圆锥曲线与向量综合性问题

圆锥曲线与向量的综合性问题

一、常见基本题型：

在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间

的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。

(1)问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质，

例1、设(1,0)F ，M 点在x 轴的负半轴上，点

P 在y 轴上，且,MP PN PM PF u u u r u u u r u u u u r u uu r ．当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；

例2、已知椭圆的方程为22221(0)x

y a b a b ，它的一个焦点与抛物线28y x 的焦点重合，

离心率25

5e ，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点(1,0)M ，且()MA MB AB u uu r u u u r u u u r ，求直线l 的方程；

例3、如图，已知直线)0(1:1:22

22b a b y a x C my x L 过椭圆的右焦点F ，且交椭

圆C 于A ，B 两点，点A ，F ，B 在直线2:a x G 上的射影依次为点

D ，K ，

E ，已知抛物线y x 342的焦点为椭圆C 的上顶点。①求

椭圆C 的方程；②若直线L 交y 轴于点M ，且

BF MB AF MA 21,，当m 变化时，求21的值；

（2）所求问题以向量的形式呈现

例4、已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线245y x 的焦点，离心率是6

3

（1）求椭圆E 的方程；

（2）过点(1,0)C ，斜率为k 的动直线与椭圆E 相交于A 、B 两点，请问x 轴上是否存在点M ，使为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

例5、线段AB 过y 轴上一点0,N m ，AB 所在直线的斜率为

0k k ，两端点A 、B 到y 轴的距离之差为4k .

(Ⅰ)求出以y 轴为对称轴，过

A 、O 、

B 三点的抛物线方程；(Ⅱ)过该抛物线的焦点F 作动弦CD ，过

C 、

D 两点分别作抛物线的切线，设

其交点为M ，求点M 的轨迹方程，并求出

2FC FD FM u uu r uu u r u uu uu r 的值. 例6、椭圆22221(0)x

y a b a b 的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与椭圆交于A 、

B 两点.（1）若点A 在圆

222c y x （c 为椭圆的半焦距）上，且1F A c ，求椭圆的离心率；（2）若函数)10(log 2m m x y

m 且的图象，无论m 为何值时恒过定点),(a b ，求B F A F 22的取值范围。

(3)问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现

例7、在直角坐标系xOy 中，长为21的线段的两端点C 、D 分别在x 轴、y 轴上滑动，2CP PD u u u r u u u r ．记点P 的轨迹为曲线E ．

（I ）求曲线E 的方程；

（II ）经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，,OM

OA OB u u uu r u u u r u uu r 当点M 在曲线E 上时，求cos ,OA OB uu u r uu u r

的值．