资产市场不确定性风险资产
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g ∈G, pi代表g分派给ai的有效概率, g引致了简单赌局
{p0oa1,…,pnoan} ∈ Gs.
Hale Waihona Puke Baidu
公理G6:简化成一个简单赌局．
对于g ∈G, 如果{p0oa1,…,pnoan} 是由 g引致的简单赌局,则
{p0oa1,…,pnoan} ~ g. 2.VNM效用函数
预期效用的性质: {p0oa1,…,pnoan} 是由 g引致的简单赌局, 对于g ∈G,
对于g ∈G, 如果{p0oa1,…,pnoan} 是由 g引致的简单赌局,
v(g)= ∑piv (ai)= ∑pi[ α+βu(ai)] = α+β ∑pi u(ai)= α+β u(g) 3.风险厌恶
1)对于非负财富水平上的赌局,设u是个
人的一个VNM效用函数,那么对于简单赌
局g={p0ow1,…,pnown},该个人可被认为 是:
→ u具有期望效用性质.
u(ai)= u(αi o a1,(1- αi) oan). → ai~ αi o a1,(1- αi) oan. →v也代表了偏好关系≧
→ v(ai)= v(αi o a1,(1- αi) oan). →v也具有期望效用性质.
v(ai)= αi v(a1)+(1- αi) v(an).
(3) g~{u(g)oa1,(1-u(g))oan} ai~{u(ai)oa1,(1-u(ai))oan} 设qi={u(ai)oa1,(1-u(ai))oan} qi~ ai,公理G5
g’= {p1oq1,…,pnoqn} ~ {p1oa1,…,pnoan} = gs. g’分派给a1的有效概率为 ∑piu(ai). g’分派给an的有效概率为 ∑pi[1-u(ai)].
公理G4:单调性. α,β∈[0,1],
如果{αoa1,(1-α)oan} ≧ {βoa1, (1-β)oan},则α≥β 公理G5:替代性.
g={p0og1,…,pkogk} h={p0oh1,…,pkohk} g,h ∈G,
如果hi~gi.则h~g.
g={αoa1,(1-α)oh} h={βoa1, (1-β)oa2} 结果为a1的有效概率为α+(1-α)β, a2的有效概率为 (1-α) (1-β). 复合赌局引致ai的唯一有效概率.
g~{αoa1, (1-α)oan} 公理G4:单调性. β∈[0,1],
如果g~{βoa1, (1-β)oan},则α≥β β ≥ α, α=β, α是唯一的.
令α=u(g), g~{u(g)oa1,(1-u(g))oan}
(2)公理G1:完备性.g,g’∈G, 要么g≧g’要么g’≧g. 设g≧g’,由(1)的结论和公理G2, {u(g)oa1,(1-u(g))oan} ≧ {u(g’)oa1,(1-u(g’))oan} 由公理G3, u(g) ≧ u(g’). 存在一个代表关于G的偏好的效用 函数u:G→R
[u(a1)- u(ai)]/[u(ai)- u(an)] = (1- αi) / αi = [v(a1)- v (ai)]/[v(ai)- v (an)]
v (ai)= α+βu(ai) α= [u(a1) v (an)-v(a1)u(an)] /[u(a1)-u(an)] β= [v(a1)- v (an)]/[u(a1)- u(an)]>0
g引致的gs, g~gs, u(g)= u(gs)= ∑piu(ai).u具有期望效用性质.
VNM效用函数对正映射转换是唯一的. 假设VNM效用函数u代表了偏好关系≧, VNM效用函数v代表了相同的偏好关系≧, 当且仅当, g∈G, αβ>0,v=α+βu. 证明:充分性.g,g’∈G,g≧g’ ←→ u(g) ≧ u(g’) ←→v(g)=α+βu(g) ≧ α+βu(g’) = v(g’) /5/
gs’={∑piu(ai)oa1,(∑pi[1u(ai)])oan} 公理G6, g’ ~gs’,公理G2, gs ~gs’, gs ~{∑piu(ai)oa1,(∑pi[1-u(ai)])oan} gs~{u(gs)oa1,(1-u(gs))oan} 由(1)的结论u(gs)= ∑piu(ai).
