微分方程定义

概念:微分方程、常微分方程、常微分方程、偏微分方程、阶、解、通解、特解、奇解、定解条件、初值条件

微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程

常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.

偏微分方程：未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程

阶:微分方程中,未知函数的最高阶导数(或微分)的阶数

解:如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等,则称此函数为该方程的解

通解(general solution):如果微分方程的解所包含独立的任意常数的个数等于方程的阶数,则称此解为方程的通解.（通解并不一定包含方程所有的解）

特解(particular solution)：微分方程任一确定的解

奇解：不包含在通解中的解

定解条件：用来确定微分方程特解的条件。（微分方程一般具有无数个解，为了确定微分方程的一个特解，必须给出这个解所满足的条件。）

初值条件：如果定解条件是由系统在初始时刻所处的状态给出，则也称这种定解条件为初值条件。

In general,a differential equation is an equation that contains an unknown function and one or more of its derivatives.

The order of a differential equation is the order of the highest derivative that occurs in the equation.

A function f is called a solution of a differential equation if the equation is satisfied when y=f(x) and its derivatives are substituded into the equation.

An nth-order equation has an nth-parameter family of solution.

A separable equation is a first-order differential equation in which the expression for dy/dx can be factored as a function of x times a funtion of y. In other words,it can be written in the form dy/dx=g(x)f(y) Homogeneous Equations:The first-order differential equation is homogeous if it can be put in the form y′=f(y/x)(x≠0)

A first-order linear differential equation is one that can be put into the form dy/dx+P(x)y=Q(x)

To solve the linear differential equation y′+P(x)y=Q(x),multiply both sides by the intergrating factor I(x)=e dx x p)(and integrate both sides.

微分方程的基础知识及解析解

微分方程的基础知识与练习（一）微分方程基本概念：首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。解设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1）同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）其中C 是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得 1=C ，由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4）（2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5）此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7）再积分一次得

2122.0C t C t s ++-= （8）其中21,C C 都是任意常数。把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10）在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 1．微分方程的概念一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。一般地，n 阶微分方程的形式是 ()(,,',...,)0,n F x y y y = （11）其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程

常微分方程基本概念习题附解答

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3

微分方程解的概念和定解条件

(), y x I n ?=设函数在区间上有阶连微分方程的解续导数I 如果在区间上，() ()(,,,,)0n x F x y y y I ?'= 则称函数是微分方程在区间上的解.0'≡()(,(),(),,()) n F x x x x ???， () (,,,,)0n F x y y y '= 将其代入微分方程中，

这样的解称作微分方程若微分方程的解中含有任意微分常数方程的通解，且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同，的通解. 6. y x ''=二阶微分方程例13 1y x C =+显然是方程的解,但是不是（1）通解呢？ 312y x C C =++那是不（2）是通解呢？ 312y x C C =++3123y x C x C =++（）312. x C C C C =+=+，其中是方程的通解.

微分方程的通解不一定是该方程注：的全部解. 2. yy xy '=例一阶微分方程20y y ≠方程等式两边解时，同除以当得 2 y x C =+同时不定积分得，是原方程的通解. 2y x '=， 0y =但显然也是原方程的解.

确定微分方程通解中任意常数值的定解条件或初条件称为始条件. 不含有任何任意常数的解称为微分微方分方程的特解程的特解.000,.a t s v v ===设质点以匀加速度作直线运动，且时，例3(). s t s s t =求质点的运动位移与时间的关系由二阶导数的解物理意义知 2 02(0)0,(0).d s a s s v dt '=== ，且

2121()2 s t at C t C =++解得通解为将定解条件带入： 2(0)00 s C =?=1010()(0). s t at C s v C v ''=+=?= ，201().2 s t at v t =+故特解为

常微分方程基本知识点

常微分方程基本知识点第一章绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！（重要）例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主）（习题1，2，9题）例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）；例题：(1).经变换_____y c u os =___________后，方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后，方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。

