利用极坐标解圆锥曲线题

利用极坐标解题

知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一

条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ

ρcos 1e ep

-=

.

其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；

当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

引论（1）若 1+cos ep

e ρθ

=

则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep

e ρθ

=

当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep

e ρθ

=

当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编

（1）二次曲线基本量之间的互求

例1.（复旦自招）确定方程10

53cos ρθ=

-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

解法一：3102

5333

1cos 1cos 55ρθθ⨯

==--

31053

e P ∴==，

2332555851015

103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 2225155(

)()882

b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25

54

长轴长，短轴长

解法二：转化为直角坐标

（2）圆锥曲线弦长问题

若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，

1、椭圆中，c

b c c a p 2

2=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.

若椭圆方程为，半焦距为，焦点

，

设过

的直线的倾斜角为

交椭圆于A 、B 两点，求弦长

。

解：连结，设，由椭圆定义得

，由余弦定理得

，

整理可得，同理可求得，则弦长

。

同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a 为长半轴，b 为短半轴，

c 为半焦距）

结论：椭圆过焦点弦长公式：

2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）

若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=

--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2

222

cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ

设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。

解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B 在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得

，由余弦定理可得

整理可得，同理，则可求得弦长

。

（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B 在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，

整理可得，则

因此焦点在x 轴的焦点弦长为

同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式

其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，为AB 的倾斜角。

3、抛物线中，θ

θπθ2

sin 2)cos(1cos 1p

p p MN =--+-=

若抛物线与过焦点的直线相交于A 、B 两点，若的倾斜角为

，求弦长|AB|？（图4）

解：过A、B两点分别向x 轴作垂线为垂足，设，，则点A 的横坐标为，点B 横坐标为

，由抛物线定义可得

即

则

同理的焦点弦长为

的焦点弦长为

，所以抛物线的焦点弦长为

例2．已知抛物线y2=2px（p>0），过其焦点且斜率为k的直线交抛物线于A，B两点，求AB长.

练习1：．过双曲线

22

x y

-1

45

=的右焦点，引倾斜角为

3

π

的直线，交双曲线与A、B两点，

求AB

｜｜

解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系

即得

5

23cos

ρ

θ

=

-12

(,),(,)

33

A B

ππ

ρρπ+

12

||

ABρρ

=+

5580

||

7

ππ

=+=

附录直角坐标系中的焦半径公式

设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，

1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；

2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，

当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2； 3、若F 是抛物线的焦点，2

p

x PF +=. 利用弦长求面积

例3．设过椭圆

116

252

2=+y x 的右焦点的弦AB=8，求三角形AOB 的面积。

练习2．（08年海南卷）过椭圆22

154

x y +=的焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于

A ，

B 两点，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积． 简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式22

2||1cos ep

AB e θ

=

-求弦长，然后利用公式B 1

|B |||sin 2

AO S A OF AFO ∆=

∠直接得出答案。 练习3．(2005年全国高考理科)已知点F 为椭圆2

212

x y +=的左焦点.过点F 的直线1l 与椭

圆交于P 、Q 两点，过F 且与1l 垂直的直线2l 交椭圆于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值和最大值.