保险精算学-利息理论基础

一年的贴现率简化表示为d, 有
d A(1) A(0) a(1) 1
A(1)
a(1)
第n年的贴现率为
A(n) A(n 1) a(n) a(n 1)
dn
A(n)
a(n)
实际贴现率d：
使积累值为一个单位，须在一个度量周期期初支 付的利息。
解释：为了在时间1能得到1元的返还，投资人必 须在时间0投入（1-d）元资金。这就相当于单 位时间后到期的1元钱，在单位时间里产生的利 息是d。d 即为单位时间的实际贴现率。
m
1
d
m
在单利下由于利率只在本金上记息，所以 没有名义利率和实际利率的区别。
(7) 利息力
利息强度
这是利息力的又一表达方式。
在下面的讨论中，如果不作特别的说明， 我们总是考虑离散的时间周期，通常以一 年为单位，多年的资金运行按复利计算.
1
1 i(4) 4
1
i (4)
2
设在0到t时刻，利率i可以变动，如第一个时间段 i=i1,第二个时间段 i=i2….. 如下图所示：
本金 1
利率 i1
i2
i3
时间t 0 1
2
3 ……..
it t-1 t
(1) 单利计算 (利息不计息) 累积函数: a(t)=1+i1+i2+……+it
(2) 复利计算 (利息也计息) 累积函数: a(t)=(1+i1)(1+i2)(1+i3)……(1+it)
按照利息转换频率划分
1. 一年转换一次：实质利率 （实质贴现率） 2. 一年转换 m 次：名义利率 （名义贴现率） 3. 连续计息（一年转换无穷次）：利息效力
三、 利息理论基础
本 金：每项业务开始时投资的金额。
积 累 值：过了一定时间再回收的总金额。
利 息：积累值减去本金。
积累函数：在时刻 0 时投资 1 单位本金在时刻 t 的积累值，用 a(t) 表示;
金额。
终值=本金+利息 A=S+I
影响利息大小的三要素：
本金金额 利率 投资时间
二、利息的度量
按照计息时刻划分：
1. 期末计息：利率 2. 期初计息：贴现率
按照积累方式划分
1. 线性积累 （1）单利计息 （2）单贴现计息 2. 指数积累 （1）复利计息 （2）复贴现计息
二、利息的度量
一、利息问题求解四要素
原始投资本金 投资时期长度 利率及计息方式
期初/期末计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息转换时期：实质利率、名义利率、利
息效力 本金在投资期末的积累值
二、利息问题求解原则
本质：任何一个有关利息问题的求解本质都 是对四要素知三求一的问题
工具：现金流图
第一次结算结果：1×(1+0.05) = 1.05元， 第二次结算结果：1.05× (1+0.05) =1.1025元， 一年的利息额：1.1025 -1= 0.1025元， 实际的年利率：10.25%.
