第十一章 广义积分与含参变量的积分 复习

第十一章 广义积分与含参变量的积分
复习
§1 广义积分
1.无穷积分
(1)定义a：设函数f(x)在[a,+∞)上有定义，且对任意
f ( x)dx 存在，则称 A>a, f(x)在[a,A]上可积。若 Alim a
A
无穷积分 a f ( x)dx 收敛，并定义



a
f ( x)dx lim
区间[a, b -ε]上可积,但x→b-0时f(x)无界，我们称b为
f ( x)dx 存在，则称瑕积分 f ( x)dx 瑕点。若极限lim a 00
a
b
b
收敛，并定义

b
a
f ( x)dx lim
00 a

b
f ( x)dx ；
否则称瑕积分发散。

b
0
1 收敛， p 1, dx p x 发散 ， p 1.
区间[a+ε,b]上可积,但x→a+0时f(x)无界，我们称a为
f ( x)dx 存在，则称瑕积分 f ( x)dx 瑕点。若极限lim a 00
a
b
b
收敛，并定义

b
a
f ( x)dx lim
0 0 a

b
f ( x)dx ；
否则称瑕积分发散。
2. 瑕积分
(1)定义b：设函数f(x)在[a,b)上有定义，且f(x)在任意
并考虑无穷积分


A a

a
f ( x) g ( x)dx.
设对一切A≥a，积分
f ( x)dx 有界，即存在常数M>0使

A
a
f ( x)dx M , A a.
又设函数g(x)在[a,+ ∞)上单调且趋于零(当x→+ ∞时)，则 上述无穷积分收敛。
(5)无穷积分收敛的判别法
定理3(阿贝尔判别法):
充要条件是: 任给ε>0, 存在δ>0, 只要0< δ 1< δ , 0<
b
δ 2< δ , 便有
|
a 2
a 1
f ( x)dx | .
2. 瑕积分
(3)瑕积分的绝对收敛与条件收敛
若瑕积分

b
a
| f ( x) | dx收敛，则称瑕积分

b
a
f ( x)dx 绝对收敛；
若瑕积分
1.无穷积分
(2)无穷积分的性质
若两个无穷积分
a


a
f ( x)dx 与

a
g ( x)dx 都收敛，
则无穷积分 [k1 f ( x) k2 g ( x)]dx 也收敛，且


a
[k1 f ( x) k2 g ( x)]dx k1

a
f ( x)dx k2 g ( x)dx,
a

其中k1,k2为常数。
1.无穷积分
(3)无穷积分收敛的充要条件
柯西收敛原理:无穷积分a f ( x)dx 收敛的充要条件是: 任给ε>0,存在正数A0>a,只要A>A0, A’>A0,便有

| f ( x)dx | .
A
A'
1.无穷积分
(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义
g ( y) f y ( x, y)dx,
' a
即
b d b f ( x , y ) dx f ( x , y ) dx . y a dy a
§2 含参变量的正常积分
4.积分上下限是参变量的函数的情况
考虑参变量积分 g ( y )
若f(x,y)在

v( y)
u( y)
f ( x, y )dx


a
g ( x)dx 收敛可推出



a

f ( x)dx 也收敛；
g ( x)dx 也发散。
(2)由


a
f ( x)dx 发散可推出
a
(5)无穷积分收敛的判别法
x≥a 时，f(x)≥0， g(x) ≥0，它们在任意区间[a,b]上都可积，且
推论（比较判别法的极限形式）:设当
则有以下结论： (1)当0≤k<+∞时,若 (2)当0<k ≤ +∞时,若
定理(阿贝尔判别法):设积分

b
a
f ( x) g ( x)dx 有唯一
的瑕点a,

b
a
f ( x)dx 收敛， g(x)单调有界，则积分
收敛。

b
a
f ( x) g ( x)dx
§2 含参变量的正常积分
含参变量的积分
设u=f(x,y)是[a,b] ×[c,d]上的一个连续函数，对任意 的y∈ [c,d], y到积分值的对应
设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义，
并考虑无穷积分