如果存在u(g)=∑piu(ai).效用函数 u:G→R具有期望效用的性质.
消费者的目标是期望效用最大化.
VNM效用函数存在性定理:
对属于G内的赌局的偏好满足公理G1-6,
那么存在一个代表关于G的偏好的效用
函数u:G→R,使u具有期望效用性质.
证明:
(1)公理G3:连续性.g∈G, α∈[0,1],
(1)如果u[E(g)]> u(g),他对g是风险厌恶的; (2)如果u[E(g)]= u(g),他对g是风险中性的; (3)如果u[E(g)]< u(g),他对g是风险偏爱的; 2)当且仅当行为者的VNM效用函数分别在财 富的适当定义域上是严格凹的\线性的\严 格凸的,他才在赌局的一些子集上是风险 厌恶\风险中性\风险偏爱的. 3)确定性等价物与风险升水:在财富水平上, 任何简单赌局的确定性等价物是一定量的 财富CE-他被确定性地提供,使u(g)=u(CE).
必要性.令A={a1,…,an} g= {p1oa1,…,pnoan} a1≧…≧ an, a1>an. u代表了偏好关系≧→
u(a1)≧…≧u(an), u(a1)>u(an). →公理G3,唯一αi ∈[0,1], u(ai)= αi u(a1)+(1- αi) u(an). 当且仅当ai >an. αi>0.
不确定性
一.一般理论
1.偏好
简单赌局:令A={a1,…,an}是结果集， 那么，Gs简单赌局的集合（在A上的） 由如下式子给出:
Gs={p0oa1,…,pnoan|pi≥0,∑pi=1} 赌局的结果是赌局,称为复合赌局.
G代表一切赌局的集合.
公理G1:完备性.g,g’∈G, 要么g≧g’要么g’≧g. 公理G2:传递性.g,g’,g”∈G, 如果g≧g’.g’≧g”.则g≧g”. A的结果是一个退化的赌局,可以排序. 不妨设a1 ≧ a2 ≧ … ≧ an. 公理G3:连续性.g∈G, α∈[0,1], g~{αoa1, (1-α)oan}
{p0oa1,…,pnoan} ∈ Gs.
Hale Waihona Puke Baidu
公理G6:简化成一个简单赌局．
对于g ∈G, 如果{p0oa1,…,pnoan} 是由 g引致的简单赌局,则
{p0oa1,…,pnoan} ~ g. 2.VNM效用函数
预期效用的性质: {p0oa1,…,pnoan} 是由 g引致的简单赌局, 对于g ∈G,
对于g ∈G, 如果{p0oa1,…,pnoan} 是由 g引致的简单赌局,
v(g)= ∑piv (ai)= ∑pi[ α+βu(ai)] = α+β ∑pi u(ai)= α+β u(g) 3.风险厌恶
1)对于非负财富水平上的赌局,设u是个
人的一个VNM效用函数,那么对于简单赌
局g={p0ow1,…,pnown},该个人可被认为 是:
→ u具有期望效用性质.
u(ai)= u(αi o a1,(1- αi) oan). → ai~ αi o a1,(1- αi) oan. →v也代表了偏好关系≧
→ v(ai)= v(αi o a1,(1- αi) oan). →v也具有期望效用性质.
v(ai)= αi v(a1)+(1- αi) v(an).
(3) g~{u(g)oa1,(1-u(g))oan} ai~{u(ai)oa1,(1-u(ai))oan} 设qi={u(ai)oa1,(1-u(ai))oan} qi~ ai,公理G5
g’= {p1oq1,…,pnoqn} ~ {p1oa1,…,pnoan} = gs. g’分派给a1的有效概率为 ∑piu(ai). g’分派给an的有效概率为 ∑pi[1-u(ai)].
公理G4:单调性. α,β∈[0,1],
如果{αoa1,(1-α)oan} ≧ {βoa1, (1-β)oan},则α≥β 公理G5:替代性.
g={p0og1,…,pkogk} h={p0oh1,…,pkohk} g,h ∈G,
如果hi~gi.则h~g.
g={αoa1,(1-α)oh} h={βoa1, (1-β)oa2} 结果为a1的有效概率为α+(1-α)β, a2的有效概率为 (1-α) (1-β). 复合赌局引致ai的唯一有效概率.
g~{αoa1, (1-α)oan} 公理G4:单调性. β∈[0,1],
如果g~{βoa1, (1-β)oan},则α≥β β ≥ α, α=β, α是唯一的.
