事件关系及运算-概率论第一章

古典概型.练习
例4
解：把n个人分配到N间房中取有N n 种分配方法，故样本点 总数为N n . (1)某指定n间房中各有一人：相当 于对n个人的一个全排列，故 A包含 的样本点数为 n!，则P ( A) n! ; Nn (2)恰有n间房中各有一人：可从 N间房中挑出n个房间，再对 n个人全
n CN n! 排列，故B的样本点数为 C n!，则P ( B ) ; Nn (3)某指定房中恰有 m人：可从n人中挑出m人，剩余的n m个人可任意 n N m 分配到其他的 N 1间房中去，于是 C包含的样本点数为 Cn ( N 1) n m , 则 m Cn ( N 1) n m P (C ) ; Nn (4)恰有k个房间，其中 m人：从N间房中选出k个房间，从n个人中挑选m
Y 4
1ຫໍສະໝຸດ Baidu2
4 O X
1 2
4
4
几何概型

练习：
设D为x轴以及y 2 ax x2 ( a 0)所围区域，现随机往 D 内扔一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积 成正比。求点落入与原点连线与x轴正向的夹角小于 的 4 区域的概率。
例3 （模球问题）盒中有a个黑球，b个白球，现把球一个一个摸出，
求第k次摸出黑球的概率(1 k a b)。
解法二：仅区分黑白，而黑球之间无差别，白球之间也无差别，即 a b 不放回不计序。于是样本空间的基本事件总数为组合数 。而 a 事件“第k次摸出黑球”所含的基本事件数，则要求第k 个位置是黑 球，余下的a b 1个位置中选择a 1个位置放置黑球，即组合数 a b 1 . a 1 设事件A表示“第k次摸出黑球”，则所求概率为 a b 1 a 1 a P( A) ab a b a
此外，例1还有这样的解法：
解法三：由于只要求出第k次摸出的球是黑球的概率，所以只需考虑 前k 个球的排列情况。在总数为a b个球中摸出k 个球的所有排列数为 (a b)! k Aa b 。而第k次摸出的球为黑球，有a种可能，故在其前面的 (a b k )! k 1个位置由a b 1个球中选出k 1个球来排列，故事件A的一切排列 a (a b 1)! 数为 (a b k )! a (a b 1)! a 则所求概率为 P( A) (a b)! ab
概率论与数理统计
随机事件及其运算 概率计算 2015.3.9
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一、定义
1.随机试验：（1）在相同条件下可重复；（2）结果是多样 的（不唯一）；（3）试验前结果未知（但所有结果已知） 2.样本空间：随机试验一切可能的基本结果所成的集合，记 作 。 的子集。 3.随机事件：
二、事件的运算与关系
“投球入盒”模型：将n个球放入r个盒子中，按球是否 可有区别、盒子容纳球的数目多少分为下列四种情况：
样本点的计数 每个盒子可容纳 任意多个球 每个盒子只能容 纳一个球
球有区别
球无区别
n r 1 n 1
n
r
n(n 1) (n r 1)
n r
古典概型.练习
1 例4（分房问题）有n个人，每个人都以相同 的概率 (n N )被分配到N间房 N 的任一间中，试问下列 事件的概率有多大？ (1) A " 某指定n间房中各有一人 "； (2) B " 恰有n间房中各有一人 "； (3)C " 某指定房中恰有 m(m n)人"； (4) D " 恰有k个房间，其中有 m人"。
样本点的计数 放回 不放回
计序
不计序
n r 1 n 1
n
r
n(n 1) (n r 1)
n r
此外，还要根据具体问题利用加法原理、乘法原理、排列、组合等方法 来计数。另外记住几个有用的模型，比如模球问题、超几何分布等，也 是有必要的。
例题.练习
例2 设A、B是随机事件，试证 ： ( AB) AB AB AB.
证：对等式两边取互斥 变为：AB ( AB AB AB) 右边 ( AB) ( AB) ( AB) ( A B) ( A B) ( A B) ( A A AB B A BB) ( A B) ( AB B A) ( A B) ABA ABB B AA B AB AB AB AB，得证。
1.运算：（1）A BorA B ：A或B发生 （2）ABorA B ：A，B同时发生 （3）A B ：A发生且B不发生 （4） A ：A的补事件
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二、事件的运算与关系
2.关系：（1）包含： A B ，A发生则B一定发生 （2）相等 ：A B且B A A B （3）互斥：A，B不同时发生，即 AB （4）对立 ： AB , A B 3.
同的工作，求分配方式一共有多少种。
2 解：先挑出两个人去完成第一项工作，有 C6 种方式，再 2 挑出两个人去完成第二项工作，有 C4 种方式，剩下的两
个人去完成第三项工作，所以一共有
2 2 C6 C4
6! 90 2!2!2!
种方式。
典型例题
例6
将7人分成三个小组，去完成同一项任务，其中一组 3人，另外两组2人，求分组方式有多少种。
例题.练习
例7
已知方程x y z 15，试分别求出它有多少种正整 数解和非负整数解( x, y, z)。
解：该模型可转化为将15个无区别的小球放入3个不同的盒子
中，然后把第1, 2,3个盒子中的球数对应为x, y, z。 故非负整数解的组数（即允许空盒出现的情况）为 17 16 C C 136; 2 正整数解的组数（即不允许空盒出现的情况）相当于在15
P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An )
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四、概率基本公式（部分）：
1.减法公式： P( A B) P( A) P( AB) 2.加法公式： P( A B) P( A) P( B) P( AB) P( A B C) P( A) P( B) P(C) P( AB) P( BC) P( AC) P( ABC) 3.补： P( A) 1 P( A)
例题.练习
例1
设A、B、C表示三个事件，用 A、B、C表示如下事件： (1) A发生且B与C至少有一个发生； (2) A与B发生而C不发生； (3) A、B、C中至少有两个发生； (4) A、B、C中至多有两个发生； (5) A、B、C中不多于一个发生； (6) A、B、C中恰有一个发生；
答案： (1) A ( B C ); (2) ABC ; (3) AB BC AC; (4) ABC; (5) AB BC AC or A BC B AC C AB ABC; (6)A BC ABC A BC
例3 （模球问题）盒中有a个黑球，b个白球，现把球一个一个摸出，
求第k次摸出黑球的概率(1 k a b)。
解法一：总数为a b个球中不仅区分黑白，且黑球之前有差别，白球 之间也有差别，即不放回且计序。于是样本空间的基本事件总数为排 列数(a b)!。现考虑“第k次摸出黑球”所含的基本事件数，把摸出 的球按先后次序排成一行，形成如下形式 **L * 黑 **L *， * ** 黑 * ** 其中第k 个位置要求是黑球，于是对该位置有a种选择，而一旦取定某 黑球以后，余下的球在a b 1个球中，利用排列数得到“第k次摸出 黑球”所含的基本事件数为a (a b 1)! 设事件A表示“第k次摸出黑球”，则所求概率为 P( A) a (a b 1)! a (a b)! ab
个人，而这m个人可去k个房间中任一间房中取 ，故D包含的样本点数为
k m m CN Cn k C C k ，故P ( D) . Nn k N m n m
古典概率.多项组合
n个对象分成r类，第i个类含有ni 个对象，i 1,...,r , ni n,
i 1 r
那么这种分类方式共有 n n! n n n n !n ! n ! r 1 2 1 2 r
概率计算
古典概型与几何概型

