《高等数学》函数的求导法则

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2x
cos
x2
esin
x
2
arctan
x2 1
1 esin x2 x x2 1
关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导
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内容小结
求导公式及求导法则 (见 课本）
注意: 1) (uv) uv,
u v
u v
2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .
思考与练习
3)
( loga
x )
ln ln
x a
x
1 ln
a
4)
C
v
C v v2
( C为常数 )
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例1. y x ( x3 4cos x sin1) , 解: y 1 ( x3 4cos x sin1) x (3 x2 4sin x ) 2x
y
xBaidu Nhomakorabea1
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二、反函数的求导法则
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数 , f 1( y) 在
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f
( x)
[
f
1 1 (
y)]
或 d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
7 2
7 2
sin1
2
cos1
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例2. 求证
证:
(tan
x)
sin cos
x x
sec2 x
(csc
x)
1 sin
x
(sin sin 2
x) x
cos x sin2 x
csc x cot x
类似可证: (cot x) csc2 x , (sec x) sec x tan x .
1.
1 x
x
1 x
3
4
3 4
1 x
1 4
对吗?
3 4
1 x
1 4
1 x2
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2. 设
其中(x) 在 x a 处连续,
在求 f (a) 时, 下列做法是否正确?
因 f (x) (x) (x a)(x)
故 f (a) (a)
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定理3.
在点 x 可导,
可导
复合函数
d y f (u)g(x) dx
证略
在点 在点 x 可导, 且
y f (u)
u
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推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如,
y
dy dy d u dv
u
dx d u dv dx
f (u) (v) (x)
v
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
x)
1
1 x
2
(arc
cot
x)
1
1 x
2
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2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v
(Cu) Cu ( C为常数 )
(uv) uv uv
3. 复合函数求导法则
y f (u) , u (x)
u v
uv v2
u
v
(v 0)
说明: 最基本的公式
第二节
第二章
函数的求导法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
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思路:
( 构造性定义 )
本节内容
( C ) 0
(sin x ) cos x 证明中利用了
( ln x ) 1
两个重要极限
x
求导法则
其它基本初等 函数求导公式
这两个记号含义不同
f (u) uln cos(ex )
练习: 设 y f ( f ( f (x))), 其中 f (x)可导, 求 y.
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例6. 设
解:
1 x2 1
记 arsh x ln ( x x2 1) , 则
(反双曲正弦)
(arsh x)
1 x2 1
其它反双曲函数的导数见课本
(C) 0
dy dy d u f (u) (x)
dx d u dx
(sin x) cos x
(ln x) 1
x
4. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 其它公式
且导数仍为初等函数
用求导法则推出.
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例7. y x 1 x 1 , 求 y .
x 1 x 1
初等函数求导问题
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一、四则运算求导法则
定理1. 的和、差、积、商 (除分母
为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
证明略
(v(x) 0)
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推论:
1) (C u ) C u ( C为常数 )
2) (uvw) uvw uvw uvw
3. 求下列函数的导数
解: (1) (2)
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4. 设 f (x) x (x 1)(x 2)(x 99), 求 f (0).
解: 方法1 利用导数定义.
方法2 利用求导公式.
答案： f (0) 99!
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作业
P94：2双，3单，6双，7单，8单， 10，11双
x)
1 ch 2
x
;
(ax ) ax ln a .
sh x ex ex 2
th x sh x ch x
ax ex lna
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例5. 设 解:
求 ex tan(ex )
思考: 若
存在 , 如何求 f (ln cos(ex )) 的导数?
d f f ( ln cos(ex ) ) (ln cos(ex )) dx
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例4. 求下列导数:
解: (1) (x ) (e ln x )
x1
(2) (xx ) (ex ln x ) xx (ln x 1)
(3) (sh x) ex ex ex ex ch x
2
2
说明: 类似可得
(ch x) sh x ;
(th
y
f
(x
x)
f
(x)
0,
y x
1
x y
且由反函数的连续性知 x 0 时必有y 0, 因此
f (x) lim y lim x0 x y0
1
x y
[
f
1 1( y)]
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例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 1)
类似可求得
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2) 设 y a x (a 0 , a 1) , 则 x loga y , y ( 0 , )
1 (loga y)
1
1
y ln a
y ln a
特别当 a e 时, ( ex ) ex
小结:
( arcsin x)
( arccos x)
( arctan x) (a x ) a x ln a
( arccot x) ( ex ) ex
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三、复合函数求导法则
解:
y .1 x
x2 1 例8. 设 y xaa axa aax (a 0),求 y. 解: y aa xaa 1 axa ln a axa1
aax ln a ax ln a
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例9. y esin x2 arctan x2 1 ,求 y .
解:
y
.
(cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(loga
x)
1 x ln a
(arcsin x) 1
1 x2
(ex ) ex
(ln x) 1
x
(arccos x) 1
1 x2
(arctan
sh x ex ex 2
的反函数
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例7
设
f (x)
x, ln(1
x),
x
0 ,
求f ( x).
x0
四、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数
(C) 0
(x ) x1
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x