多项式的最大公因式

4.4 多项式的最大公因式
授课题目：4.4多项式的最大公因式
教学目标：掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素概念和性质
授课时数：4学时
教学重点：最大公因式的概念与性质、多项式互素概念和性质
教学难点：多项式的最大公因式的矩阵求法
教学过程：
一、多项式的最大公因式的定义
1、定义（公因式与最大公因式）
定义 1 若)(x h 既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，则称)(x h 是)(x f 与)(x g 的公因式。

因,0),(|),(|≠c x g c x f c 所以任意两个多项式都有公因式。

定义2 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，如果对于)(x f 与)(x g 的 任一个公因式)(x h ，都有),(|)(x d x h 则称)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。

2.几个直接的结果
1）)()(|)(x g x f x g ⇒与)(x cg 都是)(x f 与)(x g 的最大公因式。

2） 0多项式是0多项式与0多项式的最大公因式
3、最大公因式之间的关系
定理4.4.1 如果 ()()()d x f x g x 是与的一个最大公因式，那么它们的所有最大公因式都是形如()(,0)cd x c F c ∈≠的多项式。

证 设12(),()d x d x 是()f x 与()g x 的两个最大公因式，根据最大公因式的定义，有
1221()|(),()|()d x d x d x d x 。

所以存大,0c F c ∈≠，使12()()d x cd x =。

（证毕）
由Th.4.4.1,只要能求出f g 与的一个最大公因式，就可以求出它们的所有最大公因式。

我们用((),())f x g x 来表示首项系数为1 的那个最大公因数。

当 ()()0f x g x == 时，规定 ((),())0f x g x = .
注意：①这里所说的两个多项式的最大公因式是唯一的，是指不计零次因式的差异意义与的唯一，即本质唯一。

②从数域F 过渡到数域F 时()F F ⊆，()()f x g x 与的最大公因式没有改变，但从数域F 到数域F 时，多项式()()f x g x 与可能获得与旧有的本质不同的公因式。

二、最大公因式的存在性
引理1 设(),(),(),()[],()0f x g x q x h x F x g x ∈≠， 且
()()()()f x g x q x h x =+， (1)
则()()()()f x g x g x h x 与及与有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且
((),())((),())f x g x g x h x =。

证 由（1）式知，对()()f x g x 与的任意公因式(),()|()m x m x h x 有，因此，
()()()m x g x h x 是与的公因式.另一方面，()()g x h x 对与的任一公因式()n x ，()|()n x f x 有，()()()n x f x g x 因此是与的公因式，()()()()f x g x g x h x 这样与和与有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，于是
((),())((),())f x g x g x f x =。

（证毕）
定理4.4.2 []F x 的任意两个多项式 ()()f x g x 与一定存在最大公因式。

分析：分两种情形讨论
1. f(x), g(x) 中有一零多项式，由结论1），2）立得；
2. f(x)≠0, g(x)≠0, 对min{(()),(())}k f x g x =∂︒∂︒用
数学归纳法（第二）
证 如果()()f x g x 和中有一个是零多项式，由前面的例1和例2知结论成立。

设()0,()0f x g x ≠≠。

对min{(()),(())}k f x g x =∂︒∂︒用数学归纳法。

不妨设(()),0g x k k ∂︒==时，有()|()g x f x 。

由例2知结论成立。

设0k >，并设结论对于小于k 的非负整数均成立。

根据带余除法，有
(),()[]q x r x F x ∈使得
()()()()f x g x q x r x =+，
这里()0((0)(())r x r x g x k =∂︒<∂︒=或。

由引理1知，只须证()()g x r x 与有最大公因式。

()0r x =当时，由例2知()()g x r x 与有最大公因式；
()0r x ≠当时，(()r x k ∂︒<因为，由归纳假设知()()g x r x 与有最大公因式。

（证毕）
三、最大公因式的矩阵求法
1. 几个简化计算的结论
为了简化计算，我们给出下面三个结论。

引理2 设 c 是数域F 中的非零常数，则
12((),())((),())f x g x c f x c g x =。

证 记1212()((),()),()((),())d x f x g x d x c f x c g x ==。

利用最大公因式的定义不难得出
1221()|(),()|()d x d x d x d x ，
利用12()()d x d x 与的首项都是1，得12()()d x d x =。

（证毕）
还有 ( f(x), g(x) ) = ( g(x), f(x) )
( f(x) + g(x)q(x), g(x) ) = ( f(x), g(x) ). (引理1)
2. 最大公因式的矩阵求法
1）一元多项式矩阵
定义3 由()[](1,2,,;1,2,,)ij a x F x i m j n ∈==排成的m n 行列的一个矩阵
111212122212()()()()()
()()()()n n m m mn a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
， 称为数域F 上的一元多项式矩阵。

用符号(),()A x B x 等来表示。

2）一元多项式矩阵的初等行变换
（1）互换矩阵的两行的位置；
（2）矩阵的某一行乘以一个非零常数c ；
（3） 矩阵的某一行的q(x) 倍加到另一行上.
一元多项式矩阵的初等行变换不改变多项式的最大公因式
3）求最大公因式的矩阵法
()()()0f x d x A g x ⎛⎫⎛⎫=−−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
一系列初等行变换 ))(),(()(x g x f x d =
例 1 设 42()243f x x x x =-+-，
32
()2543g x x x x =--+。

