下1非惯性系中的质点动力学

gt cos 2 g cos 2C sin2t 2D cos 2t y 2 y C cos 2t D sin2t


900
z k

o
y j

gt cos 2 g cos 2C sin2t 2D cos 2t y 2 g cos 0 0 可 得C 0 D 由 y0 0 y 42 g cos g cos y sin 2 t t 5 4 2 2 y C cos 2t D sin2t

i 2 cos 2 r x
sin i 2 x sin z cos k cos j y 2y
∴( I ) 式的投影方程为:
2y sin 1 x 2 x sin 2 z cos 2 y cos g 2y 3 z


900
z k

2y sin 1 x 2 x sin 2 z cos 2 y cos g 2y 3 z
< 1 > 自由落体偏东
o
y j

设运动初始条件:
x0 y0 0 , z0 h . 0 y 0 z 0 0 x
认识地球上的 科氏惯性力
在非惯性系下的力学系统, 无论处于什么状态, ( 静止、运动 ) 必存在着惯性力. 这些惯性 力所产生的力学效应, 可以通过相关的仪器测出, 或可以通过人的感官感觉到. 公共汽车在转弯的时候对车上的物体作用有离心惯性力, 这已是常识. 还有一些感觉是一般人体会不到的 . 飞机加速上升, 使人身上的血往下流, 脑中失血, 眼睛失明 — 这就是飞行中的 ‘ 黑晕’ 现象.
1 2 v0 cos2 g cos2 cos2t 1 z sin v0 t gt sin2t 2 2 42
取 sin2t 2t 3 t 3 代入 上 式 可得:
4 3
2 cos 2t 1 22 t 2 4 t 4 3
1 x g sin2 2 t 4 12 1 y g cos t 3 3 1 2 1 z h gt g cos2 2 t 4 2 6


900
z k

o
y j

1 g sin2 2 t 4 12 1 y g cos t 3 3 1 1 z h gt 2 g cos2 2 t 4 2 6 x


90
0
建立地面坐标系如图示 质点相对于地球的运动微分方程为 z k

即为:
m r m g Fg C
o
y j
m r mgk 2m r I r gk 2 r
j 0 y k sin z

R
x i
质点M其质量为m, 被限制在旋转面容器内光滑的经线AOB运动. 旋转面容器绕 其几何轴Oz 以匀角速度ω 转动.
求: M点相对静止处曲线的切线斜率与回转半径r 的关系. 如果r为任意值时M点 都静止, 求旋转面经线AOB的形状.
解 : 若小球相对静止, 则
z ω A B τ M θ n Fge r θ FN O mg x
如果略去 2项 上式变为 :
x0 1 y g cos t 3 3 1 z h gt 2 2

R
x i

如果不考虑地球的角速度, 即是略去、² 项, 则有: 从这几组方程可明确得知:
自由落体运动, 在考虑地球的自 转效应时, 落到地面后位置偏东, 若在精确一点讲, 还有一点偏南 (北半球) 或偏北( 南半球) . ( 只有两极处无此现象 )
科 氏 惯 性 力F gC m a C 我们定义： 牵 连 惯 性 力F ge m a e 即有
~ d 2 r 称为相对矢径 r 的 局 部 导 数 .(参 见 五 版 上 册 P 332) 2 dt
m a r F F ge F gC ~ d 2 r 写成微分方程的形式有 : m 2 F F ge F gC dt
x
g sin2 g sin2 2 cos 2 t 1 t 2 8 4
4
6
同理可得:
g cos2 1 2 z cos 2 t 1 gt cos2 1 h 2 4 2




900
x
g sin2 g sin2 2 cos 2 t 1 t 82 4
(2) 注入液体的最大高度H´ .
解 : (1) 设 曲 线 方 程 为 y f ( x) 对 曲 线 上 相 对 静 止 的意 任 点m 进 行 受 力 分 析 , 由 上 一 题 的 解 答 可 知线 曲方 程 为 2 2 y x 2g
( 2) 设 旋 转 抛 物 面 下 xz 面 以 上 的 液 体 体 积 为 v
y ω
yo
H H –h
o mg R
F
F h
n ge
x
v 2xydx
0
R
R
0
2 3 2 4 x dx R g 4g
静止时 , xz面 以 上 的 液 体 体 积 为 R 2 yo 2 4 由 题 意 得 R yo v R 4g
2
2 R 2 yo 4g 2 2 由 曲 线 方 程 可 知h R 2g 2 2 H ' H h yo H R 4g
φ
l

F
l
( g ao ) si n 由微振动, si n l ( g ao ) 2 0 n 0 l g ao l T 2 l 2 n g ao
2 n
mg F ge
例二. ( 参见书上 习 1 – 4 )


