第一讲 整除问题初步

例4、一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话.服务人员告诉 他，目前只有形如“1234口6口8”的号码可以申请.也就是说，在申 请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动. 王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码。请问：他申请的号 码可能是多少？
练习4、七位数22口333口能被44整除，那么这个七位数是多少?
例5 、在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最 小是多少？最大是多少？
例6、由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中， 能被11整除的最大的数是多少？
在例三中我们并不知道45的整除 特性，但是能被45整除的数也能被5 和9整除，那么只考虑5和9的整除特 性即可。
请同学们注意，虽然45等于3×15 ，但是在考虑能否被45整除时，不能 只考虑被3和15整除，你能想明白这 是为什么吗？
11
练习2、在23□的方框内先后填入3个数字，分别组成3 个三位数，使它们依次被3、4、5整除。
例1、判断下面 11 个数的整除性：23487、3568、8875、 6765、5880、7538、198954、6512、93625、864、407. (1)这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？ （2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ （3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？ （4）哪些数能被11整除？
例3、牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上.但是 记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“ 67口8口”，其中方框表 示破了的洞.牛叔叔 记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元. 着问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？
练习3、 四位数3口3口ຫໍສະໝຸດ Baidu被36整除，那么这个四位数可能是多少?
两个数如果都能被自然数。整除， 则它们的和与差也都能被a整除.
上面我们已经学习了如何 利用整除特性，解决单个数的 整除问题，下面我们再来看一 看涉及多个数的整除问题应该 如何解决。
例2、173□是一个四位数.文老师说：“我在其中的方框内先后填入 3个数字, 得到3个四位数，依次能被9、11、8整除问：文老师在方 框中先后填人的3个数字之和是多少？
练习1、在数列 3124、312、3823、45235、5289、5588、 661、7314 中哪些数能被4整除，哪些数能被3整除，哪些数能 被11整除？
如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到 的结果还能被3整除；同样的, 如果将其中能被11整除 的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除. 从中我们可以 总结出如下规律:
一、整除的定义 如果整数a除以整数b (b≠O),除得的商是整数且没有余数， 我们就说a能被b整除, 也可以说b能整除a,记作bￜa 如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可 以说b不能整除a.
二、整除的一些基本性质 1. 尾数判断法： (1)能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除. (2)話被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除. (3)能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除. 2.数字求和法 ：能被3、9整除的数的特性：各位数字之和能被3、9整除. 3.奇偶位求差法： 、 能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除. 我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左 数的第2、4、6位，……,统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇 位和”, 把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”. 下面我们来看一下如何运用这些性质.