3.3 谐振腔的稳定性条件

2
1
R
符号规则：凹面镜R取 凸面镜R取
3）薄透镜的光线变换矩阵Tf
由
r2
2

r1
r1 f
1
可得薄透镜对傍轴光线的 变换矩阵为
1 0


Tf



1 f
1
3.光线在腔内往返传播的矩阵
1）往返传播一次的光线变换矩阵
L
光线在腔内往返传播一次后：
R1 Βιβλιοθήκη Baidu R2 R1
1
R1 R2 R2


1
iii. 对称共焦腔 ——稳定腔
R1

R2

L，g1

g2

1
L R

0，满足
g1g2

0


An Cn
Bn Dn

式中 arccos1 ( A D)
2
n次往返后光线的坐标参数为
rn Anr0 Bn0 n Cnr0 Dn0
二、共轴球面腔的稳定性条件
要傍轴光线 不逸出腔外
要求Tn的各元 素取有限实数
要求为实 数
因此，要求
1 1 (A D) 1 2
rnn


T1T2T...T
n个T
r00


T
n
r00

由薛而凡斯特定理可知
Tn
A C
B
n

D

1
sin

A
sin
n sin(n C sin n

1)
Bsinn Dsinn sin(n

1)

0 (1 L )(1 L ) 1
R1
R2
——谐振腔稳定性条件
引入谐振腔的g 参数：

g1

1

L R1


g2

1
L R2
R的符号规则： 凹面镜向着腔内 R取 凸面镜向着腔内 R取
g参数表示的稳定性条件为： 0 g1g2 1
讨论
以g1 、 g2为轴可以画出稳区图
r55
＝1
2 R1
0 1
1 L
1
0
1
2 R2
0 1
10
L 1
r11

1 2L
2L(1 L )

r55


R2


[
2 R1

2 R2
(1
2L )]
特点：非稳腔具有较高的几何损耗
c. 满足 g1g2 1或 g1g2 0的腔称为临界腔或介稳腔。
特点：临界腔的性质介于稳定腔和非稳腔之间
i. 平行平面腔 ——介稳腔
R1 R2 ，g1 g2 1，满足 g1g2 1
ii. 共心腔 ——介稳腔
R1

R2

L，满足
g1g2

1
其中
r：光线离轴线的距离
：光线与轴线的夹角

r
符号规则：出射方向在轴线上方取
出射方向在轴线下方取
一条傍轴光线可以用列矩阵表示，为r

＃说明： 傍轴满足 sin tg
2.光线变换矩阵
若一条入射光线r1 ,1 ，经过一个光学系统后，变成
出射光线r2
,
入射光线经过光学系统后引起的坐标变化。
1) 一段自由空间的光线变换矩阵TL
设光线r11 传输距离L后，成为光线r22
则有
r2
r1 L1 2 1
光线变换矩阵为
TL

1 0
L 1
(r1,1) 1
r1
L
(r2,2 ) 2
1 1 {1 2L [ 2L (1 2L )(1 2L )]} 1
2
R2 R1
R1
R2

1 1 2L 2L 2L2 1
R1 R2 R1R2

0 2 2L 2L 2L2 2
R1 R2 R1R2
得：
0 1 L L L2 1 R1 R2 R1R2
g2
1
（1,1）平平腔
-1 0
1
g1
（-1,-1）
对称共心腔
-1 对称共焦腔
a. 满足 0 g1g2 1的腔，腔内傍轴光线在腔内往返 无限多次而不会横向逸出腔外，这种谐振腔处于 稳定工作状态，称为稳 定 腔。
特点：稳定腔的几何损耗可以忽略
b. 满足 g1g2 1或 g1g2 0的腔，腔内任何近轴光束 在往返有限多次后，会横向逸出腔外，这种谐振 腔处于非稳定工作状态，称为非 稳 腔。
R1
[ 2L R1
R2 (1
2L R1
)(1
2L R2
)]r11


往返矩阵：
1 2L
2L(1 L )

T



[
R2 2 R1
2 R2
(1
2L)] R1
R2


[
2L R1

(1

2L R1
)(1

2L R2
)]


第三节 光学谐振腔的稳定性条件
问题1：什么是稳定腔？
光线在谐振腔内往返任意多次也不会横向逸 出腔外的谐振腔称为稳定谐振腔，简称稳定腔。
问题2：什么是非稳腔？
光线在谐振腔内往返有限次即横向逸出腔外 的谐振腔称为非稳定谐振腔，简称非稳腔。
一、腔内光线往返传播的矩阵表示
1.光线矩阵
一条傍轴光线可以用r、 两个参数表示：
A C
B D

2）谐振腔的等效周期透镜波导
由于曲率半径为R的球面反射镜对傍轴光线的反射变 换与焦距 f R 2 的薄透镜对其的折射变换等效
因此，可以将光线在谐振腔内的往返传播等效于光线 通过一个周期透镜波导的传播，每一次反射对应于通过— 个薄透镜。
3）往返传播n次的光线变换矩阵
光线r00 在腔内往返传播n次后的光线rnn 为：
2
，则可用矩阵
A C
DB 描述光学系统对光线
的变换作用
r22



A C
B D
r11

即
r 22

Ar1 Cr1

B1 D1
r1
1
r1 r2
光学系统
r2 2 z
z1
z2
矩阵
A C
DB 就是该光学系统的光线变换矩阵,描述
r2
2) 球面反射镜的光线变换矩阵TR
设光线r11
经过球面反射镜反射后的光线为r22

则有
r2 r1
入射角 反射角
1 2
（r1,1)
1

2
（r2,2 )
2

2
1

2
r1 R
1
R
1 0

TR