山东省栖霞市2019届高三数学模拟卷理

山东省栖霞市2019届高三数学模拟卷 理（含解析）

一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1.已知全集U =R ，集合{

}

|24,{|(1)(3)0}x

A x

B x x x =>=--<，则()U A B =I e（ ）

A. (1,2)

B. (]

1,2

C. (1,3)

D.

(,2]-∞

【答案】B 【解析】 【分析】

化简集合A,B ,根据补集，交集的运算求解即可.

【详解】由24x >可得2x >， (1)(3)0x x --<可得13x <<，所以集合

(2,),(1,3)A B =+∞=,(,2]U A =-∞e，所以()U A B =I e(]1,2，故选B.

【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，涉及指数不等式和二次不等式，属于中档题.

2.已知复数(i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2y x =上，则实数a 的值为（ ） A. 0 B. 1-

C. 1

D. 1

3

-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据复数的乘法运算，计算z ，根据对应点在在直线上可得出a .

【详解】因为(i)(1i)1(1)z a a a i =+-=++-，对应的点为(1,1)a a +-，因为点在直线

2y x =上，所以12(1)a a -=+，解得13

a =-. 故选D.

【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数对应的点，属于中档题.

3.小张刚参加工作时月工资为5000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加

工作时少200元，则目前小张的月工资为（ ）

A. 5500

B. 6000

C. 6500

D. 7000

【答案】A 【解析】 【分析】

根据条形图求得刚参加工作的

月就医费，从而求得目前的月就医费；利用折线图可知目前月

就医费占收入的10%，从而可求得月工资.

【详解】由条形图可知，刚参加工作的月就医费为：500015%750?=元 则目前的月就医费为：750200550-=元

∴目前的月工资为：55010%5500÷=元

本题正确选项：A

【点睛】本题考查利用统计图表求解数据的问题，属于基础题.

4.设,a b 均为不等于1的正实数，则“1a b >>”是“log 2log 2b a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

首先通过对数运算可判断出1a b >>时，log 2log 2b a >，得到充分条件成立；当

log 2log 2b a >时，可根据对数运算求出10b a >>>或1a b >>或01b a <<<，得到必要

条件不成立，从而可得结果.

【详解】由1a b >>，可得：lg lg 0a b >>，则

lg 2lg 2

lg lg a b

<，即log 2log 2b a >

可知“1a b >>”是“log 2log 2b a >”的充分条件 由log 2log 2b a >可知

lg 2lg 2lg lg a b <，则11lg lg 0lg lg lg lg b a

a b a b

--=< lg lg 0lg lg 0b a a b ->?∴?

lg lg 0b a a b -?

10b a ∴>>>或1a b >>或01b a <<<

可知“1a b >>”是“log 2log 2b a >”的不必要条件

综上所述：“1a b >>”是“log 2log 2b a >”的充分不必要条件 本题正确选项：A

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，关键是能够通过对数运算来进行判断. 5.若2

sin 43

πα??+=

???，则sin 2α=（ ） A.

19 B. 19

-

C.

59

D. 59

-

【答案】B 【解析】 【分析】 根

据

诱导

公式

及

角之

间

的

关

系

，

2242

ππαα??+=+ ???，

2))si c 2n 2cos(os 2(4

ππ

ααα-==+-+，可利用余弦的二倍角公式求解.

【详解】因为241212sin 124499cos ππαα????+=-+=-?= ? ?

????

， 又2))si c 2n 2cos(

os 2(4

π

π

ααα-==+-+，

所以1sin 29

α=-，故选B. 【点睛】本题主要考查了角变换，诱导公式，属于中档题.

6.已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()2x f x =，则

20192f ??-= ???

（ ）

A. 2

B.

【答案】B 【解析】 【分析】

由()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，可推导出周期为4，而

20192f ??-= ???20192f ??= ???

(4252 1.5)(1.5)f f ?+=，即可计算.

【详解】因为(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+，即

()(4)f x f x =-，又()f x 为偶函数，所以()()(4)f x f x f x =-=+，所以函数周期4T =，

所以20192f ??

-= ???20192f ??= ???

(4252 1.5)(1.5)f f ?+== B.

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.

7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如102(mod 4)≡.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i 等于

A. 4

B. 8

C. 16

D. 32

【答案】C 【解析】 初如值n=11,i=1, i=2,n=13,不满足模3余2.

i=4,n=17, 满足模3余2, 不满足模5余1. i=8,n=25, 不满足模3余2,

i=16,n=41, 满足模3余2, 满足模5余1. 输出i=16.选C 。

8.将函数()2sin 26f x x π??