名义利率 i(m与) 实际利率i
1
i(m)
m
1
i
m
1
1 i(4)
1
i(4)
4
1
i (4)
3
4
1
i (4)
4
4
1 利息
i
1
i(m)
m
1 i
m
1
d (m)
m
1 d
m
1
d (4)
4
4
1
d (4)
3
4
1
d (4)
2
4
1 i
贴现
d (4) 1
1
4
1d
d
1
五种利息支付方式：
时间 0
1/p 2/p 3/p
(p-1)/p 1
d
为贴现因子，记为： ，故有 1 1 i
单利与复利的现值（多个度量周期）
t年现值: 我们把现在1单位元在t年前的值或者未来 t年1单位元在现在的值称为t年的现值。
1/a(t)
1
a(t)
-t
0
t
现值
本金
累积值
1单位本金经过t年后成为 a(t;) 那么 1单位累计值在t年前的值便为 a1(。t)
1 1 ti
d(p)/p
d(p)/p d(p)/p …………
d(p)/p
i(p)/p i(p)/p i(p)/p …………
i(p)/p i
例
1、确定500元以季度转换8%年利率投资5 年的积累值。
2、如以6%年利，按半年为期预付及转换， 到第6年末支付1000元，求其现时值。
3、确定季度转换的名义利率，使其等于 月度转换6%名义贴现率。
如果此人不是以年实际利率5%而是以年实际 贴现率5%向银行借100元，为期1年，则银行 将预收5%(即5元)的利息，而仅付给借款人
95 元。一年后，该借款人将还给银行100元。
单位时间以年度衡量时，称为实际贴现率。
实际贴现率为该年内得到的利息金额与此年末的累计 金额之比。简称为贴现率。第n年的贴现率记为dn 。
答案
A(0) 1000, A(1) 1020, A(32 ) 1050
I1 A(1) A(0) 20
I 2 A(23) A(21 ) 30
i1
I1 A(0)
20 1000
2%
d1
I1 A(1)
20 1020
1.96%
i2
I2 A(1)
30 1020
2.94%
d2
人身保险精算
本课程研究以单个被保险人为承保对 象，以被保险人的生、死为保险事故的单 个被保险人型人身保险的精算方法。
课程结构
基础 利息理论基础 生命表基础
核心 保费计算 责任准备金计算
拓展 特殊年金与寿险 资产份额
第 1 章 利息理论基础
利息的度量 利息问题求解的原则 年金 收益率
它相当于资金投资在期初的预付利息。 贴现和利息的区别在于分析的出发点不同：
利息是在本金基础上的增加额，而贴现则是在累 积额基础上的减少。它相当于利率在每一利息 计算期的起点时刻被记入。
某人以年利率5%向银行借100元，则银行 将付给借款人100元。1年后，该借款人将 还给银行贷款本金100元，外加5元的利息， 共计105元。
设 a(t) = at2+b,且 A(0)=100, A(3)=370, 求
A(5) = 100 时的 A(10).
实际利率
某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与
此度量期开始时投入的本金金额之比。实际利率通常用字母i
表示。
A(1) A(0) I
i
A(0)
A(0)
对于多个度量期的情形, 可以分别定义各个度量期的实际 利率。用 in表示从投资日算起第n个度量期的实际利率，则
例1.6答案
d A(1) A(0) A(1)
a(1) 1 a(1)
1 i 1 1 i
i 1 i
1d
1 i 1 i
1 1 i
(1-d)t -t
1-d
1
1 1 d
-1
0
1
复利下的现值和累计值
1 (1 d )t
t
金额 时间
例 实质利率/贴现率
某人存1000元进入银行，第1年末存款余 额为1020元，第2年存款余额为1050元， 求: i1、i2、d1、d2 分别等于多少？
I2 A(2)
30 2.86% 1050
例
已知某投资在一年中能得到的利息金额是420元， 而等价的贴现金额是300元，求本金。
实际利率和实际贴现率都是用来度量利息的。 实际利率6%并不等于实际贴现率6%。然而， 在实际利率和实际贴现率之间存在着一个确定 的关系。
若对给定的投资金额，在同样长的时期内，它 们产生同样的积累值，则称这两个“率”是 “等价”的。
金额函数: 在时刻 0 时投资 C 单位本金在时刻t 时的积累值，用 A(t) 表示。
源自文库
积累函数
a(t)
金额函数
A(t )
本金
终值
1---------------------------a(t) C---------------------------A(t)
0
t
A(t) = C a(t)
积累函数a(t)的性质:
解
设本金为A, 则Ai=420, Ad=300, 所以 i/d=1.4, 即 1+i=1.4, i=0.4