(4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要）第三章一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题）第四章高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要）例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？（习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。

微分方程的基本概念

求函数关系是数学中的重要问题。然而，在实际中有时很难直接找出函数关系，我们所得到的仅是含有未知函数及其导数的关系式，称之为微分方程.我们的任务就是求解微分方程，找出未知函数。本章将介绍一些微分方程的基本概念和几种常用的微分方程的解法. 微分方程的基本概念下面通过几个例题来说明微分方程的基本概念. 例1 一曲线通过)2,1(点，且在该曲线上任一点),(y x 处的切线的斜率为x 2，求曲线的方程. 解由导数的几何意义可得 x dx dy 2= ① 此外，未知函数)(x y y =还应满足条件 1=x 时，2=y （或写成21==x y ） ② 在式①两端积分，得 C x y +=2 , ③ 其中C 为任意常数.将条件②代入式③中，得1=C ，于是得所求曲线的方程为 ④ 12+=x y

我们知道式③表示一族曲线，曲线族中的每一条曲线的函数代入式①中都成为恒等式，而式④仅表示是其中的一条，它是通过点()2,1的. 从以上例子中，可归纳出如下一些基本概念. （一）微分方程：含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程叫微分方程（以下简称方程）。在方程中出现的未知函数导数的最高阶数成为微分方程的阶，n 阶微分方程的一般形式为 ()(,,,,,)0n F x y y y y '''=L ⑤ 如式①为一阶微分方程.

（二）解：一个函数代入微分方程后，使其成为恒等式，则该函数称为微分方程的解. 含有任意常数，且独立的任意常数的个数和微分方程的阶数相等的解，称为微分方程的通解或一般解.不含任意常数的解叫特解. 若I x x y ∈=),(?为方程⑤的解，则有 ()[,(),(),,()]0n F x x x x φφφ'≡L ， I x ∈. 方程⑤的通解应含有n 个独立的任意常数，其通解有时用隐函数表达式 12(,,,,,)0n x y C C C Φ=L 表示. ⑥ 例如:式③为方程①的通解.

常微分方程教材

第九章微分方程一、教学目标及基本要求（1）了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。（2）掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。（3）会用降阶法解下列方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。（4）理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。（5）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。（6）会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。（7）会用微分方程解决一些简单的应用问题。二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。本章的思考题和习题解下列方程（第1-6题） 1、2)0(,)1(==+'+y x y y x 2、()[]f dx x f e e x f x x x ,)(02?+=可微 3、212 22sin 22sin 1X e y x y y x ++='?+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y 5、21)0(,1)0(,022- ='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'= 7、已知可微函数)(x f 满足 ?-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、已知)(,,1)(2 1)(10x f f x f da ax f 求可微+= ?； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成ο45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？

微分方程(习题及解答)

第十二章微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=．答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4；答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解．答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是．答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是．答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是．答： Cx y e =. 5'=的通解是．答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是．答： Cx y e x =．三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+；解：解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++=

常微分方程解

第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。 [教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点上求的近似.通常取，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步

推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截断误差，计算稳定性以及数值解的收敛性与整体误差等问题. 4.2 简单的单步法及基本概念 4.2.1 Euler法、后退Euler法与梯形法求初值问题(4.1.1)的一种最简单方法是将节点的导数用差商代替，于是(4.1.1)的方程可近似写成 (4.2.1) 从出发，由(4.2.1)求得再将代入(4.2.1)右端，得到的近似，一般写成 (4.2.2) 称为解初值问题的Euler法. Euler法的几何意义如图4-1所示.初值问题(4.1.1)的解曲线y=y(x)过点，从出发，以为斜率作一段直线，与直线交点于，显然有，再从出发，以为斜率作直线推进到上一点，其余类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线.