=+

??

?

的图像向右平衡

6

π

个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数()g x 31 B. 函数()g x 的最小正周期为π

C. 函数()g x 的图象关于直线3

x π

=对称

D. 函数()g x 在区间2,63ππ???

???

上单调递增 【答案】D 【解析】

【分析】

根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果. 【详解】函数()f x 向右平移

6π个单位长度得：2sin 22sin 2666x x πππ?????

?-+=- ? ????

????? 横坐标伸长到原来的2倍得：()2sin 6g x x π??=- ???

()g x 最大值为2，可知A 错误； ()g x 最小正周期为2π，可知B 错误；

3

x π

=

时，6

6

x π

π

-

=

，则3

x π

=

不是()g x 的对称轴，可知C 错误；

当2,63x ππ??

∈????时，0,62

x ππ??-∈???

?

，此时()g x 单调递增，可知D 正确.

本题正确选项：D

【点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.

9.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>与抛物线2y x =在第一象限交于点P ，若抛物线2y x

=在点P 处的切线过双曲线的左焦点(4,0)F -，则双曲线的离心率为（ ）

A. 2

B. 4

D.

1

4

【答案】D 【解析】 【分析】 设2

(,)P m

m ，求函数导数，利用导数的几何意义及切线斜率公式建立方程关系求出2m =，

根据双曲线的定义求出,a c 即可.

【详解】设

2(,)

P m m , 左焦点(4,0)F -,抛物线在第一象限对应的函数为

()(0)f x x x =>，

函数的导数1()2f x x

'=

，则在P 处的切线斜率2

2

11()22k f m m

m '==

=

， 又切线过焦点，所以

2

1

42m m m

=+，解得2m =，则 (4,2)P ，设右焦点坐标为(4,0)A ， 则2||||6842(171)a PF PA =-=

-=-，即171a =-，

所以171

4

c e a +=

=

，故选D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，双曲线的定义、离心率，属于中档题.

10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）

A. 2

B. 3

C. 5

D. 22

【答案】C 【解析】 【分析】

由三视图可知该棱锥的一条侧棱垂直底面，且高为2，由三视图所给数据可知相邻的两个侧面是全等的等腰直角三角形，其外接圆圆心为斜边中点，故可找到球心，且球心到底面距离为1，由正弦定理求底面外接圆半径，利用22R d r =+即可求解. 【详解】由三视图可知三棱锥的直观图如图：

由三视图可知底面三角形是边长为2，顶角120?的三角形，所以外接圆半径可由正弦定理得；2

24sin30r =

=?

，

由侧面为两等腰直角三角形，可确定出外接圆圆心，利用球的几何性质可确定出球心，且球

心到底面的距离1d =，所以球半径R == C.

【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球，球的截面圆的性质，三视图，属于中档题.

11.设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）

A. (0,4)

B. (2,

C. D. 4)

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意可得022A π

<<

且

32A π

π<<,解得A 的范围，可得cos A 的范围，由正弦定理求

得由正弦定理可求得1

2cos 2

b b A a ==,根据cos A 的范围确定出b 范围即可.

【详解】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，

∴ 022

A π

<<，3A B A +=,

32

A π

π∴<< 6

3

A π

π

∴

<<

，04

A π

<<

cos 22

A ∴

<<

2,2a B A ==Q ,

由正弦定理得

1

2cos 2

b b A a ==，即4cos b A =

4cos A ∴<

则b 的取值范围为,故选C.

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦函数的性质，属于中档题.解题关键是根据三角形为锐角三角形，求出角A 的取值范围.

12.已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有

2()

e ()

x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )

A. 20,3

??????

B. 2,03

??-????

C. [0,)+∞

D.

(,0]-∞

【答案】B 【解析】 【分析】

先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.

【详解】令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0x

g x e f x f x ''=+>，

又()()()()x

x g x e

f x e f x

g x --=-==，所以()g x 为偶函数，

从而()()211a

e f a f a +≥+等价于21

1(21)(1),(21)(1)a a e

f a e f a

g a g a +++≥++≥+， 因此2

2

(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3

g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-

≤≤选B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.

二、填空题. 13.()

5

212x x +-展开式中的6x 的系数为_______

【答案】30 【解析】 【分析】

利用组合知识，5个212x x +-相乘，其中含6x 的项，可以5个括号中3个取22x -，剩余2个取1，也可以2个取22x -剩余的3个括号中选2个取x ，剩余1个取1，还可以5个括

号选一个取22x -，剩余4个取x ，这3项的系数和即为所求.

