格林函数法(课堂PPT)

同理，若 f (x) 在原点附近连续，则
Vf(x)(x)dVf(0)
这一性质称为函数的选择特性。
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计算电磁学基础
(3) 点电荷的电荷密度
处于原点上的单位点电荷的密度用函数(x)表示
V(x)dVV(x)dV1
处于原点上的点电荷Q的密度可用Q(x)表示,即
(x)Q(x)
处于x’点上的点电荷Q的密度可用Q(x-x’)表示,即
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计算电磁学基础
1、点电荷密度的δ函数表示
(1)、 函数
(x)0, (x),
V(x)dV1,
(x≠0) (x = 0) (积分区域V包含x = 0点)
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. 计算电磁学基础
函数---密度函数
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(2) 函数的一个重要性质
若 f (x)在x’点附近连续，则
Vf(x)(xx)d Vf(x)
原问题
点源问题 点电荷电场
方程
uf(r)
G (r r ')
V
q(rr')/0
解
u
f(r')d' 4|rr'|
G
4
1 | rr'|
V
40
q | rr'|
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计算电磁学基础
基本思路
原问题 点源问题
u f (r ) u | 0
G(rr')
G|0
关系
f(r)
f(r')(rr')d'
输运问题
(t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0
波动问题
(tt – a2Δ) G =δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0 Gt|t=0=0
无界空间 泊松方程的 热传导方程的 波动方程的基
基本解
基本解
本解
齐次边界 泊松方程的 热传导方程的 波动方程的格
G|Γ= 0 格林函数 格林函数
• 稳定问题的格林函数 L = Δ • 热传导问题的格林函数 L = (t – a2Δ) • 波动问题的格林函数 L = (tt – a2Δ)
– 按边界条件可以分为
• 无界空间的格林函数，又称为基本解； • 齐次边界条件的格林函数。
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计算电磁学基础
稳定问题
格林函数 ΔG
= δ(r-r’)
– 当给定边界条件的Green函数比较容易求得时，利用Green函数 计算分布场源的解答常常是方便的。
– 借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决较复杂的边值问题。
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计算电磁学基础
电荷源
静态场时，位于原点的点电荷q在自由空间产生的标量电位为
q 1 qG 40r 0
式中，G 1 ，G为静态场的自由空间Green函数。
林函数
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计算电磁学基础
• 性质：
– 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) – 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) – 在相同的齐次定解条件下 – 因为： f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ – 所以： u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’
边值问题
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计算电磁学基础
格林函数法的主要特点是： 1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和
边界条件的局限）， 2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表
示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解 问题；
3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可 以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就 转换为关键是求解点源的相对简单的问题。
4r
利用格林函数，分布电荷的标量位为
1 GdV 0 V
上式表明，格林函数G将电荷与电位联系起来。 场与源
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电流源
时谐场中，位于原点的电流元Idl在自由空间产生的矢量磁位为
Id lejk A 4r
r
I
d lG
位于原点的磁流元Imdl在自由空间产生的矢量电位为
(x)Q (xx) Q (xx )0 , (x≠x’点)
Q (xx)dVQ ,(积分区域V包含x=x’点)
V
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计算电磁学基础
2、 格林函数引入
• Green函数是与理想点源相联系的。
– 具体地说，Green函数是理想点源在给定边界条件下微分方程的 解答。
• 用Green函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。
u(r) f(r')G(r,r')d'
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பைடு நூலகம்
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• 求解方法
• 稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。
A mIm d 4le rj k rIm dl G
式中 G e jkr ，G为交变场中的自由空间格林函数。 4r
利用格林函数，分布电流和磁流的矢量位为
A JGdV V
Am JmGdV V
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3、格林函数的一般概念
• 定义：纯点源产生的场
– （不计初始条件和边界条件的影响）。
计算电磁学基础
• 有源电磁场问题要求解非齐次波动方程，格林函数法 是其中一种重要的求解方法。
• 格林函数表示单位强度的点源的产生的场，是非齐次 波动方程的基本解。
• 在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布的源所产 生的场。确定论问题
• 如果源的分布是未知的，也可借助格林函数建立积分 方程，将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程， 从而有利于用数值方法对问题进行求解.
– 例子：
• ΔG = δ(r-r’)，G|Γ=0 • (t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’)， G|Γ= G|t=0=0
– 一般形式
• L G(xi) = δ(xi-xi’) • G|边界= G|初始=0
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计算电磁学基础
• 分类：
– 按泛定方程可以分为：
• 应用（求解数学物理方程的格林函数法）
– 范围：非齐次泛定方程、齐次定解条件 – 程序：先求出对应的格林函数，再积分得待求函数
格林函数是为了求解实际问题的泊松方程而找到的特殊函数， 不同的实际问题对应不同的格林函数。
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4、稳定问题的基本解
稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到
格林函数与格林定理
经典的格林函数法，又称为点源函数法或影响函 数法。
事实上，希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子 方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联 系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这 些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方 程，进而得到问题的求解。
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