从而得 A=420/0.4=1050元，即投资 的本金为1050元。
实际利率与实际贴现率
初始值
利息
积累值
1
i
1 i
v
d
1
v 1 d （1 i）1
（4）名义利率
实际利率（贴现率） “实际”：指利息在每个度量期（期末或期中）支付 一次。
1 1 2i
-t … -2
单利下的现值和累计值
1 1 i
1
1 i 1 2i 1 ti
金额
-1
0
1
2 …t
时间
1
1 i t
1
1 i2
复利下的现值和累计值
1 1 i
1
1 i 1 i2 1 it 金额
-t … -2
-1
0
1
2 …t
时间
积累函数 a(t)
金额函数 A(t )
贴现函数 a 1 (t )
第一节
利息的度量
一、利息的定义
定义1
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失。
定义2：
本金: 每项业务开始时投资的金额。 终值: 业务开始一定时间后回收到的总金额称为
该时刻的终值(或累计值)。 利息: 累计值与本金的差额就是这一时期的利息
时间（年） 各年实际利率 时间（年） 各年实际利率
0-2
2%
5-6
3%
2-5
4%
3.现值 （Present Value）
单利与复利的现值（单个度量周期）
已知：本金为1的投资在一个度量周期期末将会有 1+i 积累值，1+i 称为累积因子。
反之：为使一个度量周期期末的积累值为1，在期 初投资的本金金额须是(1+i)-1 ，把 (1+i)-1 称
现金流 p0
p1
时间坐标 0 t1
p2
pn
t2
tn
方法：建立现金流分析方程（等值方程）
原则：在任意时间参照点，等值方程等号两 边现时值相等。
例：求本金
某人为了能在第7年末得到1万元款项，他 愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4 千元，第8年末付出X元，如果以6%的年 利率复利计息，问X=？
第n期利息
I (n)
本金
终值
1------------------------------ a(t)
K------------------------------ A(t)
a1(t) -----------------------------1
0
t
I (n) A(n) A(n 1)
贴现额
如果应在将来某个时期支付的金额提前到现在 来支付，则支付额中应扣除一部分金额，这个 扣除额称为贴现额。
in
A(n) A(n 1) A(n 1)
In , A(n 1)
n 1,n为整数
利息率: 单位本金在单位时间内所孳生的利息。
2. 单利与复利(对多个利息周期而言)
单利的计算： 只有本金计息，利息不计息的计息方式。
复利的计算： 本周期的利息由上周期的本利和产生，也就 是利息也将产生利息。
1. a(0) = 1； 2. a(t) 通常为递增函数； 3. 当利息连续产生时，a(t) 是 t 的连续函数； 4. 若 a(0) = C, 则 A(t) = C a(t).
a(t)的四种情况： 1. 线性金额函数； 2. 非线性函数； 3. 水平的积累额函数； 4. 阶梯上升的积累额函数。
例
答案
1、
P
1
i(4) 4
4n
500
1
0.08 4
20
742.97
2、
A0
An
1
d (2) 2
2n
10001
0.06 12
2
693.84
3、
1
i(4) 4
4
1
d (12) 12
12
i(4)
41
0.06 3 12
1
6.0605%
第二节
利息问题求解原则
问题：如果在一个度量期中利息支付不止一次，或 多个度量期利息才支付一次，该如何刻画利率？
答案：此种情况下称相应的一个度量期的利率为 名义利率（贴现率）
(4)
（5）多次结算方式下的实际利率
问题：一年多次结算与一次结算的效果有什么区别？ 考虑如下的计算实例：
设本金为1元，按半年结算的名义利率为10%，则结算利 率 = 10% / 2 = 5%.
2
1
i(4)
3
1
i(4)
4
4
4
4
4
0
第1季度
第2季度
第3季度
1年
1
i
1i
实际利率
（6）名义贴现率与实际贴现率
名义贴现率 d(m)
1
d (4)
4
4
1
d (4)
3
4
1
d (4)
2
4
d (4) 1
4
1
1年
第3季度
第2季度
第1季度
0
1d
d
1
1
d (m)
等利率情况下
单利 累积函数: a(t) = 1+i t 金额函数：A(t) = A(0) (1+ i t) = A(0) a(t)
复利 累积函数: a(t) = (1+ i )t 金额函数：A(t) = A(0) (1+ i )t = A(0) a(t)
例
本金1000元，6年投资如下，分别按单利和复 利，求资本总额以及利息总额。