2013-2014第二学期数理金融期末试卷

13—14学年第二学期 《数理金融学》期末考试试题（A ）

注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1.本2,2013数学

（升本）

2.本试卷共1页.满分100分.

3.考试时间120分钟.

4.考试方式：闭卷

一、选择题（每小题3分，共15分）

1．某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成，它们的预期收益率分别为10%、16%、20%

它们在组合中的比例分别为30%、30%、40%，则该证券组合的预期收益率为______

A 15.3%

B 15.8%

C 14.7%

D 15.0%

2．无风险收益率和市场期望收益率分别是0.06和0.12.根据CAPM 模型，贝塔值为1.2的证券X 的期望收益率为

A 0.06

B 0.144

C 0.12

D 0.132

3．无风险收益率为0.07，市场期望收益率为 0.15.证券X 的预期收益率为 0.12，贝塔值为1.3.那么你应该

A 买入X ，因为它被高估了；

B 卖空X ，因为它被高估了

C 卖空X ，因为它被低估了；

D 买入X ，因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行？ A 执行价格比股票价格高； B 执行价格比股票价格低

C 执行价格与股票价格相等；

D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格

5.假定IBM 公司的股价是每股95美元.一张IBM 公司4月份看涨期权的执行

价格为100美元，期权价格为5美元.忽略委托佣金，看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价

A 涨到104美元

B 跌到90美元

C 涨到107美元

D 跌到 96美元

二、填空题（每小题3分，共15分）

1.风险厌恶型投资者的效用函数为

2.设一投资者的效用函数为()

ax

u x e

,则其绝对风险厌恶函数()

A

x

3.均值-方差投资组合选择模型是由 提出的.

4.可以在到期日前任何一天行使的期权称之为

5.考察下列两项投资选择：（1）风险资产组合40%的概率获得 15%的收益，60%的概率获得5%的收益；（2）银行存款收益率为6%;则风险投资的风险溢价是

三、分析题（每小题15分，共30分）

1.设某人面临两种工作，需要从中选择出一种, 其收入R 1R 2都是不确定的.第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高.如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣得1000元.假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/

2.第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元.但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本工资收入.不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99％.假设该人是风险厌恶者，这个人会选择哪一种工作呢？请说明理由.

2.经济系统中有一只无风险资产与2只风险资产12,X X .无风险利率为r ，无风险收益为1R r =+，风险资产12,X X 在时间0的价格分别为121v v ==，在时期1有3个可能的状态，它们的收益矩阵为：Z=[3 1 2;2 2 4]T ，试求正状态定价向量、等价概率分布，并讨论相应的套利机会. 四、计算题（共15分）

某个股票现价为40美元.已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元.无风险年利率为12%（连续复利）. 请用无套利原理说明，（1）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ （2）执行价格为39

装 订 线 内 不

答 题

美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.

五、综合题（共25分）假设你的初始财富禀赋为单位资金1，将全部用于投资风险资产，证券市场上有n

种风险资产可供你选择，风险资产的收益率为随机向量

12(,,,)T n X X X X =???,其期望收益率向量为12(,,,)T n μμμμ=???，假设你是风险厌恶

者，期望收益率水平为r p ,目标是构建一投资组合w 实现风险最小化，现在请利用所学知识，完成如下任务：（1）建立一个投资组合优化数学模型；（2）求解最优组合

w;

（3）求解最小化风险

p 2

的数学表达式；（4）假设市场上只有3种风险资产可以

供你选择进行投资，其期望收益率向量为

()

(2,1,3)T E X ，协方差矩阵为∑=[1

0 0;0 2 0;0 0 4]，你的期望收益率为r p =2，请求解你此时的最优

投资组合w 及面临的风险

p

2

.

13—14学年第二学期 《数理金融学》期末考试试题（B ）

注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1、本2,13数学升本

1、2。

2.本试卷共1页，满分100分。

3.考试时间120分钟。

4.考试方式：“闭卷”。

一、选择题（每小题3分，共15分） 1.公平赌博是指____ _ 。

A 风险厌恶者不会参与。

B 是没有风险溢价的风险投资。

C 是无风险投资。

D A 与 B 均正确。

2. 根据一种无风险资产和 N 种有风险资产作出的资本市场线是____ _ 。 A 连接无风险利率和风险资产组合最小方差两点的线。

B 连接无风险利率和有效边界上预期收益最高的风险资产组合的线。

C 通过无风险利率那点和风险资产组合有效边界相切的线。

D 通过无风险利率的水平线。

3．投资分散化加强时，资产组合的方差会接近____ _ 。 A 0 B 市场组合的方差 C 1 D 无穷大 4．一张股票的看涨期权的持有者将会承受的最大损失等于____ _ 。 A 看涨期权价格 B 市值减去看涨期权合约的价格 C 执行价格减去市值 D 股价

5.考察下列两项投资选择（1）风险资产组合 40%的概率获得 15%的收益，60%的概率获得 5%的收益；（2）银行存款利率6%的年收益。假若你投资 100000 美元于风险资产组合，则你的预期收益是____ _ 。

