2011学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学

2011学年度广州市高中二年级学生学业水平测试

数 学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合

题目要求的． 1. 已知集合{}1,2A =, {}1,0,1B =-, 则A B 等于

A .{}1 B. {}1,0,2- C. {}1,0,1,2- D. ∅ 2. cos120︒的值是

A . 2

-

B. 12

-

C.

12

D.

2

3. 不等式2230x x --<的解集是

A . ()3,1- B. ()1,3-

C. ()(),13,-∞-+∞

D. ()(),31,-∞-+∞ 4. 已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12//l l , 则a 的值为 A . 8 B. 2 C. 12

- D. 2-

5. 函数sin 2y x =是

A . 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为π的奇函数 6. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为 A . 2 B. 3 C. 4 D. 9

7. 如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪

--≤⎨⎪+-≥⎩

则2x y +的最大值为

A . 1 B.

53

C. 2

D. 3

8. 已知某几何体的三视图如图1所示, 其中俯视图是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为

A . B.

C.

D.

9. 已知向量=a ()1,n , =b (),1n , 其中1n ≠±, 则下列

结论中正确的是

A . ()()//-+a b a b B. ()//+a b b C. D. ()+⊥a b b

10. 已知函数(

)1f x =

, 则对任意实数12x x 、,且1202x x <<<, 都有

A. B. C. D.

()()1221x f x x f x <()()

1122x f x x f x >()(-⊥+a b a b ()()1221x f x x f x

>

4

正视图 侧视图

俯视图

图1

()()1122x f x x f x <

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 函数()ln 21y x =-的定义域是 .

12. 在空间直角坐标系O xyz 中, 点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为 . 13. 某公司生产A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公

司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车 比B 种型号的轿车少8辆，那么n = . 14. 已知函数1(0x y a a -=>且1)a ≠的图象恒过点A . 若点A 在直线

上, 则

12m n

+的最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. （本小题满分12分）

编号分别为12312,,,,A A A A 的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:

（1）完成如下的频率分布表:

（2）从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人 , 求这2人得分之和大于25的概率.

16．(本小题满分12分)

在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知13,2,cos 3

a b A ===

．

（1）求sin B 的值； （2）求c 的值.

()

100mx ny mn +-=>

如图2，在三棱锥P A B C -中，5,4,3AB BC AC ===，点D 是线段P B 的中点， 平面P A C ⊥平面ABC ．

（1）在线段AB 上是否存在点E , 使得

的位置, 并加以证明；

若不存在, 请说明理由; （2）求证：P A B C ⊥.

18. （本小题满分14分）

已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=, 424S =．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令1

2

111n n

T S S S =+

++

，求证：34

n T <

.

已知圆C 的圆心坐标为()1,2, 直线:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，M N =2.

（1）求圆C 的方程;

（2）若1t ≠, 过点(),0A t 作圆C 的切线, 切点为B ，记1d AB =, 点A 到直线l 的距离为2d , 求

12

1d d -的取值范围.

20. （本小题满分14分） 已知

113

a ≤≤, 若函数()22f

x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ,最小值为()N a ,

令

()()()g a M a N a =-.

（1）求()g a 的表达式;

（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解, 求实数t 的取值范围.

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分． 11. 1

,2⎛⎫

+∞

⎪⎝⎭

12. ()1,2,3-- 13. 72 14.

3+ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． (1) 解:频率分布表:

………4分

(2)解: 得分在区间[)10,20内的运动员的编号为2A ,3A ,4A ,8A ,11A .从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{}23,A A , {}24,A A ,{}28,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,

{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共10种. ………7分

“从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于25”(记为事件B )的所有可能结果有:{}24,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,

{}411,A A ,{}811,A A ,共8种. ………10分

所以()80.810

P B =

=.

答: 从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人, 这2人得分之和大于25的概率为 0.8. ………12分 16．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分． （1）解：∵0A π<<，1cos 3

A =，

∴sin 3A =

=

． ………2分 由正弦定理得：

sin sin a b A

B

=

， ………4分

∴2sin 3sin 3

9

b A B a

⨯=

=

=. ………6分

（2）解：∵13,2,cos 3

a b A ===，