《常微分方程》课程大纲

《常微分方程》课程大纲一、课程简介课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。面向对象：本科二年级或以上学生教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。二、教学内容和要求常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方

向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。（二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。第二章初等积分法（4，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。（二）教学内容：１. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法３. 一阶线性微分方程（常数变易法）４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）

微分方程中的几个基础概念

微分方程中的几个基础概念微分方程—基础微分方程(Differential equation, DFQ)是一种用来描述函数与其导数之间关系的数学方程。与之前所接触初等数学代数方程的解不同，它的解不是数，而是符合方程关系的函数。微分方程的起源约在十七世纪末，为了解决自然科学发展中遇到物理及天文学问题而产生，随着微积分的诞生与在各个科学领域中的广泛应用，很多问题被归化为某类微分方程的问题。在微分方程分支中，存在很多各种各样已知类型的微分方程。实事上，提高对微分方程的理解的最好的方法之一是首先处理基本的分类系统。为什么？因为你可能永远不会遇到完全陌生的微分方程。大多数微分方程已经被解决了，因此，普遍适用的解决方法很可能已经存在。除了描述方程本身的性质外，对微分方程进行分类和识别的真正附加值来自于为跳转点提供一张导图。求解微分方程的诀窍不是创造原始解法，而是对已证明的解法进行分类和应用；有时，可能需要几步把一类方程转换为另一类等效方程，以获得可实现的广义解。最常用于描述微分方程的四个属性是： ?常微分与偏微分 ?线性与非线性 ?齐次与非齐次

?微分阶数虽然这个列表并非详尽无遗，但是它是我们学习首先要掌握的知识，通常在微分方程学期课程的前几周会进行回顾；通过快速回顾每一个类别，我们将会配备基本的入门工具包来处理常见的微分方程问题。常微分与偏微分首先，我们在自然中所发现的微分方程最常见的分类来源于从我们手边的问题中所发现的导数类型;简单地说，方程是否包含偏导数？如果不包含，那么它是一个常微分方程（, Ordinary differential equation）。如果包含，那么它是一个偏微分方程（, Partial differential equation）。常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程，其微分基于该单一的自变量，通常是时间。一个常微分方程有一组离散的（有限的）变量；它们通常是一维动力系统的模型，例如：钟摆随时间的摆动。另一方面，偏微分方程相当复杂，因为它们通常涉及多个自变量，其多种多样的偏微分方程可能基于也可能并不基于一个已知的自变量。偏微分方程常被用来描述自然界中各种各样的现象，例如：热，空间中的流体速度，或电动力学。这些似乎完全不同的物理现象被化为偏微分方程；它们在随机偏微分方程中得到推广。下面的这些例子有助于我们分辨微分方程的导数类型包括：

微分方程的基础知识与练习

微分方程的基础知识与练习（一）微分方程基本概念：首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。解设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1）同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）其中C 是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得 1=C ，由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4）（2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度 2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5）此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7）再积分一次得

2122.0C t C t s ++-= （8）其中21,C C 都是任意常数。把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10）在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020 s t == 。再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 1．微分方程的概念一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。一般地，n 阶微分方程的形式是 ()(,,',...,)0,n F x y y y = （11）其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程

一阶微分方程解的存在定理

第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。 2. 了解解的延拓定理及延拓条件。 3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。例如方程 dy dx =过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1）这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）

