离散数学 集合的笛卡儿积与二元关系
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例题
例3 (1) 证明 A=B C=D AC=BD (2) AC=BD是否推出 A=B C=D ? 为什么？
解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC xA yC xB yD <x,y>BD (2) 不一定. 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=, 则 AC=BD 但是 AB.
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实例
例如 A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}
DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
A=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是 R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
3
有序 n 元组
定义 一个有序 n (n3) 元组 <x1, x2, …, xn> 是一个 有序对，其中第一个元素是一个有序 n-1元组，即
<x1, x2, …, xn> = < <x1, x2, …, xn-1>, xn>
实例 ：空间直角坐标系中的坐标 <3，5，－6>
n 维向量是有序 n元组.
2
15
A上重要关系的实例
设 A 为任意集合， 是 A 上的关系，称为空关系 EA, IA 分别称为全域关系与恒等关系，定义如下： EA={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A IA={<x,x>|x∈A} 例如, A={1,2}, 则 EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA={<1,1>,<2,2>}
注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的 关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系
19
实例
A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0
23
合成运算的图示方法
利用图示（不是关系图）方法求合成 R∘S={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>} S∘R ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}
S∘R
R∘S
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限制与像
定义 F 在A上的限制 F↾A = {<x,y> | xFy xA} A 在F下的像 F[A] = ran(F↾A) 实例 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} R↾{1}={<1,2>,<1,4>} R[{1}]={2,4} R↾= R[{1,2}]={2,3,4} 注意：F↾AF, F[A] ranF
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例.设F、G是N上的关系，其定义为
F={<x,y>︱x,y N y=x2} G ={<x,y>︱x,y N y=x+1} 求G1、F∘G 、 G∘F、 F↾{1,2}、F[{1,2}]
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例5 设A、B、C、D为任意集合，判断以下等式是否成立， 说明为什么。 (1) (AB)(C D)=(AC)(B D) (2) (AB)(CD)=(AC)(B D) (3) (A-B)(C-D)=(AC)-(BD) (4) (AB)(CD)=(AC)(BD) 解： (1)成立，因为对任意的<x,y> <x,y> (AB)(C D) xA B y C D xA x B y C y D <x,y> AC <x,y> BD
二元关系的表示
2
有序对
定义 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作<x,y> 实例：平面直角坐标系中点的坐标< 3,4 > 有序对性质 1） 有序性 <x,y><y,x> （当x y时） 2）<x,y> 与 <u,v> 相等的充分必要条件是 <x,y>=<u,v> x=u y=v 例1 <2, x+5> = <3y 4, y>，求 x, y. 解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3
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A上重要关系的实例（续）
小于等于关系 LA, 整除关系DA, 包含关系R定义： LA={<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, AR，R为实数集合
DB={<x,y>| x,y∈B∧x整除y},
BZ+, Z+为非0整数集 R={<x,y>| x,y∈A∧xy}, A是集合族. 类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于 关系, 真包含关系等等.
12
二元关系：集合中两个元素之间的某种关系
例1 甲、乙、丙3个人进行乒乓球比赛，任何两个人之间都要比赛一场。 假设比赛结果是乙胜甲，甲胜丙，乙胜丙。 比赛结果可表示为： {<乙,甲>， <甲,丙 >， <乙,丙>}，其中<x,y>表示x 胜y，它表示了集合{甲,乙,丙}中元素之间的一种胜负关系.
例2 有A、B、C3个人和四项工作G1、 G2、 G3、 G4，已知A可以从事 工作G1和G4，B可以从事工作G3，C可以从事工作G1和G2. 那么，人和工作之间的对应关系可以记作 R＝ {<A,G1>, <A,G4 >, <B,G3>, <C,G1>, <C,G2 } 它表示了集合{A,B,C}到工作{G1,G2,G3,G4}之间的关系
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关系的表示
表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图 关系矩阵：若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}， R是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中 rij = 1 < xi, yj> R. 关系图：若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R 的关系图是GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集. 如果<xi,xj>属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边.
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
1
4.1 集合的笛卡儿积和二元关系
有序对
笛卡儿积及其性质
二元关系的定义
ranR={2, 3, 4}
fldR={1, 2, 3, 4}
22
关系的基本运算定义（续）
定义 设F、G为任意的关系，A为集合，则 逆与合成 F1 = {<y,x> | <x,y>F} F∘G = |<x, y> | z (<x, z> G < z, y > F) } 例2 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>} R1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>} S∘R ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} R∘S ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
5
笛卡儿积的性质
不适合交换律 ABBA (AB, A, B) 不适合结合律 (AB)CA(BC) (A, B) 对于并或交运算满足分配律 A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) 若A或B中有一个为空集，则AB就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn
6
性质的证明
证明 A(BC)=(AB)(AC) 证 任取<x,y> <x,y>∈A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
8
例4 (1) 证明 A B C D AC BD (2) AC BD是否推出 A B C D 解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC xA yC xB yD <x,y>BD (2) 不一定. 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=
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从A到B的关系与A上的关系
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元 关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上 的二元关系. 例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}. 那么 R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3和R4同时也是 A上的二元关系. 计数 2, A×A的子集有 n 2个. 所以 A上有 |A|=n, |A×A|=n 2 2 n 个不同的二元关系. 例如 |A|=3, 则 A上有=512个不同的二元关系.
