数理金融步习题答案

1(证明）请使用一价律证明看跌-看涨期权平价公式。

证明：构造两个投资组合：（1）0时刻买入一股股票及一个看跌期权，成本S+P 。（2）0时刻买入一份看涨期权并加上金额为rt Ke -，现金成本rt Ke C -+，在t 时刻，假定股票价格为S （t ），当S （t ）》K ，对投资（1）来说价值S （t ），对投资（2）价值以rt rt e Ke ?-=K 买入一股股票，价值为S （t ）。当S （t ）

2（证明）证明：如果S+P-C>K rt e -，那么以下的投资策略总可以得到正的收益：卖出一股股票，卖出一个看跌期权，并买入一个看涨期权。

证明：如果S+P-C>K rt e -，那么我们通过在0时刻购买一份股票，同时买入一个看涨期权，并卖出一个

看跌期权，这个初始的投入S+P-C ，在t 时刻卖出如果S(t)<=k,那么买入的看涨期权无价值，可以执行看跌期权，以价格K 卖出。如果S(t)>=k ，那么卖出的看跌期权无价值，则执行看涨期权，迫使以

K 卖出，由于S<(S+P-C)rt e ，我们都有正的利润，所以S+P-C>K rt e -。

4成年男子的血液收缩压服从均值为127.7，标准差为19.2的正态分布，求：a)68%b)95%c)99.9%

解：a)设陈年男子血液收缩压为X, E 为对应的正态随机变量，即E=（X-127）/19.2， u=127.7,&=19.2, 所以|&|<=19=0.682,所以-1<=(E-127.7)/19.2<=1,即108.5<=E,所以取值范围为 [108.5,146.9]

b)由表可得p{|E|<=2}=0.9544,即-2<=(E-127.7)/19.2<=2,89.3<=E<=166.1,所以取值范围[89.3,166.1] c) p{|E|<=3}=0.9974,即-3<=(E-127.7)/19.2<=3,解得70.1<=E<=185.3,所以取值范围[70.1,185.3]. 4一个打算20后退休人，今后240个月月初存款A ，随后360个月月初提款1000，名义利率6%，求A 。 解：月利率005.012/%6=,11+=

r β令，所有存款的现值为：βββββ--=++++113292240A A A A A 。 所有提款的现值：ββββββ

--=+++112405992412403601000100010001000 。由题意得βββββ----=11240113602401000A 。计算得A=360.99≈361。

3假定可以购买看跌期权，是否选择结束以每股150的价格卖出，使得套利机会不存在时看跌P ，然后证明所得结果的看涨和看跌期权满足期权平价公式。 解：03

)1(2)91100()321)((][,{200,50,)1(1001=+?-+++-==--+-r r r p E p p r 收益，即 r r r r r r r r r r RC S c p +++++-+++-==?-+=+?==1150)1(3450150321)1(3)1(200150321)1(3)1(200100,。证明：满足。

8一个五年期、面值10000美元、有10%票息率债权，价值10000美元。今后五年，每六月付持有者500美元，且这十次支付末再付本金10000美元。如每月计息一次的利率为：a)6% b)10% c)12% 求现值。 解：（1）当r=6%时，现值=132********

)1(10000)1(500)1(500)1(500=++++++++r r r r (2)当r=10%时，现值= 6876060126

)1(10000)1(500)1(500)1(500=++++++++r r r r （3）当r=12%, 50260

60126)1(10000)1(500)1(500)1(500=++++++++r r r r 13以下面两张方式偿还贷款：一种是现在一次还清所有的欠款6000美元，另一种是现在还10000美元，

并在十年后还10000.对于下面的名义连续复利利率，哪一种还款方式更可取：a)2% b)5% c)10% 解：r=2%时，60003.818710000100002.010%2>==-?-e e

r=5%时，60003.6065100001000010%5>==?--e e rt

r=10%时，60008.3678100001000010%10<==?--e e rt

5.8令P 是一个执行价格为K 和现价为S 的证券的看跌期权的价格。试证明P 》rt Ke --S 。其中t 期权到期日，r 是利率。

证明：在0时刻买入一个证券，同时买入一个看跌期权，从初始的投入为P+S ，在t 时刻时，S （t ）>K 时，看跌期权毫无价值，则以K 的价格卖出证券，当S （t ）

5.5令C 是一个看涨期权的价格，这个期权可以在t 时刻以价格K 买入一个证券，S 是这个证券现在的价格，r 是利率。请写出一个包含C 、S 和rt Ke -的不等式，并给出证明。证明：S-CK ，看涨期权将被执行，0)(>--rt c s k ，所以S-C

5.8令P 是一个执行价格为K 和现价为S 的证券的看跌期权的价格，试证明P 》rt Ke --S ，其中t 期权到期日，r 是利率。证明：在0时刻买入一个证券，同时买入一个看跌期权，从初始的投入为P+S ，在t 时刻里，S （t ）>K 时，看跌期权毫无价值，则以K 的价格卖出证券，当S （t ）

6.7假设在每一个时间段内，一个证券的价值或者上涨为原来的两倍或者下跌为原来的二分之一（即

2/1,2==d μ）

。如果该证券的初始价格为100，求一个看涨期权的无套利价格这个期权允许持有者在两个时间段结束时以每股150的价格购买股票。

解:设每一个时间段名义利率均为r ，11=x 的概率，)2,1(3

211=+=--+=i r d a d r p ，22

2222

2202)1(9)21(250)321()1(510250)1()])[()1(r r r r p r k d S E r c r r ++=+?+?=??+=-+=---μ 所以，一个看涨期权的无套利价格为22

)

1(90)21(250r r ++ 7.2某证券价格服从参数24.0,12.0==σμ几何布朗运动，如果当前价格40，则对于一个还有四个月才到期，执行价42=k 的看涨期权，它被执行的概率有多大？ 解：由题意知)

0()(s t s 是一个均值参数为t r )2(2σ-，方差参数为t 2σ的对数正态随机变量 ， w t e s s )0()(=，)0192.0,04.0())24.0(,12.0(),(22N t t N t ut N w ==-σ，}{}{)0()(k e s p k s p w t >=>= }049.0{}4042ln {}ln {}{)0()0(>=>=>=>w p w p s k w p s k e p w =4761.0)06.0(1}24.004.0049.0{3

1=-=->-φσt ut w p