A 40000 美元

B 2500 美元

C 9000 美元

D 3000 美元

二、填空题（每小题3分，共15分）

1.设h 是一赌博，在未来有两种可能的状态或结果12,h h ，其中1h 发生的概率为p ，2h 发生的概率为1p -，则h 是公平赌博的数学表达式为____ _ 。

2.“均值-方差”有效资产组合是这样一个资产组合，对确定的方差具有____ _ ，同时对确定的期望收益率水平有____ _ 。

3. 证券市场线是指对任意资产组合p X M ,由点____ _ 所形成的轨迹.证

券市场线方程为____ _ 。 4.设12(,,)T n w w w w 为一资产组合，若w 满足____ _ ，则称之为套利资产

组合。

5.如果无风险利率6%,()14%,()18%,f M p r E X E X 则p X

的

=____

_ 。

三、简答题（每小题10分，共20分）

1.考虑3个资产A 、B 以及C 。它们具有如下的风险特征：它们年收益率的标准差为50％，β值分别为0、1.5以及-1.5。另外，市场年组合收益率的均值为12%M r =，标准差为20%M σ=，无风险利率为4％。由CAPM 公式，计算这三个资产的风险溢价是多少?

2.假设有两种风险资产A 和B 。资产A ：期望收益率10%A r =，收益率

方差2

16%A σ=；资产B ：期望收益率6%B r =3%，收益率方差24%B σ=。你愿意

持有哪一种资产？请说明理由。 四、应用题（共15分）

设企业Ⅰ在0期将发行100股股票，企业在1期的价值为随机变量(1)I V 。企业的资金都是通过发行这些股票而筹措的，以致于股票持有者有资格获得(1)I V 完

全的收益流.最后给出的有关数据是： $1000(1)

$800

3/4

I V p

p=1/4 1cov(,)

0.045M X X ，

0.30 0.10r

，()

0.20M E X 。试用资本资产定价方程或风险自行

调节定价公式求出该股票在0期的合理价值。

五、计算题（第1题20分，第2题15分，共35分）

1.某个股票现价为50美元。已知在两个月后，股票价格为53美元或48

装 订 线 内 不

答 题

美元。无风险年利率为10%（连续复利）。请用无套利原理说明，（1）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间平价关系。

2.某个股票现价为50美元。有连续2个周期，每个周期为3个月，在每个周期内的单步二叉树的股价或者上涨6%或者下跌5%。利率为5%（连续复利）。求执行价格为51美元，有效期为6个月的欧式看跌期权的价值为多少？

2013～2014学年第二学期课程考试

《数理金融学》试卷（A 卷）参考答案及评分标准

命题教师：熊洪斌

考试班级：11应数本1、2，13数学（升本）1、2

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 凹函数（或0u (x )''<）；

2. a;

3. 马科维茨；

4. 美式期权；

5. 3%. 三、分析题（每小题15分，共30分）

1.解：首先计算这两种工作的预期月收入1ER 和2ER ：

150010005.020005.01=?+?=ER （元）

（2分） 150051001.0151099.02=?+?=ER （元）（2分）

可见，两种工作月收入的期望值都为1500元，即12=ER ER

再计算这两种工作月收入的方差21σ和2

2σ：

250000)15001000(5.0)15002000(5.02221=-?+-?=σ（3分）

9900)1500510(01.0)15001510(99.02222=-?+-?=σ(3分)

所以，两种工作的标准差分别为5001=σ，11302=σ.21σσ>说明，第一种工作虽然收入可高达2000元，但风险大（即方差大）；第二种工作虽然收入最高只有1510元，但风险小（即方差小）.（2分）

12=ER ER 21σσ>，由于该人是风险厌恶者，所以他会选择第二种工作.（3分）

2.解：令正状态定价向量12

3

(,

,

)T （1分）

则：3

1

1

(1,1),

T

T

i

i Z

R

（3分） 即：12

3

1

2

3

1

2

3

3

2

1

2

2

411/R

（1分）解得

1

2

3

1

423

4112R R

.（3分） 所求向量

12312311(,,

)

(,,)442T T

R R

（1分） 当823

R

时0(1,2,3)i

i ，市场无套利，因而存在等价概率分布律.（2分）

等价概率分布律为：（3分） 四、计算题（共15分）

解：股票的价格二叉树模型为：04240

,12%,1/12138

u f d q S S r q

S τ====-=

第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知：0.121/1240

4238(1)e q

q

从 40(10.01)4238(1)q q 我们得到2.4

42384q q

q 所以 0.6q

（3

分）

第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均.

(1) 执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：0

310

u d q C C q

C =-=看涨期权的价格为：

1

1.8

[3(1)0] 1.7821.01

1.01

C q q （美元）

（4分） (2) 执行价格K=39美元的看跌期权的二叉树模型为：

011

u d q C P q

C =-=，

所以看跌期权的价格为：

1

0.4

[0(1)1]

0.3961.01

1.01

P q q （美元）

（4分） （3）r P S C Ke τ-+=+，

0.010.3964040.396, 1.7823940.396r P S C Ke e τ--+=+=+=+?=（4

分）

五、综合题（共25分）

解： (1)对一定期望收益率p r ，选择资产组合使其总风险最小的数学模型为：

2

11min 22

..