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MR
4.2 关系的运算
基本运算定义
定义域、值域、域 逆、合成、限制、像
基本运算的性质 幂运算
定义 求法 性质
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关系的基本运算定义
定义域、值域 和 域 domR = { x | y (<x,y>R) } ranR = { y | x (<x,y>R) } fldR = domR ranR 例1 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则 domR={1, 2, 4}
当 n=1时, <x> 形式上可以看成有序 1 元组.
4
笛卡儿积
定义 设A, B为集合，用A中元素为第一个元素， B中元素为第二个元素，构成有序对. 所有这样 的有序对组成的集合叫做 A与B 的笛卡儿积 记作AB， 即 AB ={ <x,y> | xA yB }
例2 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>, <3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>, <a,3>, <b,3>,<c,3>} A={}, P(A)A={<,>, <{},>}
(4)(AB)(CD)=(AC)(BD) 解：A={1} B= C= D={1} (AB)(CD)={1,1} (AC)(BD)=
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设A1,A2, … ,An是集合(n≥2),它们的n阶笛卡尔积记 作A1A2 … An,其中A1A2 … An={<x1,x2, … ,xn> ︱x1A1, x2 A2 , …,xnAn}. 当A1=A2 =…=An时，可将它们的n阶笛卡尔积记作An 例如：A={a,b},则 A3={<a,a,a>,<a,a,b>,<a,b,a>,<a,b,b>,<b,a,a>,<b,a,b >,<b,b,a>,<b,b,b>}
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(2)(AB)(C D)=(AC)(B D) 解：不成立，若A=D= B=C= {1} 则有： (AB)(C D)= B C={<1,1>} (3)(A-B)(C-D)=(AC)-(BD) 解：不成立， A=B={1} C={2} D={3} (A-B)(C-D)= (AC)-(BD) = {<1,2>} {<1,3>}={<1,2>}
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二元关系的定义
定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
例题
例3 (1) 证明 A=B C=D AC=BD (2) AC=BD是否推出 A=B C=D ? 为什么？
解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC xA yC xB yD <x,y>BD (2) 不一定. 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=, 则 AC=BD 但是 AB.
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实例
例如 A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}
DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
A=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是 R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
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有序 n 元组
定义 一个有序 n (n3) 元组 <x1, x2, …, xn> 是一个 有序对，其中第一个元素是一个有序 n-1元组，即
<x1, x2, …, xn> = < <x1, x2, …, xn-1>, xn>
实例 ：空间直角坐标系中的坐标 <3，5，－6>
n 维向量是有序 n元组.
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A上重要关系的实例
设 A 为任意集合， 是 A 上的关系，称为空关系 EA, IA 分别称为全域关系与恒等关系，定义如下： EA={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A IA={<x,x>|x∈A} 例如, A={1,2}, 则 EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA={<1,1>,<2,2>}
注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的 关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系
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实例
A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0
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合成运算的图示方法
利用图示（不是关系图）方法求合成 R∘S={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>} S∘R ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}
S∘R
R∘S
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限制与像
定义 F 在A上的限制 F↾A = {<x,y> | xFy xA} A 在F下的像 F[A] = ran(F↾A) 实例 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} R↾{1}={<1,2>,<1,4>} R[{1}]={2,4} R↾= R[{1,2}]={2,3,4} 注意：F↾AF, F[A] ranF
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例.设F、G是N上的关系，其定义为
F={<x,y>︱x,y N y=x2} G ={<x,y>︱x,y N y=x+1} 求G1、F∘G 、 G∘F、 F↾{1,2}、F[{1,2}]
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例5 设A、B、C、D为任意集合，判断以下等式是否成立， 说明为什么。 (1) (AB)(C D)=(AC)(B D) (2) (AB)(CD)=(AC)(B D) (3) (A-B)(C-D)=(AC)-(BD) (4) (AB)(CD)=(AC)(BD) 解： (1)成立，因为对任意的<x,y> <x,y> (AB)(C D) xA B y C D xA x B y C y D <x,y> AC <x,y> BD
二元关系的表示
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有序对
定义 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作<x,y> 实例：平面直角坐标系中点的坐标< 3,4 > 有序对性质 1） 有序性 <x,y><y,x> （当x y时） 2）<x,y> 与 <u,v> 相等的充分必要条件是 <x,y>=<u,v> x=u y=v 例1 <2, x+5> = <3y 4, y>，求 x, y. 解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3
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A上重要关系的实例（续）
小于等于关系 LA, 整除关系DA, 包含关系R定义： LA={<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, AR，R为实数集合
DB={<x,y>| x,y∈B∧x整除y},
BZ+, Z+为非0整数集 R={<x,y>| x,y∈A∧xy}, A是集合族. 类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于 关系, 真包含关系等等.
