PDE期末报告椭圆偏微分方程漫谈

波方程：
u x2x2 u x1x1 0
拋物：x2 - x12 0
熱方程：
u x2 u x1x1 0
橢圓：x12 x22 1
Laplace方程：u x1x1 ux2x2 0
Laplace方程
以Laplace方程而言，在n維空間中的自然推廣是
u x1x1 u x2x2 u x3x3 ...... u xnxn 0
首先從最簡單的情況，假設函數 u u(x1, x2 )
x、1 x2是變數，滿足一階方程
d ds u(x1 sa, x2 sb) aux1 bux2 0 因此，我們可以推得，在每一條直線
(x1 as, x2 bs) : - s 上，u都是常數
aux1 bux2 0 (1.1) 其中a, b為常數
稱之橢圓型
參考資料：
數學傳播： 24卷3期 民89年9月 ─陳俊全 橢圓偏微分方程漫談
數學傳播： 24卷3期 民89年9月 ─劉太平 偏微分
謝謝大家聆聽 感謝老師 THE END
(1.2)
u x1x1

2u x1x1
u x1x2

2u x1x2
u x2x2

2u x2x2
若 二次方程
a2 b 2c 0
(1.3)
有兩個實根 1及2
我們可以將(1.2) 式，改寫成
a
x1
(u x1

1u x2
)

2
x

(u x1
1u x2
Laplace(續)
他得充分必要條件是：
存在 0 使
aiji j i2
1i, jn
1in
(1.5)
對所有 (1,2 ,3........ n ) R n 都成立
把每個偏微分運算
xi
都用 i
取代，並且把
u 去掉
得到的數值若對任何 (1,.....,n ) (0,.....,0), Rn，都不會是零
PDE 期末報告─ 橢圓偏微分方程漫談
學生：楊宗翰 系級：河工三A 學號：B97520010 指導教授： 陳正宗 終身特聘教授
目錄：
偏微分方程分類 二階方程 解的不同做分類 三類型方程式 Laplace方程
P3 P4 P5 P6 P7-8
◎偏微分方程可以粗分為橢圓、拋物、 雙曲三種類型
u是這些線上的常數，則 滿足(1.1)
u x1
u x1
,
u x2

u x2
假設s為平移量，我們把它引進
可以解釋成沿 (a,b)方向的『方向微分』
u(x1 sa, x2 sb，) 則u 沿著(a,b)方向的變化率為
考慮二階方程(最高次為分為兩次)
aux1x1 bux1x 2 cu x1x2 0 其中a,b, c 為常數
aux1x1 bux1x2 cu x2x2 dux1 eu x2 f 0
他的分類是根據最高次 微分像的係數 a,b, c來分類。三類型 方程式的由來和二次曲 線
ax12 bx1x2 cx22 dx1 ex2 f 0 是一致的
三類型方程式
雙曲：x22 - x12 1
通常以 代表 2 x12

2 x22

2 x32
.......
2 xn2
這運算，稱為
Laplace算子，並將方程寫成 u 0
對於一般n 變數二階線性方程
a uij xix j biuxi cu f
1i, jn
1in
(1.4)
Fra Baidu bibliotek
當 a uij xixj 可經座標轉換而成u 時，便稱 (1.4)是個橢圓形方程
)

a( x1

2
x2
)( x1

1
x2
)u
的不同，可將方程分成三類 ，1型2
(1)當 1 2 為相異實根，即 b2 4ac 0 稱方程為雙曲型 (2)當 1 2 為實重根，即 b2 4ac 0 稱方程為拋物型 (3)當 1及2 為非實數，即 b2 4ac 0 稱方程為橢圓型