【详解】利用组合知识，含6x 的项可以分3种情况取得，第一种取3个22x -，剩余两个取1，即3

23

5(2)C x

- .第二种选2个括号提供22x -，剩余的3个括号中选2个取x ，剩余1个

取1，即222

2253(2)C x

C x -，第三种5个括号选一个取22x -，剩余4个取x ，即1244

54(2)C x C x -，

合并同类项，系数为80+1201030--=，故填30.

【点睛】本题主要考查了含三项的二项式展开式问题，利用组合知识解决比较简单，属于中档题.

14.若向量(2,),(2,1)a x b ==-不共线，且()()+⊥-a b a b ，则?=a b ______ 【答案】3- 【解析】 【分析】

先计算+a b ，-a b 的坐标，根据向量垂直，可知向量的数量积等于0，即可求出. 【详解】因为+a b =(0,x +1), -a b =(4,x -1)，且()()+⊥-a b a b ， 所以04+(1)(1)0x x ?+-=，解得1x =或1x =-，

因为 向量(2,),(2,1)a x b ==-不共线，所以1x =-不成立， 所以2(2)113?=?-+?=-a b ，故填3-.

【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的垂直，向量的数量积运算，属于中档题.

15.已知实数,x y 满足约束条件20

20x y x y x a +-≥??

-+≥??≤?

，若2(0)z ax y a =->的最大值为1-，则实

数a 的值是______ 【答案】1 【解析】 【分析】

作出可行域，当22a z y x =-在y 轴上的截距越小时，z 越大，平移2

a

y x =，观察图象即可求解.

【详解】作出可行域如图：

由2(0)z ax y a =->可得22

a z y x =-， 平移直线2

a

y x =

，当直线过点A 时，z 有最大值1-， 由20

x y x a +-=??

=?

得(,2)A a a -

2max 2(2)1z a a =--=-，解得1a = 或3a =-（舍去），故填1.

【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，属于中档题.

16.如图，在四面体ABCD 中，3,34AB CD AD BD AC BC ======，，用平行于

,AB CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则该四边形EFGH 面积的最大值

为______

【答案】

9

4

【解析】 【分析】

根据线面平行的性质可知//,//,//,//GH AB EF AB GF CD EH CD ,因为

34AD BD AC BC ====，，故AB CD ⊥,所以四边形为矩形，设

:::,(01)BF BD BG BC FG CD x x ===≤≤，建立二次函数关系求解四边形面积的最大

值.

【详解】因为直线AB//平面EFGH ，且平面ABC 交平面EFGH 于HG ,所以HG//AB ，同理

//EF AB ， //,//GF CD EH CD ，

所以四边形EFGH

平行四边形

又34AD BD AC BC ====，，可证明AB CD ⊥ 所以四边形EFGH 为矩形.

设:::,(01)BF BD BG BC FG CD x x ===≤≤，

3,3(1)FG x HG x ==-

2119(1)9[()]24EFGH S FG HG x x x =?=-=--+ ，当1

2

x =时，有最大值94.

故填94

.

【点睛】本题主要考查了四面体ABCD 中的对称性来证明四边形是矩形，线面平行的性质，二次函数求最值，属于难题.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列{}n a 满足32421,7a a a =-=，等比数列{}n b 满足()35242b b b b +=+，且(

)

2

*

22n n b b n =∈N .

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n c 满足

()*12

12n n n

c c c S n b b b ++?+=∈N ，求{}n c 的前n 项和为n

T

.

【答案】(1) 21n a n =-，12n n b -= (2) n T (23)23n n =-+.

【解析】 【分析】

(1) 根据等差数列等比数列的通项公式列方程组求解即可； (2) 由等差数列求出2

n S n =，

求出1(21)2n n

c n -=-，利用错位相减法可以求和.

【详解】（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则有1122()1a d a d +=+-，137a d +=， 解得1a 1,d 2==所以21n a n =-，

设11n n

b b q -=，由已知35242()b b b b +=+，可得2q =，

由222n n b b =可得，21

12112

2(2)n n b b --=，可得11b =，所以12n n b -=，

（2）由（1）知，2(211)

2

n n n S n -+=

=，

所以2

1212n n c c c n b b b +++=L ，2112121

(1)(2)n n c c c n n b b b --+++=-≥L ， 两式相减可得，21n

n

c n b =-， 当1n =时，1

1c =满足上式，所以1(21)2n n c n -=-，

0111232(21)2n n T n -=?+?++-L ，1221232(21)2n n T n =?+?++-L

两式相减可得，2122(21)2n n

n T n -=+++--L

212(12)1(21)212n n n --=+---

(32)23n n =--

所以n T (23)23n

n =-+.