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二元关系：集合中两个元素之间的某种关系
例1 甲、乙、丙3个人进行乒乓球比赛，任何两个人之间都要比赛一场。 假设比赛结果是乙胜甲，甲胜丙，乙胜丙。 比赛结果可表示为： {<乙,甲>， <甲,丙 >， <乙,丙>}，其中<x,y>表示x 胜y，它表示了集合{甲,乙,丙}中元素之间的一种胜负关系.
例2 有A、B、C3个人和四项工作G1、 G2、 G3、 G4，已知A可以从事 工作G1和G4，B可以从事工作G3，C可以从事工作G1和G2. 那么，人和工作之间的对应关系可以记作 R＝ {<A,G1>, <A,G4 >, <B,G3>, <C,G1>, <C,G2 } 它表示了集合{A,B,C}到工作{G1,G2,G3,G4}之间的关系
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关系的表示
表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图 关系矩阵：若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}， R是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中 rij = 1 < xi, yj> R. 关系图：若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R 的关系图是GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集. 如果<xi,xj>属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边.
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
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4.1 集合的笛卡儿积和二元关系
有序对
笛卡儿积及其性质
二元关系的定义
ranR={2, 3, 4}
fldR={1, 2, 3, 4}
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关系的基本运算定义（续）
定义 设F、G为任意的关系，A为集合，则 逆与合成 F1 = {<y,x> | <x,y>F} F∘G = |<x, y> | z (<x, z> G < z, y > F) } 例2 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>} R1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>} S∘R ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} R∘S ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
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笛卡儿积的性质
不适合交换律 ABBA (AB, A, B) 不适合结合律 (AB)CA(BC) (A, B) 对于并或交运算满足分配律 A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) 若A或B中有一个为空集，则AB就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn
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性质的证明
证明 A(BC)=(AB)(AC) 证 任取<x,y> <x,y>∈A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
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例4 (1) 证明 A B C D AC BD (2) AC BD是否推出 A B C D 解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC xA yC xB yD <x,y>BD (2) 不一定. 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=
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从A到B的关系与A上的关系
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元 关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上 的二元关系. 例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}. 那么 R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3和R4同时也是 A上的二元关系. 计数 2, A×A的子集有 n 2个. 所以 A上有 |A|=n, |A×A|=n 2 2 n 个不同的二元关系. 例如 |A|=3, 则 A上有=512个不同的二元关系.
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MR
4.2 关系的运算
基本运算定义
定义域、值域、域 逆、合成、限制、像
基本运算的性质 幂运算
定义 求法 性质
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关系的基本运算定义
定义域、值域 和 域 domR = { x | y (<x,y>R) } ranR = { y | x (<x,y>R) } fldR = domR ranR 例1 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则 domR={1, 2, 4}
当 n=1时, <x> 形式上可以看成有序 1 元组.
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笛卡儿积
定义 设A, B为集合，用A中元素为第一个元素， B中元素为第二个元素，构成有序对. 所有这样 的有序对组成的集合叫做 A与B 的笛卡儿积 记作AB， 即 AB ={ <x,y> | xA yB }
例2 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>, <3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>, <a,3>, <b,3>,<c,3>} A={}, P(A)A={<,>, <{},>}
(4)(AB)(CD)=(AC)(BD) 解：A={1} B= C= D={1} (AB)(CD)={1,1} (AC)(BD)=
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设A1,A2, … ,An是集合(n≥2),它们的n阶笛卡尔积记 作A1A2 … An,其中A1A2 … An={<x1,x2, … ,xn> ︱x1A1, x2 A2 , …,xnAn}. 当A1=A2 =…=An时，可将它们的n阶笛卡尔积记作An 例如：A={a,b},则 A3={<a,a,a>,<a,a,b>,<a,b,a>,<a,b,b>,<b,a,a>,<b,a,b >,<b,b,a>,<b,b,b>}
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(2)(AB)(C D)=(AC)(B D) 解：不成立，若A=D= B=C= {1} 则有： (AB)(C D)= B C={<1,1>} (3)(A-B)(C-D)=(AC)-(BD) 解：不成立， A=B={1} C={2} D={3} (A-B)(C-D)= (AC)-(BD) = {<1,2>} {<1,3>}={<1,2>}
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二元关系的定义
定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.