A

a
f ( x) g ( x)dx.
若无穷积分 a f ( x)dx 收敛，且函数g(x)在 [a,+ ∞) 上单调有界，则无穷积分

a
f ( x) g ( x)dx 收敛。
2. 瑕积分
(1)定义a：设函数f(x)在(a,b]上有定义，且f(x)在任意
我们得出结论:


1
dx p x
当 p 1时 ,


1
1 dx 发散, p x
当p>1时积分有值


1
b 1 1 1 1 p 1 b ) dx lim p dx lim( p b p 1 b 0 x p 1 x
1 1 ( ) p 1 p 1
y y0 a
lim f ( x, y)dx f ( x, y0 )dx lim f ( x, y)dx.
a a y y0
b
b
b
§2 含参变量的正常积分
2.可积性 定理2：设二元函数f(x,y)在闭矩形域[a,b] ×[c,d]上 b 连续，则函数 g ( y) f ( x, y)dx 在区间[c,d]上可积。 a 且

b
a
a
当0<k<+∞时,两瑕积分同时收敛或同时发散。
2. 瑕积分收敛的判别法
定理(狄利克莱判别法):设积分

b
a
f ( x) g ( x)dx
有唯一的瑕点a,

b
a
f ( x)dx 是η的有界函数， g(x)
单调且当x→a时趋于零，则积分
收敛。

b
a
f ( x) g ( x)dx
2. 瑕积分收敛的判别法
A a

A
f ( x)dx ；
否则称无穷积分发散。
§1 广义积分
1.无穷积分
(1)定义b:设函数f(x)在(-∞,b]上有定义，且对任意 b f ( x)dx存在，则称 A<b, f(x)在[A,b]上可积。若 Alim A b 无穷积分 f ( x)dx 收敛，并定义

b

f ( x)dx lim
A A

b
f ( x)dx ；
否则称无穷积分发散。
§1 广义积分
1.无穷积分
(1)定义c:设函数f(x)在(-∞,+∞)上有定义，且在任意
lim f ( x)dx 同 f ( x ) dx 区间[a,b]上可积。若 blim 与 a a 0
1.无穷积分
(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义

命题:若 a | f ( x) | dx 收敛,则

A'
a
f ( x)dx 也收敛。

A'
A
f ( x )dx

A
| f ( x ) | dx .
(5)无穷积分收敛的判别法
无穷积分收敛的充要条件
引理：若f(x)是[a,+∞)上的非负可积函数，则
积分

b
a
f ( x)dx 收敛，但瑕积分
| f ( x) | dx 发散，则称瑕
a
b

b
a
f ( x)dx 条件收敛。
命题:若瑕积分

b
a
| f ( x) | dx收敛,则

b
a
f ( x)dx 也收敛。
2. 瑕积分收敛的判别法
定理4（比较判别法）:设f(x)与g(x)在(a,b]上有定义，


a
f ( x)dx 收敛的充要条件是：对一切A≥a，
A
积分 f ( x)dx 有界。 a
(5)无穷积分收敛的判别法
定理1（比较判别法）:设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义，
且当x≥X≥a时有 0≤f(x)≤g(x). 又设f(x)与g(x)在任一区间[a,b]上可积，则 (1)由
2. 瑕积分
(1)定义c：设函数f(x)在(a,b)上有定义，且f(x)在任意
区间[a+ ε, b -ε]上可积, a与b均为f(x)的瑕点。 c b f ( x)dx 与 lim f ( x)dx 都存在，则称瑕 若极限 lim a 00 00 c b 积分 f ( x)dx 收敛，并定义

