函数的单调性与最值一轮复习课件
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知识回顾 理清教材
么就说函数 f(x)在区
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
图象 描述 自左向右看图象是 自左向右看图象是
上升的
下降的
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
(2)单调区间的定义 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是 增函数 或 减函数 ， 那么就说 函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 区间D 函数 y＝f(x)的单调区间． 叫做
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
a 跟踪训练 1 (1)已知 a>0，函数 f(x)＝x＋x (x>0)，证明：函 数 f(x)在(0， a]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数；
(1)证明 设 x1，x2 是任意两个正数，且 0<x1<x2， a a x1－x2 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x －x2＋x ＝ x1x2 (x1x2－a)． 1 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
(2)求函数 y＝ x2＋x－6的单调区间．
(2)解 令 u＝x2＋x－6，y＝ x2＋x－6可以看作有 y＝ u与 u＝x2＋x－6 的复合函数．
由 u＝x2＋x－6≥0，得 x≤－3 或 x≥2.
∵u＝x2＋x－6 在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是 增函数，而 y＝ u在(0，＋∞)上是增函数．
题型三
【例 3】
函数的单调性和最值
已知定义在区间
思维启迪 解析 思维升华
(0，＋∞)上的函数 f(x)满足 x1 f x ＝f(x1)－f(x2)，且当 x>1 2 时，f(x)<0. (1)求 f(1)的值； (2)证明： f(x)为单调递减函数； (3)若 f(3)＝－1， 求 f(x)在[2,9] 上的最小值．
a>1， 4－a>0， 2 所以可得 a a≥4－ ＋2. 2 故选 B.
基础知识
x>1， x≤1 是 R 上的单调递增函数， ( B ) B．[4,8) D．(1,8)
解析 (2) 因为 f(x)是 R 上的单调递增函数，
解得 4≤a<8，
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华
【例 1 】 讨论函数 f(x) ＝ ax (a>0)在 x∈(－1,1)上 2 x －1 的单调性．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华
【例 1 】 讨论函数 f(x) ＝ 可根据定义，先设 ax (a>0)在 x∈(－1,1)上 －1<x1<x2<1，然后作差、 2 x －1 的单调性．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
2．函数的最值 前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I， 如果存在实数 M 满足 (1)对于任意 x∈I，都 条件 有 f(x)≤M ； (2)存在 x0∈I，使得 (3)对于任意 x∈I，都 有 f(x)≥M ； . (4)存在 x0∈I，使得
又∵a>0，
∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，
的单调性．
∴f(x1)－f(x2)>0，
∴函数 f(x)在(－1,1)上为减函数．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华
利用定义法证明或判断函数单调
【例 1 】 讨论函数 f(x) ＝ 性的步骤： ax (a>0)在 x∈(－1,1)上 2 x －1 的单调性．
基础知识 题型分类
已知函数的单调性确定参数的 值或范围要注意以下两点：
①若函数在区间[a， b]上单调， 则 该函数在此区间的任意子区间上 也是单调的； ②分段函数的单调性，除注意各 段的单调性外，还要注意衔接点 的取值．
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
x－5 跟踪训练 2 (1)函数 y＝ 在(－1，＋∞)上单调递增，则 a x－a－2 的取值范围是 A．a＝－3 C．a≤－3 B．a<3 D．a≥－3 ( C )
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x
思维启迪 解析 答案 思维升华
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增 的，则实数 a 的取值范围是 ( D ) 1 1 A．a>－ B．a≥－ 4 4 1 1 C．－ ≤a<0 D．－ ≤a≤0 4 4 2－ax＋1，x<1， (2)已知 f(x)＝ x a ，x≥1， fx1－fx2 满足对任意 x1≠x2， 都有 x1－x2 >0 成立，那么 a 的取值范围是 3 [2，2) ． ________
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x
思维启迪 解析 答案 思维升华
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增 (2)由已知条件得 f(x)为增函数， 的，则实数 a 的取值范围是 ( ) 2－a>0 1 1 A．a>－ B．a≥－ ∴a>1 ， 4 4 2－a×1＋1≤a 1 1 C．－ ≤a<0 D．－ ≤a≤0 4 4 3 2－ax＋1，x<1， 解得2≤a<2， (2)已知 f(x)＝ x a ，x≥1， 3 fx1－fx2 ∴a 的取值范围是[2，2)． 满足对任意 x1≠x2， 都有 x1－x2 >0 成立，那么 a 的取值范围是 ________．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】
函数的单调性和最值
已知定义在区间
思维启迪 解析 思维升华
抽象函数的问题要根据题设 (0，＋∞)上的函数 f(x)满足 x1 f x ＝f(x1)－f(x2)，且当 x>1 及所求的结论来适当取特殊 2
当 0<x1<x2≤ a时，0<x1x2<a，又 x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 所以函数 f(x)在(0， a]上是减函数； 当 a≤x1<x2 时，x1x2>a，又 x1－x2<0，
所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)，
所以函数 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x
思维启迪 解析 答案 思维升华
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增 (2)由已知条件得 f(x)为增函数， 的，则实数 a 的取值范围是 ( D ) 2－a>0 1 1 A．a>－ B．a≥－ ∴a>1 ， 4 4 2－a×1＋1≤a 1 1 C．－ ≤a<0 D．－ ≤a≤0 4 4 3 2－ax＋1，x<1， 解得 ≤a<2， 2 (2)已知 f(x)＝ x a ，x≥1， 3 fx1－fx2 ∴a 的取值范围是[2，2)． 满足对任意 x1≠x2， 都有 x1－x2 >0 成立，那么 a 的取值范围是 3 [2，2) ． ________
知识回顾 理清教材
f(x0)＝M .
