第八章线面与立体相交

2.7 平面、直线与立体相交2.7.1 平面与平面立体相交

2.7.2 直线与平面立体相交

2.7.3 平面与曲面立体相交

2.7.4 直线与曲面立体相交

2.7.1 平面与平面立体相交

如图所示：平面P称为截平面；棱线与截平面的交点称为截交点；截平面与三棱柱表面的交线称为截交线；截交线围成的平面图形，称为断面。

图2.159 平面与平面立体相交的概念

1.平面与棱柱相交

图2.160 作正三棱柱的截交线及断面真形

(a)已知条件

(b)作图过程和作图结果如图2.160a 所示，棱线为侧垂线的正三棱柱被正垂面P 截去左端，作截交线和完成截断体的水平投影，并求作断面的真形。［解］

如图2.161a 所示，求作一般位置的平行四边形ABCD 与正四棱柱的截交线。

图2.161 作一般位置平面与正四棱柱的截交线

［解］

(b)作图过程和作图结果(a)已知条件

(a)已知条件

如图2.162a 所示，求作斜三棱柱

AA 1BB 1CC 1的法断面(也就是垂直

于棱线的截平面所截得的断面)的

水平投影和正面投影，并作出法

断面的真形。

图2.162 作斜三棱柱的法断面的两面投影及其真形

［解］

(b)作图过程和作图结果①将斜三棱柱的棱线变换为

V 1面平行线

②在H 、V 1新投影面体系中

作出法断面的投影

③在H 、V 原投影面体系中作

出法断面的投影

④作法断面的真形

2.平面与棱锥、棱台相交

图2.163 作三棱锥的侧面投影和截交线的投影及断面真形

如图2.163a 所示，求

作三棱锥SABC 的侧

面投影，以及被正垂

面P 截得的截交线的

三面投影，并作出断

面的真形。

(a)已知条件

(b)作图过程和作图结果［解］

①作三棱锥的侧面投影

②作截交线的三面投影

③作断面的真形

如图2.164a 所示，正三棱锥被一个正垂面和一个水平面切割成一个具有切口的三棱锥，补全这个具有切口的三棱锥的水平投影，并作出它的侧面投影。

图2.164 补全正三棱锥的水平投影，并作出它的侧面投影

(b)切口和截交线的分析

(a)已知条件(c)作图过程和作图结果［解］

①作三棱锥

的侧面投影

②作截交线

的三面投影

如图2.165a 所示，补全具有正四棱柱孔的正四棱台被正垂面切割后的截断体的水平投影，作出它的侧面投影，并作断面的真形。

图2.165 补全水平投影，作出侧面投影和断面真形

(a)已知条件

(b)作图过程和作图结果［解］

①作出尚未切割时的具有正

四棱柱孔的正四棱台的侧面

投影

②补全截断体

的水平投影和

侧面投影

③作断面的真

形

直线与平面立体相交，当直线或平面

立体表面的投影有积聚性时，利用投

影的积聚性可以很方便地作出贯穿点。

如图2.166a 所示，求作直线AB 与正四

棱柱的贯穿点，并表明直线的投影及

其可见性。

2.7.2 直线与平面立体相交

图2.166 作AB 与正四棱柱的贯穿点，表明可见性

1.直线或平面立体表面的投影有积聚性时相交(a)已知条件

(b)作图过程和作图结果［解］

①由水平投影的积聚性作贯穿点1

②由正面投影的积聚性作贯穿点2

③判别可见性，将可见部分画成

粗实线

如图2.167a 所示，求作直线AB 与正四棱锥的侧面投影，作出贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。

图2.167 作AB 与正四棱锥的贯穿点，表明可见性(a)已知条件

(b)作图过程和作图结果［解］

①作直线AB 和正四棱锥的侧

面投影

②作贯穿点的投影

③表明直线AB 的投影及其可

见性

2.直线和平面立体表面的投影都无积聚性时相交

图2.168 作AB 与三棱锥的贯穿点，表明可见性

如图2.168a 所示，求作直线AB 与三棱锥的贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。

［解］

方法一:

方法二:

(a)已知条件(b)方法一（c ）方法二

2.7.3 平面与曲面立体相交

截平面与曲面立体表面相交所形成的截交线，可能是一条封闭的平面曲线，也可能是由曲线和直线围成的平面图形，在特殊情况下还可能是多边形。截交线的形状与曲面立体的几何性质及其与截平面的相对位置有关。 曲面立体的截交线是截平面和曲面立体表面的共有线，截交线上的点也都是截平面和曲面立体表面的共有点，当截交线是曲线时，通常都是先作出这些共有点，然后连成截交线。当截交线是曲线时，截交线上有一些能控制截交线的形状和范围的点，包括曲面投影转向轮廓线上的点；极限位置点，即最左、最右、最前、最后、最高、最低的点；对称的截交线在对称轴上的顶点；以及截交线的曲线段的端点等，称为特殊点。其它的点则称为一般点或中间点。

1.平面与圆柱相交

表2.7 圆柱面上的截交线

如图2.169a 所示，求作圆柱被正垂面P 截切的截交线，并作出断面真形。

图2.169 作圆柱的截交线，并求断面真形

(a)已知条件［解］

①作截交线椭圆

的特殊点。

②作截交线上

的一般点。

(b)作图过程和作图结果

③判别可见性，

顺次连接各点

成截交线的侧

面投影。

④作断面真形。