求((),())f x g x 。

* 分别用不分离及分离系数法计算
四、最大公因式的一个重要性质
1、 2阶一元多项式初等矩阵
（1）换法阵0110⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
（2）倍法阵010010c F c ⎛⎫⎛⎫≠∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
或这里0c ； （3）消法阵1()10,()[]01()1q x q x F x q x ⎛⎫⎛⎫∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或这里。

显而易见，对21⨯一元多项式矩阵()A x ，施行三种初等变换的结果分别等于()A x 的左边乘以相应的数域2F 上的阶一元多项式初等矩阵。

2、最大公因式的一个重要性质
定理4.4.3 设 ()()()d x f x g x 是与的一个最大公因式，那么存在
(),()[]u x v x F x ∈,使
()()()()()d x u x f x v x g x =+。

证 以(),()f x g x ⨯为元素排成一个21矩阵如下
()()()f x A x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

()(),()A x f x g x 对施行初等行变换,用逐步消去中次数校高的那个多项式的首项的办法，降低其次数，直至一个多项式变为0为止，也即()A x 可以通过一系列初等行变换化为
()()0d x B x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
于是有((),())((),0)(()1)f x g x d x d x =可以假定为首。

用矩阵等式来表示，即是说存在数域F 上2阶一元多项式矩阵12(),(),,()t E x E x E x ，使得
121()
()()()()E x E x E x A x B x =。

记为 121()()()()()()()()u x v x E x E x E x E x s x t x ⎛⎫== ⎪⎝⎭
， 和 ()()()()()()()0u x v x f x d x s x t x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

所以 ()()()()()u x f x v x g x d x +=。

（证毕）
3、 求)(),(x v x u 的方法
由等式
121()()()()()()t t E x E x I E x E x E x E x I -==⋅
可知，在对()A x 施行一系列初等变换将()A x 变为()B x 的同时，对单位矩阵I 施行同样的行初等变换，()I E x 就变成，从而也就得到(),()u x v x ，即
()()()((),)0
()()d x u x v x A x I s x t x ⎛⎫−−−−−−→ ⎪⎝⎭一系列初等行变换 4、 几点注意
a) 定理4.4.5的逆命题不成立，加一条件))(|)(),(|)((x g x d x f x d 即可；
b) 适合定理4.4.3的(),()u x v x 不一定唯一；
c) 可推广到多个多项式的情形；
d) 最大公因式不会随着数域扩大而发生改变。

定理 4.4.4 ()(),()[],d x f x g x F x 若是在中的公因式()(),()d x f x g x 则是的最大公因式的充分必要条件是(),()[],u x v x F x ∈存在使得
()()()()()d x u x f x v x g x =+。

例1 令F 是有理数域，求出[]F x 的多项式
43232()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+，
使得()()()()()u x f x v x g x d x +=成立的(),(),()d x r x v x ，其中()((),())d x f x g x =。

解 我们把()()f x I g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
拼在的右边一起做行初等变换： 12432(2)32()1042165910()0125401r r f x x x x x g x x x x +⨯-⎛⎫--++⎛⎫=−−−−→ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝
⎭ 2122323263912639122540163151203r r x x x x x x x x x x x x x +⨯⎛⎫⎛⎫--+---+-−−−→−−→ ⎪ ⎪--+--+⎝⎭⎝⎭
121212()31220**1(1)133**********r r r x x x x x x x x ↔⨯-⎛⎫-----⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-+--++ ⎪⎝⎭⎝
⎭。

所以2122()1,()(1),()1333
d x x u x x v x x x =-=--=
--。

五、多项式的互素
（一）多项式互素的定义与判断
1、定义
定义1 如果(),()[],((),())1f x g x F x f x g x ∈=而，那么就说(),()f x g x 互素，即两个多项式只有零次公因式时，称为互素。

的公因式，就称这两个多项式互素
2、判定定理
定理4.5.1 []F x 中的多项式
(),()()(),f x g x u x v x 互素当且仅当存在两个多项式和使得
1)()()()(=+x v x g x u x f 。

证 ((),())1,(),()[],()()()()1f x g x u x v x F x u x f x v x g x =∈+=若则存在使得。

反之，()()()()1f x u x g x v x +=若成立，则显然
(),()()()()()f x g x f x u x g x v x +的任意公因式必整除，因而必是1的因式，这样()()f x g x 与的公因式必为非零常数，((),())1f x g x =故。

（证毕）
（二）多项式互素的性质
（1）若)(),(x g x f 都与h(x)互素，那么f(x)g(x)也与h(x)互素
（2）若),()(|)(x g x f x h 且互素与)()(x f x h ，那么)(|)(x g x h
（3）若 ),(|)(),(|)(x f x h x f x g 且互素，与)()(x h x g 那么)(|)()(x f x h x g 。

（三）、互素概念的推广
1、多个多项式的互素
定义5 12(),(),
,()n f x f x f x 的最大公因式()d x 是指满足以下条件的多项式： 1）()|(),1,2,
,;i d x f x i n = 2）()|(),1,2,
,()|().i h x f x i n h x d x =若则 定义6 1212((),(),,())1,(),(),,()n n f x f x f x f x f x f x =若则说是互素的.如果
((),())1,,,1,2,,,i j f x f x i j i j n =≠=则称12(),(),,().n f x f x f x 为两两互素的
2、整体互素与两两互素的区别与联系
整体互素⇐两两互素，若两两互素。

则不一定整体互素 作业：P142，1—10题。