【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的通项公式，等差数列的求和公式，错位相减法，属于中档题.

18.如图，在三棱锥V ABC -中，,90,2VC AB ABC AB BC ?

<∠===，侧面ACV ⊥底面ABC ，45ACV ?∠=，D 为线段AB 上一点，且满足AD CV =.

（1）若E 为AC 的

中点，求证：BE CV ⊥；

（2）当DV 最小时，求二面角A BC V --的余弦值. 【答案】(1)见证明；(2) 3

【解析】 【分析】

(1)根据中点可得BE AC ⊥ ，再根据面面垂直的性质定理得BE ⊥面ACV ，即可证明结论(2) 以B 为坐标原点，分别以射线,BC BA 和垂直于面ABC 向上的方向为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系-B xyz ，求出两个半平面的法向量，利用公式求其夹角余弦即可. 【详解】（1）在ABC ?，因为90ABC ∠=o ,AB BC =，

E 为AC 的中点，所以BE AC ⊥，

因为面ACV ⊥面ABC ，面ACV I 面ABC AC =，所以BE ⊥面ACV ，

又VC ?面ACV ，BE VC ⊥

（2）以B 为坐标原点，分别以射线,BC BA 和垂直于面ABC 向上的方向为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系-B xyz ，

设BD t =，则有(0,0,0),(2,0,0),(0,,0)B C D t ，因为侧面ACV ⊥底面ABC ，

45ACV ∠=o ，

所以(1,1222

t t V +

-， 所以2

22

232(1)(1)()3442

22

t

t t DV t t -=++-

+=-+

当2

(0,2)3

t =

∈时，DV 最小， 此时2(0,

,0)3D

，42(,,333

V

，42(2,0,0),(,,333BC BV ==u u u r u u u r 设(,,)x y z =n 为平面VBC 的一个法向量，则有0,0BC BV ==u u u r u u u r

g g n n ，

所以204203

33x x y z =?

??++=?

?

，令z =

，则(0,=-n ， 而平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，

所以cos ,3n m <>=

=， 故二面角A BC V --

【点睛】本题主要考查了线线垂直，面面垂直的性质，线面垂直的判定及性质，利用法向量求二面角，属于中档题.

19.李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据

(),(1,2,,6)i i x y i =L ，如表所示：

已知6

1

1606i i y y ===∑.

（1）若变量,x y 具有线性相关关系，求产品销量y （百件）关于试销单价x （千元）的线

性回归方程???y

bx a =+；

（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与i x 对应的产品销量的估计值μi y .当销售数据

(),i i x y 对应的残差的绝对值?1i i y y -≤时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“好数据”.现

从6个销售数据中任取3个子，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望()E ξ.

（参考公式：线性回归方程中??,b

a 的估计值分别为1

2

2

1

???,)n

i i

i n

i

i x y nxy

b a

y bx x

nx =-=-==--∑∑. 【答案】(1) ?482y

x =-+ (2)见解析 【解析】 【分析】

(1) 根据所给数据，先计算出t ，计算

1

n

i i

i x y

=∑，nx y ，

2

1

n

i

i x

=∑，2

n x 代入公式求?b

，再由??a

y bx =-求?a 即可 (2)利用回归方程计算销量的预测值，找到4个“好数据”：(3,70)、(4,65)、(5,62)、(6,59)，于是可写出ξ的所有可能取值为1,2,3，计算即可.

【详解】（1）由6

1

1606i i y y ===∑，可求得48t =，

故

1

1910n

i i

i x y

==∑，=1980nx y ，21

199n

i i x ==∑，2=181.5nx ，

代入可得1

2

21

1910198070

4199181.517.5

n

i i

i n

i i x y nx y

b

x nx

==---==

==---∑∑$，

??604 5.582a

y bx =-=+?=， 所以所求的线性回归方程为?482y

x =-+． （2）利用（1）中所求的线性回归方程?482y x =-+可得，当13x =时，μ170y =；当24x =

时，·

2

66y =；当35x =时，μ362y =；当46x =时，μ458y =；当57x =时，μ554y =；当68x =时，μ650y =．

与销售数据对比可知满足μ||1(1,2,,6)i i y y i -≤=L 的共有4个“好数据”：(3,70)、

(4,65)、(5,62)、(6,59)

于是ξ的所有可能取值为1,2,3

1242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，30

423

61

(3)5

C C P C ξ===， ∴ξ 的分布列为：

所以131

1232555

E ξ=?

