理论力学 第09章 动量定理

9.1 动量定理与动量守恒
【解】 对矩形板和虫组成的质点系统 进行分析，画出受力分析及运 动量的示意图，如图所示：
m2
m1
9.1 动量定理与动量守恒
【解】 系统动量：(矢量)
m2
p = m1v1 + m2 v 2
v 2 = v r + v1
m1
dpx e = ∑Fix = 0 p x = p x 0 = 0 dt
p = (m1 v1, m2 v2 ,⋅ ⋅ ⋅, mn vn )
9.1 动量定理与动量守恒
所有质点动量的矢量和，称为质点系的动量 质点系的动量，又称为动 质点系的动量 动 量系的主矢量，简称为动量主矢 动量主矢。 量系的主矢量 动量主矢
p = ∑ mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
rC =
∑m r
p = mv
动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量， 动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量，而且质点 动量是定位矢量。 动量是定位矢量。 质点系运动时， 质点系运动时，系统中的所有质点在每一瞬时都具有各自 动量系。 的动量矢。质点系中所有质点动量矢的集合，称为动量系 的动量矢。质点系中所有质点动量矢的集合，称为动量系
【解法2】 p = mvC
质心：点 C 点 C 的速度
vC = ω⋅ OC = ωl
系统的质量
vC = −ωl sin ϕ ⋅ i +ωlcosϕ ⋅ j
∑m = m
A
+ mB = 2m
p = (∑m)vC = 2m(−ω l sin ϕ i +ω l cosϕ j)
p = 2lω m(− sin ϕ i + cos ϕ j )
vCx = c1 ,或 vCy = c1 或 vCz = c1
e R
， 若F ＝ 或F ≠ 0 F = 0Leabharlann Baidu0
e R e Rx
并且系统初始静止
结论如何？
——质心位置守恒
9.2 质心运动定理
【例9-3】图示电动机外壳和定 子的总质量为m1， 质心位于转 子转轴的中心O1；转子的质量为 m2，由于制造或安装误差，转子 的质心O2到转轴中心O1的距离为 e，转轴中心的高度为h，已知转 子以等角速度ω 转动。 （1） 若电动机用螺栓固定在刚 性基础上，求电动机机座水平和 铅直方向的约束力。 （2） 若电动机机座与基础之间 没有螺栓固定，且接触面绝对光 滑，初始时，ϕ = 0, v10 = 0, v20=v20y=eω，求电机外壳的运动。
解得水平和铅直约束力：
2
Fx = −m2 eω cosωt
Fy = m1 g + m2 g − m2 eω 2 sin ωt
9.2 质心运动定理
【解】
Fx = −m2 eω cos ωt
2
eω2
Fy = m1 g + m2 g − m2 eω 2 sin ωt
m1g
Fy
Fx
M
电动机约束力是时间的正弦和余弦函数，并存在最大 值和最小值。其中，由重力引起的约束力称为静约束力 静约束力， 静约束力 由转子的运动引起的约束力称为动约束力 动约束力。动约束力与静 动约束力 约束力的差，称为附加动约束力 附加动约束力。由转子偏心引起的力将 附加动约束力 使电动机和机座发生振动。
9.2 质心运动定理
【解】 （2）电动机没有固定的情形
∑
Fxe = 0
eω2
ϕ 系统初始： = 0 v10 = 0 v20 x = 0
m1g
Fy
M
m1 ⋅ 0 + m2 e C0 = m1 + m2 在 t 瞬时，设电动机位移为x， 则系统质心 Fx m1 x + m2 ( x + e cos ωt ) xC = m1 + m2 m2 e x= (1 − cos ωt ) 由xC0= xC m1 + m2 这就是电动机在水平方向的运动方程，它是 m2 e 一个平衡中心在 的简谐运动。 m1 + m2
9.2 质心运动定理
【解】
（1）电动机固定在基础上的情形 受力分析 运动分析
eω2
aC1 = aO1 = 0
n a C 2 = a O 2 = eω 2
m1g
Fy
Fx
M
由质心运动定理 e mi aCix = ∑ Fix ∑
