角平分线的性质1

O F
B
D
C
练 习
①书本52页练习1 ②判断题 ③证明题
（性质定理） 提供了两条 线段相等的 依据 到角的两边的距离相等
在角平分线上 的点 提供了两 个角相等 的依据 （判定定理）
小 结
学习了这两个定理以后，许多涉及角平分线的问 题用定理或逆定理解决很方便。但是由于我们对 证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以 证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三 角形，结果相当于重新证明了一次定理。 所以，能用简单方法的，不要饶远路，切记！
O F
A
E
B D C
填空： （1）∵AD平分∠BAC ∴DC⊥AC，DE⊥AB（已知） ∴DC = DE（ 在角平分线上的点到角两边距离相等 ） （2）∵ DC⊥AC，DE⊥AB，DC = DE（已知） ∴点D在∠BAC的平分线上（ 到一个角的两边距离相等的点， 在这个角的平分线上 ）
A
B
D
已知：∠B = ∠Ｃ = 90°，AB = AC 求证:(1) ∠ADB = ∠ADC (2) DB = DC(要求不用三角形全等的判定) 证明：（1）∵ ∠B = ∠Ｃ = 90°（已知） ∴AB⊥DB，AC⊥DC（垂直的定义） 又∵AB = AC （已知） ∴点A在∠BDC的角平分线上（到一个角 的两边距离相等的点，在这个角的角平 C 分线上） ∴ ∠ADB = ∠ADC （2）∵∠B = ∠C， ∠ADB = ∠ADC（已知） ∴180°-（∠B+∠ADB）=180°- （∠C+∠ADC） （三角形内角和定理） 即∠BAD = ∠CAD ∵DB⊥AB，DC⊥AC ∴DB = DC（ 在角平分线上的点到这个角的两边 距离相等）
的两边距离相等）
C AE=AF
AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， （已知）
九年义务教育三年制初级中学教科书第二册
教学目标 教学重点、难点
教学过程 课堂练习 课堂小结、布置作业
教学目标：
①会阐述角平分线的性质定理及其逆定理
②会应用角平分线定理及其逆定理证明两条 线段相等或两个角相等 ③渗透点的集合的思想
教学重点、难点：
①角平分线的性质定理中所说的“角平分线上的 点”是指角平分线上的任意一点。换句话说，是 指角平分线上的每一个点。定理的实质是：角平 分线上的所有点都满足“到角的两边距离相等”这 个性质。 ②角平分线的判定定理的实质是：凡满足“到一 个角的两边距离相等”的所有点都在这个角的平 分线上。换句话说，这样的点绝不会在角的平分 线之外。
O
F
到一个角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上
E 已知： PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F 且PE = PF 求证： 点P在∠AOC的平分线上 证明： 经过点Ｐ作射线OD D P ∵ PE⊥OA，PF⊥OC ∴ ∠PEO = ∠PFO = 90° ∴在Rt△PEO和Rt△PFO中 PE = PF（已知） C A OP = OP（公共边） ∴ △PEO≌△PFO(HL) ∴ ∠AOD = ∠COD（全等三角形 对应角相等） ∴ OD是∠AOC的平分线 即点P在∠AOC的平分线上
作业
课本习题3.4A组5、6、7题
判断下列推理是否正确
F P A E
C D
B
（1）如图，∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PE⊥AB，PF⊥AC ∴PE = PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等） （ 对 ）
（2）如图，∵ PE = PF ∴ AD平分∠BAC （到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）（ 错 ） （3）如图，∵ 点P在∠BAC 的平分线上 ∴ PE = PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等） （ 错 ）
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角两边距离相等 角平分线的判定定理： 角平分线的逆定理： 性质定理的逆命题：
如何证明 到一个角两边距离相等的点，在这个角 的角平分线上
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
角平分线上的点到这个角的两边距离相等
E 已知： 题设：OD是∠AOC的角平分线，点P在OD 一个点在一个角的平分线上 上。PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F 求证：PE = PF 结论： 它到角的两边的距离相等 D 证明：∵OD是∠AOC的角平分线 P ∴ ∠AOD = ∠COD 又∵ PE⊥OA，PF⊥OC ∴ ∠PEO = ∠PFO = 90° C ∴在△PEO和△PFO中 ∠AOD = ∠COD（已证） ∠PEO = ∠PFO（已证） OP = OP（公共边） ∴ △PEO≌△PFO(AAS) ∴ PE = PF(全等三角形对应边相等） A
例1已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN
相交于点P A 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、 BC、CA，垂足为D、E、F M ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 F ∴PD = PE（角平分线上的点到角的两 边距离相等） 同理 PE = PF C ∴PD = PE = PF 即点P到边AB、BC、CA的距离相等。
（4）如图，∵ PE⊥AB，PF⊥AC ∴ AD平分∠BAC （到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）（ 错 ）
（5）如图，∵ PE⊥AB，PF⊥AC，PE = PF ∴点P在∠BAC 的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的 平分线上）
（ 对 ）
北
表示工厂的位置
思考题
已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，E 是BC上一点，AE交CD于点F，且∠CEF=∠CFE，EG⊥AB于点G。 求证：CE = EG C E F
N
DFra Baidu bibliotekP
B
E
根据这个例题的结论，我们可以在三角形内找到一点， 使它到三角形三边的距离相等。
例2已知：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 A 求证：AD⊥EF 证明：∵AD是∠BAC的平分线， E
DE⊥AB，DF⊥AC（已知） ∴DE = DF（在角平分线上的点到这个 角的两边的距离相等） ∴在Rt△AED和Rt△AFD中 DE = DF（已证） AD = AD （公共边） ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL） ∴AE = AF（全等三角形对应边相等） ∴在△AEO和△AFO中 AE = AF（已知） ∠EAO = ∠FAO（已知） AO = AO （公共边） ∴△AEO≌△AFO（SAS） ∴ ∠AOE = ∠AOF = ∠EOF = 90° ∴AD⊥EF(垂直定义）
A
D
G
B
例2已知：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 A 求证：AD⊥EF ∠AOE=∠AOF=90°或∠EOD=∠FOD=90° E O F ∠AOE=∠AOF，∠AOE+∠AOF=180° （平角定义） △AOE≌△AOF
（SAS）
B
D
AO=AO ∠EAO=∠FAO （公共边） Rt△AED≌Rt△AFD AD是∠BAC的平分线 （HL） （已知） AD=AD DE=DF （在角平分线上的点到这个角 （公共边）