛物线定义,点M的轨迹 是以点F(4,0)为焦点的抛物 线. o F(4,0) x ∵p/2=4, ∴p=8. ∵焦点在x轴的正半轴, ∴点M的轨迹方程为 y2=16x
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和 一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫 抛物线。 准线 点F叫抛物线的焦点, 直线l叫抛物线的准线。
H
d
M
·
焦 点
C
·
F
l e=1
MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d 思考： 如何建立坐标系,使抛物线的方程更简单, 其标准方程形式怎样?
二、标准方程的推导
y y=ax2
y=ax2+c y=ax2+bx+co Nhomakorabeax
y
M(x,y) K o l
解：以过F且垂直于 l 的直线 为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为
F
x 坐标原点建立直角坐标系xOy.
设 M ( x , y ) , FK p , p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x 2 2
依题意得
2
p 2 p 2 ( x ) y | x | 2 2
两边平方,整理得
y 2 px( p 0)
这就是所求的轨迹方程.
三、抛物线的标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程， 其中 p 为正常数，表示焦点在 x 轴正半轴上。
p的几何意义是:
焦点到准线的距离
例3 根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)焦点在直线3x-4y-12=0上 (2) 抛物线过点A（-3，2）。
解： (1)由题意，焦点应是直线3x-4y-12=0与x轴或y轴的交点，
即A（4，0）或 B（0，-3） 当焦点为A点时，抛物线的方程是y2=16x 当焦点为B点时，抛物线的方程是x2=-12y (2)当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时， 9 2 =2py， 得 p= 4 把A（-3，2）代入x
例5.在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到 点A(3,2)的距离之和最小。
y l Q O A
P
F
X
练习：
P72 练习1 T1，2，3 P73 练习2 T2，3
课
堂 小 结
椭圆与双曲线的第二定义
抛物线的定义
分类讨论的思想 数形结合的思想
抛物线的 定义及标 准方程的 简单应用
抛物线四种形 式的标准方程
§2 抛 物 线 2.1 抛物线及其标准方程
北师大版2-1
金太阳教育
复习回顾
平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离 的比是常数e的点的轨迹。
(1)当0<e<1时，是椭圆； (2) 当e＞1时，是双曲线；
l l M F · F M
·
e＞1
0＜e ＜1
那么，当e=1时，它又是什么曲线？ 几何画板观察
y l
p 焦点坐标是 ( , 0) , 2
p 准线方程为: x 2
K
o
F
x
三、抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y 2 2 px
p 0
y 2 2 px p 0
p p ,0 x 一次项变量对称轴 2 2
开口方向看正负 p p 焦点坐标四分一 x ,0 2 2 准线方程相反数