§1常微分方程的基本概念

第十三章常微分方程简介本章介绍微分方程的有关概念及某些简单微分方程的解法。微分方程是包含未知函数及其导数的方程。由微分方程能够求出未知函数的解析表达式，从而掌握所研究的客观现象的变化规律和发展趋势。因此，掌握这方面的知识，用之分析解决问题是非常重要的。由于在大多数情况下，微分方程很难求出初等解（即解的形式是初等函数）。那么，就需要研究解的存在理论，借助计算机求出微分方程的数值解。本章的内容，仅仅包含常微分方程的一些最初步的知识，特殊的一阶和部分二阶微分方程的初等解法；最后一节讨论微分方程的简单应用。 §1 常微分方程的基本概念像过去我们研究其他许多问题一样，首先通过具体实际例子来引入微分方程的概念。两个实例例1.1 设某一平面曲线上任意一点),(y x 处的切线斜率等于该点处横坐标x 的2倍，且曲线通过点)2,1(，求该曲线的方程。解平面上的曲线可由一元函数来表示设所求的曲线方程为)(x f y =，根据导数的几何意义，由题意得 x dx dy 2=（这是一个含未知函数)(x f y =的导数的方程）。另外，由题意，曲线通过点)2,1(，所以，所求函数)(x f y =还满足2|1==x y 。从而得到 12 (1.1)|2(1.2) x dy x dx y =ì??=?í??=??，。为了解出)(x f y =，我们只要将的两端积分，得 ?+=+==C x C x xdx y 22 2 22，我们说 C x y +=2对于任意常数C 都满足方程。再由条件，将2|1==x y 代入C x y +=2，即

C +=2121=?C 。故所求曲线的方程为12+=x y 。再看一个例子：例1.2 设质点以匀加速度a 作直线运动，且0=t 时0,0v v s ==。求质点运动的位移与时间t 的关系。解这是一个物理上的运动问题。设质点运动的位移与时间的关系为 )(t s s =。则由二阶导数的物理意义，知a t d s d =22，这是一个含有二阶导数的方程。再由题意000 |0 |t t s v v ==ì=??í ?=??，因此，)(t S S =应满足问题 22 000 (1.3)|0|(1.4)t t d s a dt s v v ==ì??=?í??==???，，。要解这个问题，我们可以将两边连续积分两次，即 1C at dt ds +=， ??++=21C dt C tdt a s ，即 2122 C t C t a s ++=，其中21,C C 为任意常数。由条件，因为0|0==t s ，代入，得02=C ；再由00|v v t ==，代入，得01v C =。故得 t v t a s 02 2 += 为所求。下面我们将通过分析这两个具体的例子，给出微分方程的一些基本概念。微分方程的基本概念总结所给出的两个具体的例子，我们看到： (1) 例的)1(式和例的)1(式都是含有未知函数的导数的等式（例1含一阶导数，例2含二阶导数）； (2) 通过积分可以解出满足这等式的函数；

微分方程及其解的定义

微分方程?什么就是微分方程?它就是怎样产生的？这就是首先要回答的问题、 300多年前,由牛顿(Newton,1６４２-1727)与莱布尼兹(Ｌｅiｂniz,1６46-17１6)所创立的微积分学,就是人类科学史上划时代的重大发现,而微积分的产生与发展,又与求解微分方程问题密切相关、这就是因为,微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求、一般地,运动规律很难全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而,运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间,通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系,我们容易捕捉到这种联系,而这种联系,用数学语言表达出来,其结果往往形成一个微分方程、一旦求出这个方程的解,其运动规律将一目了然、下面的例子,将会使您瞧到微分方程就是表达自然规律的一种最为自然的数学语言、?例１物体下落问题?设质量为m的物体,在时间t＝0时,在距地面高度为H处以初始速度v(０) =ｖ0垂直地面下落,求此物体下落时距离与时间的关系、?解如图１-１建立坐标系,设为t时刻物体的位置坐标.于就是物体下落的速度为? 加速度为? 质量为m的物体,在下落的任一时刻所受到的外力有重力mｇ与空气阻力,当速度不太大时,空气阻力可取为与速度成正比、于就是根据牛顿第二定律 F= mａ(力=质量×加速度) 可以列出方程 (·= )(1、1) 其中k> 0为阻尼系数,ｇ就是重力加速度. (1、1)式就就是一个微分方程,这里ｔ就是自变量,ｘ就是未知函数,就是未知函数对t导数、现在,我们还不会求解方程(1、1),但就是,如果考虑k=0的情形,即自由落体运动,此时方程(1、1)可化为 (１.2) 将上式对ｔ积分两次得? (1、３)?其中与就是两个独立的任意常数,它就是方程(１.2)的解. 一般说来,微分方程就就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式、如果其中的未知函数只与一个自变量有关,则称为常微分方程;如果未知函数就是两个或两个以上自变量的函数,并且在方程中出现偏导数,则称为偏微分方程、本书所介绍的都就是常微分方程,有时就简称微分方程或方程、?例如下面的方程都就是常微分方程