e mi aCiy = ∑ Fiy ∑
m1 ⋅ 0 + m2 (−eω 2 cos ωt ) = Fx 可得： m1 ⋅ 0 + m2 (−eω 2 sin ωt ) = Fy − m1 g − m2 g
i
i
i
m
vC =
∑m v
i i
i
m
p = mvC
个刚体的质心 i 的i C
若质点系是由多个刚体组成，设第 速度为
v，则整个刚体系统的动量 Ci
p = ∑mvCi i
9.1 动量定理与动量守恒
9.1.2 冲量
作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量，用 I 表示。 常力的冲量， 常力的冲量 即
I=Ft
若作用力F为变量，在微小时间间隔 dt 内，F 的冲量称 为元冲量。即 元冲量。 元冲量
s = Rθ
m2
s = vr t = Rθ
& = vr θ R
2
vr t θ= R
m1
m2 vr cosθ a板 = a1 = (m1 + m2 ) R
9.1 动量定理与动量守恒
【解】 计算约束力 FN
m2
p y = m2 vr cos θ
dp y dt = FN − m1 g − m2 g
m1
& m2 vr (− sin θ )θ = FN − (m1 + m2 ) g
p=C
质点系动量守恒的特殊情形
e FR ≠ 0， Rx = 0,或 Ry = 0,或 Rz = 0 Fe Fe Fe
px = c1 或 py = c1 或 pz = c1
9.1 动量定理与动量守恒
【例9-1】图示椭圆规机构，OC=AC=BC=l，忽略杆 OC 和 AB 的质量，物块 A 和 B 的质量等于m， 杆OC绕点O 以匀角速度 ω 作定轴转动， 求图示瞬时系统的动量。
p x = m1v1 + m2 (v1 − vr sin θ ) = 0
m2 vr sin θ v板 = v1 = m1 + m2
9.1 动量定理与动量守恒
【解】 矩形板的加速度:
m2 vr sin θ v板 = v1 = m1 + m2
& dv1 m2 vrθ cos θ a1 = = dt m1 + m2
9.1 动量定理与动量守恒
【解法1】
p = mAvA + mBvB
yA = 2l sin ϕ & vAy = 2lϕ cosϕ = 2lω cosϕ xB = 2lcosϕ & vBx = −2lϕ sin ϕ = −2lωsinϕ
p = 2lωm(− sin ϕ i + cos ϕ j )
9.1 动量定理与动量守恒
∑ p − p = ∑I e p2z − p1z = ∑I z
p2x − p1x =
2y 1y e y
e Ix
9.1 动量定理与动量守恒
3. 动量守恒 质点系动量守恒
(conservation of momentum of a system of particles)
dp dt
=F
e R
e 若 FR＝ 0
系统质心： x
9.2 质心运动定理
【解】
eω
2
m2 e x= (1 − cos ωt ) m1 + m2
d = (∑mivi ) = ∑Fii + ∑Fie dt dt i i i
i FR = ∑Fii = 0 —— 内力主矢
e FR = ∑Fie i
i
—— 外力主矢
9.1 动量定理与动量守恒
对于质点系
dp dt
=F
e R
d e 或 (∑mivi ) = FR dt i
质点系的动量主矢对时间的一阶导数，等于作用在 质点系的动量主矢对时间的一阶导数， 质点系动量定理( 这一质点系上的外力主矢 —— 质点系动量定理 theorem of the momentum of a system of particles) (微分形式 。 微分形式) 微分形式 在直角坐标轴上的投影形式为 在直角坐标轴上的投影形式为 投影形式
d(mv) = Fdt
t2 t1
— 动量定理微分形式 — 动量定理积分形式
mv2 − mv1 = ∫ Fdt = I
9.1 动量定理与动量守恒
2. 质点系的动量定理 对于质点 对于质点系
dp
d (mivi ) = Fi dt dpi d(mi vi ) ∑ dt = ∑ dt = ∑Fi i i i i e Fi = Fi + Fi
第9章 动量定理