900
z k

o
y j

1 4 x v02 t 3 sin2 g2 t 4 sin2 3 3 1 1 y v0t 2 cos gt 3 cos v03 t 4 cos 3 3 1 2 1 z v0 t gt 2 v02 t 3 cos2 g2 t 4 cos2 2 3 6
g cos g cos sin 2 t t 4 2 2
4
5
z k

y
o
y j

g cos2 1 2 z cos 2 t 1 gt cos2 1 h 2 4 2


6
这就是考虑科氏惯性力影响的自由落体公式
5 这里, 地球的自转的角速度 7.29 10 rad / s
§1 – 1 非惯性系中质点动力学的基 本方程 前面讲过, 牛顿第二定律只适用于惯性系. 如果在非惯性系内建立动力学方程, 则 质量与非惯性系下的加速度乘积的度量, 除了与真实力有关, 还与非惯性系下产生 的各种惯性力有关. 由牛顿第二定律和运动学的加速度合成公式, 有:
m a a m( a e a r a C ) F F 在 这 里 应 理 解 为 作 用质 在点 或 平 动 刚 体 上 的力 合. 上式可写成 : ma r F ma e ma C
飞机加速下降, 使人身上的血往上流, 脑中充血, 眼睛红视 — 这就是飞行中的 ‘ 红视’ 现 象. 地球本身就是一非惯性系, 而且是一有转动的非惯性系. 所以, 严格地讲,以 地球作为
参照 系 的上的力学现象中, 应有牵连惯性力和科氏惯性力的效应. 如果考察地球上局部空间内的力学现象, 把地球的这一部分运动空间视为‘ 匀速直 线平动’, 则许多力学现象的分析与计算结果是可用的. 但是, 对于一些精确的力学问题, 以及大尺度的力学问题, 必须考虑相应的惯性力. 对于地球上的许多大尺寸的运动学问题, 科氏惯性力的影响不容忽视. 下面, 我们来研究 地球上物体的运动与科氏惯性力.

R
x i

代入
x 积 分 得: x
2y sin x 可得 gt 2y cos z
g sin2 g sin2 sin2t t 4 2
g sin2 g sin2 2 cos 2 t t E 2 8 4
g sin2 8 2
由 x0 0 得 : E

R
x i

借助于幂级数, 我们来分析上面的方程. 取 sin2t 2t 3 t 3
4 3 2 cos 2t 1 22 t 2 4 t 4 3
代入 ( 4 ) 、( 5 ) 、( 6 ) 式 可得:
2 n 1 2t sin2t 1 2n 1 ! n 0 n 2n 2t cos2t 1 2n ! n 0 n
1 4 x v02 t 3 sin2 g2 t 4 sin2 3 3 1 1 y v0t 2 cos gt 3 cos v03 t 4 cos 3 3 1 2 1 z v0 t gt 2 v02 t 3 cos2 g2 t 4 cos2 2 3 6

R
x i

将( 1 ) 、( 3 ) 式分别积分:
2y sin A x gt 2y cos B z
由初始条件可得: A = 0, B = 0
2y sin x gt 2y cos z
代入( 2 ) 式整理可得: 其解为:
22 y 2 gt cos y
ar 0
将
0 F N F ge m g 沿 切 向 投 影 0 Fge cos mg s i n
2
m r cos mg s i n
2 r 即 tg g
若 r为 任 意 值 即 是 变 量 y . 于 是 有:
y
dz 2 tg y dy g
例一 . (书上P2 例1－1)
单摆的摆长为L, 小球的质量为m , 其悬挂点O以加速度 ao 向上运动.
求此单摆的微振动周期.
解 : (分析 : 求运动周期就要先求运动方程)
a0
O
取小球分析,小球相对以O为原点的平动参考系的动力学方程为 m a r F m g F ge 将其沿切向投影: mg si n mao si n ml
2 2 z y C 2g
由图示坐标系的选择知 可 C0 2 2 z y ( AOB线 为 抛 物 线 ) 2g
习 1 – 5 . 图示一离心分离机的鼓室, 鼓室的半径为R , 高为H . 以匀角速度ω 绕 Oy 轴转动. 当鼓室无盖时, 为使被分离的液体不致溢出. 试求:
(1) 鼓室旋转时, 在平面内液面所形成的曲线形状.
0 y 0 0 x 0 v0 z
o
y j

y
2
重复前面的解题过程可得:

R
x i

x
v0 sin2 v sin2 g sin2 g sin2 2 sin2t 0 t cos 2 t 1 t 4 2 82 4
v0 cos g cos cos2t 1 g cos sin2t t 2 2 4 2
x0 y0 z h 1 2 gt 2
< 2 > 竖直上抛物体落点偏西


900
z k
Baidu Nhomakorabea

2y sin 1 x 2 x sin 2 z cos 2 y cos g 2y 3 z
由初始条件: x0 y0 z0 0