第五讲 余数问题-(带完整答案)五年级奥数

第五讲余数问题

内容概述

从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；

当r=0时，我们称a能被b整除；

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商

余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。

例题讲析

基本性质1：被除数=除数×商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数

除数=（被除数-余数）÷商；

商=（被除数-余数）÷除数。

余数小于除数。

理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。

【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。

法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。

【例2】（第十三届迎春杯决赛）已知一个两位数除1477，余数是49.那么，满足那样条件的所有两位数是 .

分析：1477-49=1428是这两位数的倍数，又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17，因此所求的两位数51或68或84.

【例3】（第十届迎春杯决赛）一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数.

分析：设这个数为n，除以9所得余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13—8=5，又显然q≤13.

q=5时，r=8，n=5×8+4=44；

q=6时，r=7，n=6×8+4=52；

q=7时，r=6，n=7×8+4=60；

q=8时，r=5，n=8×8+4=68；

q=9时，r=4，n=9×8+4=76；

q=10时，r=3，n=10×8+4=84；

q=11时，r=2，n=11×8+4=92；

q=12时，r=1，n=12×8+4=100；

q=13时，r=0，n=13×8+4=108.

满足条件的自然数共有9个：108，100，92，84，76，68，60，52，44.

【例4】（北京八中小升初入学测试题）有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

分析：我们根据解三个余数之和是50这个条件可知：

（1）从这三个数的和中把50减掉后，得到的差应是这个整数的整数倍，也就是能被这个数整除。

（2）这个除数也必然要小于70。

（3）因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个要大于16，那么除数大于余数，所以要大于16，这样我们就确定了这个除数的大致范围是17～70。

（4）既然是3 个余数的和是50，那么70、110、160这三个数除以这个数后的余数都不能大于50。

由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在之间的约数有29和58。因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。关于这部分的知识概念我们还可以参看一下附加9、10。

基本性质2：如果a，b除以c的余数相同，就称a、b对于除数c来说是同余的，且有a与b的

差能被c整除。（a,b,c均为自然数）

例如：17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

【例5】有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。

分析：在讲解此题之前可以先向学生介绍一下附加3。法1：39-3=36，51-3=48，147-3=144，（36，48，144）=12，12的约数是1，2，3，4，6，12，因为余数为3要小于除数，所以这个数是4，6，12；

法2：这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据性质2，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。51-39=12，147-39=108，147-51=96，（12，108，96）=12，所以这个数是4，6，12。

【例6】已知三个数127，99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3，求a和b的值。

分析：127-3=124，99-3=96，则b是124和96的公约数。而（124，96）=4，所以b=4。那么a的可能取值是11，15，19，23，27。对于此题拓展我们可以参看附加1。

【例7】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a＞b，求ab×ba。

分析：ab-ba能被7整除，即（10a+b）-（10b+a）=9×（a-b）能被7整除。所以只能有a-b=7，那么ab 可能为92和81，验算可得当ab=92时，ba=29满足题目要求，ab×ba=92×29=2668。关于这部分的知识概念我们还可以参看一下附加7、8。

基本性质3：a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

【例8】有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？

分析：建议教师在讲解这部分知识之前可以先讲解一下附加3。法1：3、10、13、23、36、69、95、…被3除后的余数依次为0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、…，观察得：余数的排列规律是：0、1、1、2、0、2、2、1为周期重复出现。1997÷8＝249…5，所以余数为0。

法2:找余数的规律我们还可以这样做：从第三个数起，把前面两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数除以3的余数，这样就很容易算出余数依次为：0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、…，观察得8个一循环，1997÷8＝249…5，所以余数为0。

【例9】（第五届希望杯培训试题）黑板上写着从1开始的2007个连续自然数，团团每次抹去其中的若