9.1 动量定理与动量守恒 9.2 质心运动定理 9.3
＊流体在管道内定常流动时引起的动压力
小结
9.1 动量定理与动量守恒
9.1.1 动量 9.1.2 冲量 9.1.3 动量定理与动量守恒
9.1 动量定理与动量守恒
9.1.1 动量
质点的动量 质点的动量 (momentum) —— 质点的质量与质点速度 的乘积，称为质点的动量 质点的动量。 的乘积，称为质点的动量
系统的动量
9.1 动量定理与动量守恒
【例9-2】 图示质量为m1的均质矩形板可在垂直于板面的光滑 水平面上运动，板上有一半径为R的圆形凹槽，一质量为m2的 甲虫以相对速度vr沿凹槽匀速运动。初始时板静止，甲虫位于 圆形凹槽的最右端（即θ = 0°）。求甲虫运动到图示位置时， （1）板的速度和加速度；（2）地面作用在板上的约束力。
θ=
vr t R & θ= vr R
m2 vr2 sin θ FN = (m1 + m2 ) g − R
9.2 质心运动定理
9.2.1 质心运动定理 9.2.2 质心运动守恒定律
9.2 质心运动定理
9.2.1 质心运动定理
根据质点系质心的位矢公式
rC =
∑m r
i i
i
m
vC =
∑m v
i i
i
m
aC =
e R
∑m a
i i
i
m
d e (∑mivi ) = FR dt i
maC = F
质点系的总质量与质点系质心加速度乘积， 质点系的总质量与质点系质心加速度乘积，等于作用在 这一质点系上外力的主矢 —— 质心运动定理(theorem of the 质心运动定理 motion of the center of mass) 。 质心运动定理揭示了动量定理的实质：外力主矢仅仅 确定了质点系质心运动状态的变化。
力系的冲量等于力系的主矢在同一时间内的冲量。 力系的冲量等于力系的主矢在同一时间内的冲量。对 于整个质点系来说，只有作用于其上的外力才有冲量。
9.1 动量定理与动量守恒
9.1.3 动量定理与动量守恒
1. 质点的动量定理
dp d(mv) = =F dt dt
质点的动量对时间的一阶导数， 质点的动量定理 —— 质点的动量对时间的一阶导数，等于 作用在质点上的力。 作用在质点上的力。
9.2 质心运动定理
若质点系是由多个刚体组成，则应用动量定理时，常采 用质心运动形式 ---- 质心运动定理。 质心运动定理。 质心运动形式 或者变换为
maC = F
e R
e d d e (mvC )＝ (∑mivC i ) = FR maC＝ miaC i = FR dt dt i i
∑
mi－ 第i个刚体的质量； vCi－ 第i个刚体质心的速度；
e Rz
质心运动定理在自然轴上投影为: 质心运动定理在自然轴上投影为: 在自然轴上投影为
d vC m = dt
∑
Fte
m
2 vC
ρ
=
∑
e Fn
∑
e Fb
=0
9.2 质心运动定理
9.2.2 质心运动守恒定律
maC = F
e R
e 若FR＝ 0
vc = c
质心运动守恒的特殊情形
e FR ≠ 0， Rx = 0， FRy = 0， FRz = 0 Fe 或 e 或 e
dI = Fd t
力F 在作用时间 t 内的冲量是矢量积分
I = ∫ Fdt
0
t
9.1 动量定理与动量守恒
若质点系有多个力作用，各力冲量的矢量和称为力系的冲 力系的冲 量，即
I = ∑Ii = ∑∫ Fi d t
t1
t2
变换求和与积分的顺序，得
I =∫
t2
t1
∑F dt = ∫
i
t2
t1
FR dt
dpy dpx dpz e e e = ∑Fx , = ∑Fy , = ∑Fz dt dt dt
9.1 动量定理与动量守恒
p2 − p1 = ∫ F dt = I
e R t1
t2
质点系动量在一段时间内的改变量等于系统中所有质 点冲量的矢量和。 积分形式） 点冲量的矢量和。 （积分形式） 在直角坐标轴上的投影形式为 在直角坐标轴上的投影形式为 投影形式
m－ 刚体系统的总质量； vC－ 系统质心的速度；
aCi－ 第i个刚体质心的加速度； aC － 系统质心的加速度
9.2 质心运动定理
质心运动定理在直角坐标轴上投影为: 质心运动定理在直角坐标轴上投影为: 在直角坐标轴上投影为
maCx = F , maCy = F , maCz = F
e Rx e Ry