各种类型的微分方程及其相应解法教学文案

各种类型的微分方程及其相应解法

各种类型的微分方程及其相应解法专业班级：交土01班姓名：高云学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程（1） )(x y f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0）例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y

令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得??? ???-+--??? ??--1122 121 21 u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 21 )2ln(23 )1ln(C x u u u +=---- 整理得 .)2(1 2/3Cx u u u =-- 所求微分方程的解为 .)2()(32x y Cy x y -=- 3.一阶线性微分方程 ?+??==+-])([),()()()(C dx e x Q e y x Q y x p dx dy dx x p dx x p 其通解为例3. x y dx dy x sin 2=+， ππ1 )(=y ；解将方程改写为 x x y x dx dy sin 2=+，这里x x p 2)(=，x x x q sin )(=，故由求解公式得 )sin (1 sin 22 2 ??+=??? ????+?=-xdx x C x dx e x x C e y dx x dx x 22sin cos x x x x x C +-=. 由初值条件ππ1 )(=y ，得0=C . 所以初值问题的解为 2cos sin x x x x y -= 例4.设非负函数()f x 具有一阶导数，且满足1 200()()()x f x f t dt t f t dt =+??，求函数()f x ．解：设120()A t f t dt =?，则0()()x f x f t dt A =+?，两边对x 求导，得 ()()()x f x f x f x Ce '=?=，由已知(0)()x f A C A f x Ae =?=?= 又 11222004 ()()1t A t f t dt t Ae dt A e ==?=+??，则 24 ()1x f x e e =+

微分方程及其解的定义

微分方程什么是微分方程它是怎样产生的这是首先要回答的问题. 300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言. 例1 物体下落问题设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求此物体下落时距离与时间的关系. 解如图1-1建立坐标系，设为t时刻物体的位置坐标.于是物体下落的速度为加速度为质量为m的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律 F = ma (力=质量×加速度) 可以列出方程 (·= ）其中k ＞0为阻尼系数，g是重力加速度. 式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t导数.现在，我们还不会求解方程，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程可化为将上式对t积分两次得其中和是两个独立的任意常数，它是方程的解. 一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程.

微分方程求解

学习目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程的通解、特解及微分方程的初始条件等学习重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件学习难点：微分方程的通解概念的理解学习内容： 1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。解设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1）同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）其中C 是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得 1=C ，由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4）（2）列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足： 4.022-=dt s d （5）此外，还满足条件：

0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7）再积分一次得 2122.0C t C t s ++-= （8）其中21,C C 都是任意常数。把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10）在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 2、定义一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- 是四阶微分方程。一般地，n 阶微分方程的形式是 ,0),,',,()(=n y y y x F （11）其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而

阶线性微分方程解的结构

阶线性微分方程解的结构公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

附录A 线性常微分方程本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= （）其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（），则称其为常微分方程（）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （）当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （）

假设()y x 不恒等于零，则上式等价于而()'ln 'y y y =，从而（）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （）对于非齐次一阶线性常微分方程（），在其两端同乘以函数()d p x x e ? 注意到上面等式的左端因此有两端积分其中C 是任意常数。进一步有综上有如下结论定理假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （）其中C 是任意常数。观察（）式和（）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（）的解等于一阶线性齐次常微分方程（）的通解()d p x x Ce -?加上函数 ()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=? 。容易验证，*()y x 是方程（）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。例1 求解一阶常微分方程