令α=u(g), g~{u(g)oa1,(1-u(g))oan}
(2)公理G1:完备性.g,g’∈G, 要么g≧g’要么g’≧g. 设g≧g’,由(1)的结论和公理G2, {u(g)oa1,(1-u(g))oan} ≧ {u(g’)oa1,(1-u(g’))oan} 由公理G3, u(g) ≧ u(g’). 存在一个代表关于G的偏好的效用 函数u:G→R
[u(a1)- u(ai)]/[u(ai)- u(an)] = (1- αi) / αi = [v(a1)- v (ai)]/[v(ai)- v (an)]
v (ai)= α+βu(ai) α= [u(a1) v (an)-v(a1)u(an)] /[u(a1)-u(an)] β= [v(a1)- v (an)]/[u(a1)- u(an)]>0
g引致的gs, g~gs, u(g)= u(gs)= ∑piu(ai).u具有期望效用性质.
VNM效用函数对正映射转换是唯一的. 假设VNM效用函数u代表了偏好关系≧, VNM效用函数v代表了相同的偏好关系≧, 当且仅当, g∈G, αβ>0,v=α+βu. 证明:充分性.g,g’∈G,g≧g’ ←→ u(g) ≧ u(g’) ←→v(g)=α+βu(g) ≧ α+βu(g’) = v(g’) /5/
gs’={∑piu(ai)oa1,(∑pi[1u(ai)])oan} 公理G6, g’ ~gs’,公理G2, gs ~gs’, gs ~{∑piu(ai)oa1,(∑pi[1-u(ai)])oan} gs~{u(gs)oa1,(1-u(gs))oan} 由(1)的结论u(gs)= ∑piu(ai).
如果存在u(g)=∑piu(ai).效用函数 u:G→R具有期望效用的性质.
消费者的目标是期望效用最大化.
VNM效用函数存在性定理:
对属于G内的赌局的偏好满足公理G1-6,
那么存在一个代表关于G的偏好的效用
函数u:G→R,使u具有期望效用性质.
证明:
(1)公理G3:连续性.g∈G, α∈[0,1],
(1)如果u[E(g)]> u(g),他对g是风险厌恶的; (2)如果u[E(g)]= u(g),他对g是风险中性的; (3)如果u[E(g)]< u(g),他对g是风险偏爱的; 2)当且仅当行为者的VNM效用函数分别在财 富的适当定义域上是严格凹的\线性的\严 格凸的,他才在赌局的一些子集上是风险 厌恶\风险中性\风险偏爱的. 3)确定性等价物与风险升水:在财富水平上, 任何简单赌局的确定性等价物是一定量的 财富CE-他被确定性地提供,使u(g)=u(CE).
必要性.令A={a1,…,an} g= {p1oa1,…,pnoan} a1≧…≧ an, a1>an. u代表了偏好关系≧→
u(a1)≧…≧u(an), u(a1)>u(an). →公理G3,唯一αi ∈[0,1], u(ai)= αi u(a1)+(1- αi) u(an). 当且仅当ai >an. αi>0.
不确定性
一.一般理论
1.偏好
简单赌局:令A={a1,…,an}是结果集， 那么，Gs简单赌局的集合（在A上的） 由如下式子给出:
Gs={p0oa1,…,pnoan|pi≥0,∑pi=1} 赌局的结果是赌局,称为复合赌局.
G代表一切赌局的集合.
公理G1:完备性.g,g’∈G, 要么g≧g’要么g’≧g. 公理G2:传递性.g,g’,g”∈G, 如果g≧g’.g’≧g”.则g≧g”. A的结果是一个退化的赌局,可以排序. 不妨设a1 ≧ a2 ≧ … ≧ an. 公理G3:连续性.g∈G, α∈[0,1], g~{αoa1, (1-α)oan}