即
d
c
g ( y)dy { f ( x, y)dy}dx,
a c
b
d

d
c
dy f ( x, y)dx dx f ( x, y)dy.
a a c
b
b
d
§2 含参变量的正常积分
3.可微性 定理3：设二元函数 f(x,y) 与 fy(x,y) 都在闭矩形域 b [a,b] ×[c,d]上连续，则函数 g ( y) f ( x, y)dx 在区 a 间[c,d]上可微。且 b
x a 0
推论（比较判别法的极限形式）:若f(x)与g(x)在(a,b]有定义，
lim
f ( x) k (k可以为 ), g ( x)

b
a
g ( x)dx 收敛则 g ( x)发散则 dx

b
a b
f ( x)dx 收敛； f ( x)dx 发散。
(2)当0<k≤ +∞时,若瑕积分
b
0
时存在，则称无穷积分



b
f ( x)dx 收敛，并定义
0 a a



f ( x)dx lim f ( x)dx lim f ( x)dx ；
b 0



f ( x)dx f ( x)dx

0

0
f ( x)dx.
否则称无穷积分发散。
y f ( x, y)dx
a
b
形成了[c,d]上的一个函数。
例如 : e
0
1
x2
sin xdx,


0
sin x dx x
§2 含参变量的正常积分
1.连续性 定理1：设二元函数f(x,y)在闭矩形域[a,b] ×[c,d]上 b 连续，则参变量积分 g ( y) f ( x, y)dx 在区间[c,d] a 上连续。即对任意的y0∈[c,d], 有
若


a
| f ( x) | dx 收敛，则称


a
f ( x)dx 绝对收敛；
若 a f ( x)dx 收敛，但



a
| f ( x) | dx 发散，则称

命题:若 | f ( x) | dx 收敛,则
a

a
f ( x)dx 条件收敛。 f ( x)dx 也收敛。


a
a

b
a
f ( x)dx lim
00 a

c
f ( x)dx lim
00 c

b
f ( x)dx. ；
若上述两个极限中至少有一个极限不存在，就称 b 瑕积分 a f ( x)dx 发散。
2. 瑕积分
(2)瑕积分收敛的充要条件
柯西收敛原理:以a为瑕点的瑕积分 a f ( x)dx 收敛的
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f ( x) lim k, x g ( x )


a
g ( x)dx 收敛则


a
f ( x)dx 收敛；


a
发散则 g ( x)dx


a
发散。 f ( x)dx
当0<k<+∞时,两无穷级数同时收敛或同时发散。
(5)无穷积分收敛的判别法
定理2(狄利克莱判别法):设f(x)与g(x)在[a,+∞)上有定义，
g ( y)
u( y)
f y ( x, y )dx f (v( y ), y )v ( y ) f (u ( y ), y )u ( y ).
§3 含参变量的广义积分
1.含参变量的无穷积分 (1)无穷积分点点收敛 设二元函数f(x,y)在a≤x<+∞, c≤y ≤ d上有定义。 若对任意取定的一个y, 无穷积分


a
f ( x, y)dx
都收敛，则称无穷积分在[c,d]上点点收敛。
§3 含参变量的广义积分
(2)含参变量的无穷积分
g ( y)
a
[a,b] ×[c,d]上连续,u(y),v(y) 在[c,d]上连续, 且值域包含于[a,b]之内,则g(y)在[c,d]上连续并可积。
若f(x,y)及fy(x,y)在
[a,b] ×[c,d]上均连续,u(y),v(y)在[c,d] 上可导，且值域包含于[a,b]之内,则g(y)在[c,d]上可导, 并有 ' v( y) ' '
且a是它们的瑕点。设当x∈(a,c) 属于(a,b)时有 0≤f(x)≤g(x)， 则 b b (1)由 g ( x)dx 收敛可推出 f ( x)dx 也收敛；
a
a
(2)由

b
a
f ( x)dx 发散可推出

b
a
g ( x)dx 也发散。
2. 瑕积分收敛的判别法
且f(x) ≥0，g(x) ≥0，并有 则 (1)当0≤k<+∞时,若瑕积分