多项式的最大公因式

4.4 多项式的最大公因式

授课题目：4.4多项式的最大公因式

教学目标：掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素概念和性质

授课时数：4学时

教学重点：最大公因式的概念与性质、多项式互素概念和性质

教学难点：多项式的最大公因式的矩阵求法

教学过程：

一、多项式的最大公因式的定义

1、定义（公因式与最大公因式）

定义 1 若)(x h 既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，则称)(x h 是)(x f 与)(x g 的公因式。

因,0),(|),(|≠c x g c x f c 所以任意两个多项式都有公因式。

定义2 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，如果对于)(x f 与)(x g 的 任一个公因式)(x h ，都有),(|)(x d x h 则称)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。

2.几个直接的结果

1）)()(|)(x g x f x g ⇒与)(x cg 都是)(x f 与)(x g 的最大公因式。

2） 0多项式是0多项式与0多项式的最大公因式

3、最大公因式之间的关系

定理4.4.1 如果 ()()()d x f x g x 是与的一个最大公因式，那么它们的所有最大公因式都是形如()(,0)cd x c F c ∈≠的多项式。

证 设12(),()d x d x 是()f x 与()g x 的两个最大公因式，根据最大公因式的定义，有

1221()|(),()|()d x d x d x d x 。

所以存大,0c F c ∈≠，使12()()d x cd x =。 （证毕）

由Th.4.4.1,只要能求出f g 与的一个最大公因式，就可以求出它们的所有最大公因式。 我们用((),())f x g x 来表示首项系数为1 的那个最大公因数。

当 ()()0f x g x == 时，规定 ((),())0f x g x = .

注意：①这里所说的两个多项式的最大公因式是唯一的，是指不计零次因式的差异意义与的唯一，即本质唯一。

②从数域F 过渡到数域F 时()F F ⊆，()()f x g x 与的最大公因式没有改变，但从数域F 到数域F 时，多项式()()f x g x 与可能获得与旧有的本质不同的公因式。

二、最大公因式的存在性

引理1 设(),(),(),()[],()0f x g x q x h x F x g x ∈≠， 且

()()()()f x g x q x h x =+， (1)

则()()()()f x g x g x h x 与及与有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且

((),())((),())f x g x g x h x =。

证 由（1）式知，对()()f x g x 与的任意公因式(),()|()m x m x h x 有，因此，

()()()m x g x h x 是与的公因式.另一方面，()()g x h x 对与的任一公因式()n x ，()|()n x f x 有，()()()n x f x g x 因此是与的公因式，()()()()f x g x g x h x 这样与和与有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，于是

((),())((),())f x g x g x f x =。 （证毕）

定理4.4.2 []F x 的任意两个多项式 ()()f x g x 与一定存在最大公因式。

分析：分两种情形讨论

1. f(x), g(x) 中有一零多项式，由结论1），2）立得；

2. f(x)≠0, g(x)≠0, 对min{(()),(())}k f x g x =∂︒∂︒用

数学归纳法（第二）

证 如果()()f x g x 和中有一个是零多项式，由前面的例1和例2知结论成立。

设()0,()0f x g x ≠≠。对min{(()),(())}k f x g x =∂︒∂︒用数学归纳法。

不妨设(()),0g x k k ∂︒==时，有()|()g x f x 。由例2知结论成立。

设0k >，并设结论对于小于k 的非负整数均成立。根据带余除法，有

(),()[]q x r x F x ∈使得

()()()()f x g x q x r x =+，

这里()0((0)(())r x r x g x k =∂︒<∂︒=或。由引理1知，只须证()()g x r x 与有最大公因式。

()0r x =当时，由例2知()()g x r x 与有最大公因式；

()0r x ≠当时，(()r x k ∂︒<因为，由归纳假设知()()g x r x 与有最大公因式。 （证毕）

三、最大公因式的矩阵求法

1. 几个简化计算的结论

为了简化计算，我们给出下面三个结论。

引理2 设 c 是数域F 中的非零常数，则

12((),())((),())f x g x c f x c g x =。

证 记1212()((),()),()((),())d x f x g x d x c f x c g x ==。利用最大公因式的定义不难得出

1221()|(),()|()d x d x d x d x ，

利用12()()d x d x 与的首项都是1，得12()()d x d x =。 （证毕）

还有 ( f(x), g(x) ) = ( g(x), f(x) )

( f(x) + g(x)q(x), g(x) ) = ( f(x), g(x) ). (引理1)

2. 最大公因式的矩阵求法

1）一元多项式矩阵

定义3 由()[](1,2,,;1,2,,)ij a x F x i m j n ∈==排成的m n 行列的一个矩阵

111212122212()()()()()

()()()()n n m m mn a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

， 称为数域F 上的一元多项式矩阵。用符号(),()A x B x 等来表示。

2）一元多项式矩阵的初等行变换

（1）互换矩阵的两行的位置；

（2）矩阵的某一行乘以一个非零常数c ；

（3） 矩阵的某一行的q(x) 倍加到另一行上.

一元多项式矩阵的初等行变换不改变多项式的最大公因式

3）求最大公因式的矩阵法

()()()0f x d x A g x ⎛⎫⎛⎫=−−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

一系列初等行变换 ))(),(()(x g x f x d =

例 1 设 42()243f x x x x =-+-，

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()2543g x x x x =--+。