()11

T p

T

p p T w w s t E X w

r w

（5分）

（2）应用标准的拉格朗日乘数法求解：

令112122(,,)()(11)p L w w w r w w λλλμλ'''=+-?+-∑ （2分） 其中

1和

2为待定参数，最优解应满足的一阶条件为：

12

1

2

10;

0;110;

T T

p

T L

w w L

r w L

w

（2分）

得最优解：

*

1

12

(

1)w .

（2分） 令1

1

1

,11,T

T

T

a b

1

211,

T

c

ac b

则

1

2

,

.p p r c b

a

r b

（2分）

最小方差资产组合方差为：2**

21

()T p

p

c

b w w r

c c

（2分） （4）由题意知，

100

020004

，所以，

1

100

00.5000

0.25

， （1分）

()

(2,1,3)T E X

1

1

2713 6.25,1

,4

4

T

T a

b

1

2

7

511

,4

4

T

c

ac b .

（4分）

当2p r 时，

1

2

11

,.5

5

p p r c b

a

r b

(2分)

最优组合*

1

1

111

1

(3,1,1)(0.6,0.2,0.2)5

55T T w

，

（1分） 最小方差为 2**

213

()5

T

p

p

c

b w w r c

c

（2分）

2013～2014学年第二学期课程考试

《数理金融学》试卷（B 卷）参考答案及评分标准

命题教师：熊洪斌

考试班级：11应数本1、2，13数学（升本）1、2

二1.12()(1)0E h ph p h =+-= 2.最大期望收益率，最小的方差. 3. (

,())Mp

P E X ；()(()

)p Mp

M E X r

E X r .

4. 10,1

(1,1,1)T

T n w

5. 1.5

三、简答题（每小题10分，共20分）

1.解答：首先，市场组合的风险溢价是0.120.048%M F r r -=-=，

（4分）

我们有

00.080 1.50.0812%1.50.0812%

A F

B F

C F r r r r r r -=?=-=?=-=-?=-

（6分）

2.解：因为 10%,6%A

B

r r ；

2216%,

4%;A

B

（2分）

令,B A 分别表示资产A,B 的单位风险回报，则

10%

6%2.534%

2%

,

A

B

A

B

B

A

r r （6分）

由B A 可知,资产

B 每单位风险获得的回报大于资产A 每单位风险所获得的回

报，因此，更愿意持有资产B.

（2分）

四、应用题（共15分） 解：应用证券市场线方程

12

()()

cov(,)()

M I M M E X r

E X r

X X X （3分）

0.200.10

0.10

0.045

0.150.09

（2分）

即普通股所需的收益率为15%，这就意味着市场将以15%的贴现[(1)]I E V ，以确定股票在0期的市场价格，于是我们有

1

3

[(1)]

1000800850$44

I E V （4分）

((1))/100

8.507.391 1.15

I E V P r （6分）

五、计算题（第1题20分，第2题15分，共35分） 1.解：股票的价格二叉树模型为：

05350

,10%,1/6148

u f d q S S r q

S τ====-= （2分）

第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q .

由无套利原理知：

0.11/6

505348(1)e

q q

从 50(11/60)5348(1)q q

我们得到 17/6

53485q q q

所以 3.4/6q

（3分）

第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均.

(1)

执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模

型为：

410

u d q C C q

C =-=

看涨期权的价格为：

1

13.6/6136[4(1)0]

2.2361/60

61/6061

C q q （美元）（5分）

(2) 执行价格K=49美元的看跌期权的二叉树模型为：

011

u d q C P q

C =-=

所以看跌期权的价格为：

60

60 2.6[0(1)1]

0.42661

616

P q q （美元）

（5分） （3）r P S C Ke τ

-+=+，0.4265050.426,P S +=+=

0.11/602.2349 2.234960/6150.426r C Ke e τ--?+=+?=+?=

（5分）

2.解：050, 1.06,0.95,5%,1/4,2,51f S u d r n K τ======= （2分） 股票价格的两期二叉树模型为：

2000002056.1853

150.35

50

147.5

145.125

q

u S

q

uS q udS S q

q

dS q

d S ==-==-=-= （3分）

风险中性概率0.121/40.95

0.5681.10.9

?-=

=-e q （3分）

股票A 的执行价格51$K U D =，有效期为6个月的欧式看跌期权的两期二叉树模

型为：

000.277

10.65

1.38

1 2.871

1 5.875

uu u ud d dd q P q B

P q

P P q

q

C

P q

P ==-==-=-= （3分）

由无套利原理知：

020.050.252

2

2

(2)

()

(0.568

020.5680.4320.650.432

5.875) 1.38

r n

P e E P e

（4分）