二次函数中的旋转、平移、对称变换

二次函数中的旋转、平移、对称变换

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1、如图，已知抛物线y=x +bx+c 经过 A（ 1， 0）， B（ 0， 2）两点，顶点为D。

（2）将△ OAB绕点 A 顺时针旋转 90°后，点 B 落到点 C的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；

（3）设（ 2）中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 B1，顶点为 D1，若点 N 在平移后的抛物线上，且满足△ NBB1的面积是△ NDD1面积的 2 倍，求点 N 的坐标。

解：（ 1）已知抛物线y=x 2+bx+c 经过 A（1， 0）， B（ 0， 2），

∴，解得，∴所求抛物线的解析式为y=x2-3x+2 ；

（2）∵ A（ 1， 0）， B（ 0， 2），∴ OA=1， OB=2，

可得旋转后 C 点的坐标为（ 3， 1），当 x=3 时，由 y=x2-3x+2得 y=2，

可知抛物线 y=x2-3x+2 过点（ 3， 2），

∴将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点 C，

∴平移后的抛物线解析式为：

2

y=x -3x+1 ；

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-3x 0 +1），（ 3）∵点 N在 y=x -3x+1 上，可设 N 点坐标为（ x0， x0

将 y=x2-3x+1 配方得，∴其对称轴为，

时，如图①，

此时∴点 N 的坐标为（ 1， -1 ）；

②当时，如图②，

同理可得

此时∴点N 的坐标为（3， 1），

综上，点N 的坐标为（1， -1 ）或（3， 1）。

2、在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（ m，1）（ m ＞0），将此矩形绕O 点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′．C′

（1）写出点 A、 A′、 C′的坐标；

（2）设过点 A、 A′、 C′的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（ a、 b、 c 可用

含 m 的式子表示）

（3）试探究：当m 的值改变时，点 B 关于点O 的对称点 D 是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m 的值．

解：（ 1 ）∵四边形ABCO 是矩形，点 B 的坐标为（ m， 1）（m ＞0 ），

∴A（ m， 0）， C（ 0，1 ），

∵矩形 OA′B′C由′矩形 OABC 旋转而成，

∴A′（ 0， m），C′（ -1 ，0 ）；

（2）设过点 A、 A′、 C′的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c ，

∵A（ m， 0）， A′（ 0， m）， C′（ -1 ， 0），

∴，解得，

∴此抛物线的解析式为：y=-x2+ （ m-1 ） x+m ；

（3 ）存在．

∵点 B 与点 D 关于原点对称，B（ m， 1），

∴点 D 的坐标为：（-m ， -1 ），

∵抛物线的解析式为： y=-x2+（m-1 ） x+m ；

假设点 D（ -m ， -1 ）在（ 2）中的抛物线上，

则 y=- （ -m ） 2+ （ m-1 ）×（ -m ） +m=-1，即 -2m2+2m+1=0，

∵△ =22-4×（-2 ）×1=12 ＞ 0，

∴此点在抛物线上，解得m=或 m=（舍去）．

3、在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（ -2， 0），点 B（0， 2），点 E，点 F 分别为 OA， OB

的中点 .若正方形（Ⅰ）如图①，当（Ⅱ）如图②，当OEDF绕点 O 顺时针旋转，得正方形OE’D’F’，记旋转角为

α＝ 90°，求 AE’， BF’的长；

α＝ 135°，求证AE’＝ BF’，且 AE’⊥ BF’；

α.

（Ⅲ）若直线AE’与直线 BF’相交于点P，求点 P 的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）.

4、如图，抛物线 y= ﹣ x 2

+bx+c 与 x 轴交于点 A （﹣ 1， 0），B （ 5， 0）两点，直线 y= ﹣ x+3 与

y 轴交于点 C ，与 x 轴交于点 D ．点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点， 过点 P 作 PF ⊥ x 轴于点 F ，交直线 CD 于点 E ．设点 P 的横坐标为 m ． （1）求抛物线的解析式； （2）若 PE=5EF ，求 m 的值；

（3）若点 E ′是点 E 关于直线 PC 的对称点，是否存在点 P ，使点 E ′落在 y 轴上？若存在，请直

接写出相应的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（ 1）将点 A 、B 坐标代入抛物线解析式，得：

，解得

，∴抛物线的解析式为：

y= ﹣ x 2

+4x+5 ．

（2）∵点 P 的横坐标为 m ，

∴P （ m ，﹣ m 2

+4m+5 ），E （ m ，﹣ m+3），F （ m ， 0）．

2 2 m+2|，

∴PE=|y P ﹣ y E |=|（﹣ m +4m+5 ）﹣（﹣ m+3 ） |=|﹣ m +

EF=|y E ﹣ y F |=|（﹣

m+3）﹣ 0|=|﹣ m+3|．

由题意， PE=5EF ，即： |﹣ m 2

+ m+2|=5|﹣ m+3|=|

m+15|

2

m+2=

2

；

① 若﹣m +

m+15，整理得：2m ﹣17m+26=0，解得：m=2 或 m=

2

2

或 m=

．

②若﹣m + m+2=﹣（m+15），整理得：m ﹣m ﹣17=0，解得：m=

由题意， m 的取值范围为：﹣ 1＜ m ＜5，故 m=

、 m=

这两个解均舍去．

∴m=2 或 m=

．

（3）假设存在．作出示意图如下：

∵点 E 、E ′关于直线 PC 对称，∴∠ 1=∠ 2， CE=CE ′， PE=PE ′． ∵PE 平行于 y 轴，∴∠ 1=∠ 3，∴∠ 2=∠ 3，∴ PE=CE ， ∴ P E=CE=PE ′=CE ′，即四边形 PECE ′是菱形．

由直线 CD 解析式 y=﹣

x+3，可得 OD=4 ， OC=3，由勾股定理得

CD=5．

过点 E 作 EM ∥ x 轴，交 y 轴于点 M ，易得 △CEM ∽△ CDO ，

∴

，即

，解得 CE= |m|，

∴PE=CE= |m|，又由（

2

2

m+2|= |m|．

2）可知： PE=|﹣ m + m+2|

∴ |﹣ m +

2

2

﹣ 7m ﹣4=0 ，解得 m=4

或 m=﹣ ；

① 若﹣ m +

m+2= m ，整理得： 2m

2

m+2= ﹣

2

或 m=3﹣

．

② 若﹣ m +

m ，整理得： m ﹣ 6m ﹣2=0 ，解得 m=3+

由题意， m 的取值范围为：﹣ 1＜ m ＜5，故 m=3+

这个解舍去．

综上所述，存在满足条件的点

P ，可求得点 P 坐标为（﹣ ，

），（4，5），（ 3﹣

，2﹣

3）．