古典概型
若试验的基本事件数为有限个，且每个事件 发生的可能性相等，则试验对应古典概型 （等可能概型），事件 A 发生的概率为：
A中所含样本点数 k P( A) 中样本点总数 n
古典概型与几何概型

样本点个数的计数问题有很大的技巧性，例如常讨论的问题：
从n个不同的元素中取 r个元素，有多少种取法 ？这就需要按每次取出 后是否放回以及所取的 r个元素是否要考虑不同 次序而分成四种情况：
A的度量（长度、面积或体积） P( A) 的度量（长度、面积或体积）
例8
(投针问题)平面上有间隔为 d (d 0)的等距平行线，向平面 任意投掷一 枚长为l (l d )的针，求针与任一平行 线相交的概率 .
解：设x表示针的中点与最近一 条平行线的距离， 表示针与此直线 间的夹角， 易知样本空间 {( x, ) 0 x d ,0 }. 2 d 在 x平面上，样本空间的面 积S .记 2 事件A为针与平行线相交，则 事件A发生的充 l 要条件是 x sin 2 l S 2l S A sin d l , 故P( A) A . 2 S d 0
15 15 31 15 17
个球中挑2个缝隙来放置盒子的挡板的方式数，故有
31 2 C15 C 1 14
14 13 91. 2
古典概型与几何概型

几何概型 若实验E的样本空间 为几何空间的一个有界区域， 且 中每个样本点，即基本事件出现的可能性相同， 则称实验E为几何概率。此时，事件 A 的概率定 义为：
解：该问题等价于把7个不同的球，放入3个相同的 盒子中，其中1个盒子装3个球，另外两个盒子装2个 球，所以有
7! 1 7！ = 105 3!2!2! 1! 2 ！ 3!2 ！ 2 ！ 2!
种分组方式。

注：将n个对象分成r个类，这里各个类别相当于有 区别的盒子。题目中要注意所分的组有无区别。
注：这里的类是有分别 的，可看成是 n个对象分成r个有顺序 的组。因此，在运用组 合模式计数时，在计算 出的分组方式 数目中，不但计入了谁 和谁分在一起的不同方 式，还计入了 各个组之间的不同编号 方式。如果r个组是无顺序的组，那 么 计数时不需考虑各个组 之间的不同编号方式。
典型例题
例5 将6个人分成三组，每组两个人，分别去完成三项不
(6)吸收律： ( A B) A A, ( A B) A A
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三、概率定义
：样本空间，定义函数P (g) (事件作为自变量)，若P满足：
（1） P( A) 0 （ 2） P ( ) 1 （3）若A1 ,..., An ,...两两互斥，则P( An ) P( An ) n 1 n 1 称 P ( A)为A的概率. 注：1）P( ) 0 若A1 ,..., An两两互斥，则 2）
注：
1.答案与k无关，可见无论k为多少，在不放回且不知道 结果的情况下第k次取出黑球的概率都与第一次取到黑 球的概率相等。 2.上述两种不同解法，虽然采取了不同的计数模式来 计算 与 A ，但计算出的结果是相等的。这说明概 率计算问题不等同于普通的计数问题，在概率的计算 中，重要的不是采用何种计算模式来计算样本空间和 随机事件中的样本点数，而是要保证对 与A 采用同一种计数模式。