椭圆的参数方程(教案)
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8.2 椭圆的几何性质(5)
——椭圆的参数方程(教案)
齐鲁石化五中翟慎佳 2002.10.25
一.目的要求:
1.了解椭圆参数方程,了解系数a、b、 含义。
2.进一点完善对椭圆的认识,并使学生熟悉的掌握坐标法。
3.培养理解能力、知识应用能力。
二.教学目标:
1.知识目标:学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程,理解它与普通方程的相互联系;对椭圆有一个较全面的了解。
2.能力目标:巩固坐标法,能对简单方程进行两种形式的互化;能运用参数方程解决相关问题。
3.德育目标:通过对椭圆多角度、多层次的认识,经历从感性认识到理性认识的上升过程,培养学生辩证唯物主义观点。
三.重点难点:
1.重点:由方程研究曲线的方法;椭圆参数方程及其应用。
2.难点:椭圆参数方程的推导及应用。
四.教学方法:
引导启发,计算机辅助,讲练结合。
五.教学过程:
(一)引言(意义)
人们对事物的认识是不断加深、层层推进的,对椭圆的认识也遵循这一规律。
本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用,进一步完善对椭圆认识。(二)预备知识(复习相关)
1.求曲线方程常用哪几种方法?
答:直接法,待定系数法,转换法〈代入法〉,参数法。
2.举例:含参数的方程与参数方程
例如:y =kx +1(k 参数)含参方程,而⎩⎨⎧+==142t y t
x (t 参数)是参数方程。
3.直线及圆的参数方程?各系数意义?
(三)推导椭圆参数方程
1.提出问题(教科书例5)
例题.如图,以原点为圆心,分别以a 、b (a>b>0)为半径作两个圆。点B 是大圆半径OA 与小圆的交点,过点A 作AN ⊥O x ,垂足为N ,过点B 作BM ⊥AN ,垂足为M 。求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。 2. 分析问题
本题是由给定条件求轨迹的问题,但动点较多,不易把握。故采用间接法——参数法。
引导学生阅读题目,回答问题: (1)动点M 是怎样产生的?
M 与A 、B 的坐标有何联系? (2)如何设出恰当参数?
设∠AOX=ϕ为参数较恰当。
3.解决问题(板演)
解:设点M 的坐标(x,y),ϕ是以Ox 为始边,OA 为终边的正角,
取ϕ为参数,那么 x=ON=|OA|cos ϕ, y=NM=|OB|sin ϕ 即
⎩
⎨
⎧==ϕϕ
sin cos b y a x ① 引为点M 的轨迹参数方程,ϕ为参数。 4.更进一步(板演:化普通方程)
分别将方程组①的两个方程变形,得⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕ
sin cos b
y
a x
两式平方后相加,
消去参数得方程122
22=+b
y a x
由此可知,点M 的轨迹是椭圆,方程①是椭圆的参数方程。ϕ为参数,为离心角,常数a 、b 分别是椭圆长半轴和短半轴长。
5. 加深理解
(1) 椭圆参数方程⎩
⎨⎧==ϕϕ
sin cos b y a x (ϕ为参数),参数有明显几何意义。
离心角ϕ与∠MOX 一般不同。参数方程提供了设点的方法。 (2) 椭圆参数方程与普通方程可互相转化。“设参←→消参”。
(3) 椭圆的参数方程也可由122
22=+b
y a x (a>b>0)三角换元直接得出,
即令
ϕcos =a x ,ϕsin =b
y
。双曲线也有类似换元。 (4) 可仿P95例3,将圆压缩或拉伸的办法求到椭圆参数方程
(四)参数方程的应用(例题分析)
例1. 参数方程普通方程互化(1)⎩
⎨⎧==θθsin 5cos 3y x (2)116222
=+y x
例2. 练习:参数方程普通方程互化 (1)⎩⎨⎧==t y t x sin 10cos 8 (2)1962
2=+y x 例3.在椭圆8822=+y x 上求点P ,使P 到L :x-y+4=0的距离最小。 分析1:(目标函数法)设P(x,y)为椭圆上任一点,由8822=+y x 得
2
88y x -±=,则P 到L 的距离 2
|
488|2+--±=
y y d
再想办法求最值,但太繁不可取。
分析2:(几何法)把直线L 平移到L 1与椭圆相切,
此时切点P 为所求的点。即设L 1:x-y+m=0,
由⎩
⎨⎧=+=+-8802
2y x m y x , 整理得9y 2-2my+m 2-8=0.
由△=4m 2-4·9(m 2-8)=0得m=±3. 如图可知m=3时最小. 可计算平行线间的距离,
2
2
2
|34|=
-=
d ,此时P (-31,38)
分析3:(参数法)设P (22cos ϕ,sin ϕ),则有
2
|
4)sin(3|2
|
4sin cos 22|+-=
+-=
θϕϕϕd ,其中22tan =θ
当2
π
θϕ-
=-时,d 有最小值
2
2
, 则322sin cos -
=-=θϕ,31cos sin ==θϕ 即P (-3
1
,38) 方法小结:(1)本题运用参数方程比普通方程简单
(2)当直接设点的坐标不易求解时,可尝试建立参数方程
例4.P(x,y)为椭圆14
22
=+y x 上任一点,求2x+y 的最大值。 例5.设椭圆⎩
⎨⎧==)(sin 32cos 4是参数ααα
y x 上一点P ,使OP 与x 轴正向所成
角∠POX=
3
π
,求P 点坐标。 分析:本题容易产生错误:认为α=
3
π
,代入椭圆参数方程 x=2,y=3,从而P (2,3)。
事实上,若注意P 对应参数α与∠POX 关系,可避免此误。
解:设P (αcos 4,αsin 32),由P 与x 轴正向所成的角为3
π
,
∴α
α
π
cos 4sin 323
tan
=
,即tan α=2. 而sin α>0,cos α>0,