+?+?=． 【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法，运用，离散型随机变量的分布列、期望，属于中档题.

20.已知抛物线2

16y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆2

2

(4)16x y -+=于

,,,A C D B （自上而下顺次）四点.

（1）求证：||||AC BD ?为定值； （2）求||||AB AF ?的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】 【分析】

（1）设直线l 的方程为4x my =+,1122(,),(,)A x y B x y ，联立抛物线可得1216y y m +=，

1264y y =-，结合抛物线定义可得112||4,||42

p

AF x x BF x =+=+=+,故12||||AC BD x x ?=化为纵坐标即可证出.

（2）根据12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，1216x x =,化

2111

64

||||1248AB AF x x x ?=++

+，利用导数求最小值即可. 【详解】（1）有题意可知，(4,0)F

可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y

联立直线和抛物线方程2164

y x x my ?=?=+?，消x 可得216640y my --=，

所以1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义可知，112||4,||42

p

AF x x BF x =+

=+=+， 又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，

所以22

2

1212264||||(||4)(||4)16161616

y y AC BD AF BF x x ?=--==?==，

所以||||AC BD ?为定值16.

（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，

212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ?=+++=++++，

由1216x x =，可得21

16x x =

， 所以2

111

64

||||1248AB AF x x x ?=++

+（其中1>0x ）， 令2

64()1248f x x x x =+++，2

22

642(2)(4)()212x x f x x x x -+'=+-=， 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ?的最小值为108.

【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，利用导数求函数最值，定值问题，属于难题.解决此类性问题，一般要联立方程组，根据根与系数的关系得到两个

交点坐标之间的关系，特别注意涉及抛物线时，要主动考虑抛物线定义的使用.

21.设函数()ln e x

f x x x a =-，其中a ∈R ，e 是自然对数的底数. （1）若()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，求a 的取值范围；

（2）若22

e

a ≥，证明：()0f x <. 【答案】(1) 1

0a e

<< (2)见证明

【解析】 【分析】

（1）()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点等价于()0f x '=在(0,)+∞有两个根，分离参数

ln 1

e x x a +=

，分析函数ln 1()x

x g x e

+=的单调性及极值，即可得出a 取值； 范围.（2）()0f x <即ln e 0x

x x a -<，等价于e ln 0x a x x -<,令e ()ln x

a F x x x

=-

，利用导数求函数的最值，证明最大值小于0即可.

【详解】（1）由题意可知，0x >，()ln 10x

f x x ae +-'==， ()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点等价于()0f x '=在(0,)+∞有两个根，

由ln 1e 0x x a +-=可得，ln 1

e x x a +=

，令ln 1()x

x g x e +=，

则1

ln 1

()x

x x g x e --'=，令

1()ln 1h x x x

=--， 可得211

()h x x x

'=--，当0x >时，()0h x '<，

所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0h =， 当(0,1)x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减；

所以1x =是()g x 的极大值也是最大值，又当0,()x g x →→-∞，当,()x g x →+∞ 大于0趋向于0，

要使()0f x '=在(0,)+∞有两个根，只需0(1)a g <<，

所以a 的取值范围为10a e

<<

； （2）证明：()0f x <即ln e 0x

x x a -<，等价于e ln 0x

a x x -<，

令e ()ln x

a F x x x

=-,22

1(1)()x x x ae x ae x a x e F x x x x ---'=-=， 当01x <≤时，()0F x '>，单调递增，所以()(1)0F x F ae ≤=-<， 当1x >时，2(1)()[](1)x a x x F x e x a x -'=-

--，令()(1)

x x G x e a x =--， 21()0(1)x

G x e a x '=+>-，又222

222(2)0()ae G e a a a e -=-=≥≥Q ，

取(1,2)m ∈，且使2

(1)m e a m >-，即2211

ae m ae <<-，

则有22()0(1)

m

m

G m e e e a m =-

<-=-，

因为()(2)0G m G <，故G()x 存在唯一零点0(1,2)x ∈， 即()F x 有唯一的极值点且为极小值点0(1,2)x ∈，

由0G()=0x 可得，0

00(1)x x e a x =

-，故00

01

()ln 1

F x x x =--， 因为020011

()01F x x x '=

+>-（）

，故0()F x 为(1,2)上的增函数， 所以2

0()(2)ln 2ln 2102

ae F x F <=-≤-<22()a e ≥Q ，所以3—4x x ．

综上，当22

a e

≥

时，总有()0f x <． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，证明不等式，属于难题.解决此类问题，注意条件的恰当转化，转化后一般要利用导数研究新函数的极值最值，在研究过程中往往需要二次求导.

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]