结论 M 为最大值
f(x0)＝M
M 为最小值
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) √ (3) × (4) × (5) √ (6) ×
解析
C C
4 3，1 ①②
基础知识
题型分类
思想方法
＝
的单调性．
2 2 x1 －1x2 －1
ax2－x1x1x2＋1 ＝ . 2 2 x1－1x2－1
∵－1<x1<x2<1，
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华
【例 1 】 讨论函数 f(x) ＝ 2 2 ( x － 1)( x 1 2－1)>0. ax (a>0)在 x∈(－1,1)上 2 x －1
数学
R A（文）
§2.2 函数的单调性与最值
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
基础知识·自主学习
要点梳理
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1<x2 时，都 定义 有 f(x1)<f(x2) 间 D 上是增函数 ， 那 当 x1<x2 时， 都有 f(x1)>f(x2) ， 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 减函数
∴y＝ x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为 [2，＋∞)．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x
思维启迪 解析 答案 思维升华
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增 的，则实数 a 的取值范围是 ( ) 1 1 A．a>－ B．a≥－ 4 4 1 1 C．－ ≤a<0 D．－ ≤a≤0 4 4 2－ax＋1，x<1， (2)已知 f(x)＝ x a ，x≥1， fx1－fx2 满足对任意 x1≠x2， 都有 x1－x2 >0 成立，那么 a 的取值范围是 ________．
x－5 a－3 解析 (1)y＝ ＝1＋ ， x－a－2 x－a＋2
由函数在(－1，＋∞)上单பைடு நூலகம்递增，
a－3<0 有 a＋2≤－1
，解得 a≤－3.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
ax (2)已知 f(x)＝ a 4－ x＋2 2 则实数 a 的取值范围为 A．(1，＋∞) C．(4,8)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
利用函数的单调性求参数或参 数的取值范围，解题思路为视 参数为已知数，依据函数的图 象或单调性定义，确定函数的 单调区间，与已知单调区间比 较求参．
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x
思维启迪 解析 答案 思维升华
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增 (1)当 a＝0 时，f(x)＝2x－3，在 的，则实数 a 的取值范围是 ( ) 定义域 R 上是单调递增的，故在 1 1 (－∞，4)上单调递增； A．a>－ B．a≥－ 4 4 当 a≠0 时，二次函数 f(x)的对称 1 1 C．－ ≤a<0 D．－ ≤a≤0 1 4 4 轴为 x＝－a， 2－ax＋1，x<1， 因为 f(x)在(－∞，4)上单调递增， (2)已知 f(x)＝ x 1 a ，x≥1， 所以 a<0，且－a≥4， fx1－fx2 满足对任意 x1≠x2， 都有 1 x1－x2 解得 0>a≥－4. >0 成立，那么 a 的取值范围是 1 综合上述得－4≤a≤0. ________．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x
思维启迪 解析 答案 思维升华
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增 的，则实数 a 的取值范围是 ( ) 1 1 A．a>－ B．a≥－ 4 4 1 1 C．－ ≤a<0 D．－ ≤a≤0 4 4 2－ax＋1，x<1， (2)已知 f(x)＝ x a ，x≥1， fx1－fx2 满足对任意 x1≠x2， 都有 x1－x2 >0 成立，那么 a 的取值范围是 ________．
变形、定号、判断．
基础知识
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思想方法
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题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华
解
设－1<x1<x2<1，
【例 1 】 讨论函数 f(x) ＝ 则 f(x )－f(x )＝ ax1 － ax2 1 2 x2 x2 1－1 2－1 ax (a>0)在 x∈(－1,1)上 2 x －1 2 ax1x2 － ax － ax x 2 1 2 1＋ax2
么就说函数 f(x)在区
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上升的
下降的
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(2)单调区间的定义 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是 增函数 或 减函数 ， 那么就说 函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 区间D 函数 y＝f(x)的单调区间． 叫做
基础知识
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a 跟踪训练 1 (1)已知 a>0，函数 f(x)＝x＋x (x>0)，证明：函 数 f(x)在(0， a]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数；
(1)证明 设 x1，x2 是任意两个正数，且 0<x1<x2， a a x1－x2 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x －x2＋x ＝ x1x2 (x1x2－a)． 1 2
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(2)求函数 y＝ x2＋x－6的单调区间．
(2)解 令 u＝x2＋x－6，y＝ x2＋x－6可以看作有 y＝ u与 u＝x2＋x－6 的复合函数．
由 u＝x2＋x－6≥0，得 x≤－3 或 x≥2.
∵u＝x2＋x－6 在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是 增函数，而 y＝ u在(0，＋∞)上是增函数．
题型三
【例 3】
函数的单调性和最值
已知定义在区间
思维启迪 解析 思维升华
(0，＋∞)上的函数 f(x)满足 x1 f x ＝f(x1)－f(x2)，且当 x>1 2 时，f(x)<0. (1)求 f(1)的值； (2)证明： f(x)为单调递减函数； (3)若 f(3)＝－1， 求 f(x)在[2,9] 上的最小值．
a>1， 4－a>0， 2 所以可得 a a≥4－ ＋2. 2 故选 B.
基础知识
x>1， x≤1 是 R 上的单调递增函数， ( B ) B．[4,8) D．(1,8)
解析 (2) 因为 f(x)是 R 上的单调递增函数，
解得 4≤a<8，
题型分类
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题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华
【例 1 】 讨论函数 f(x) ＝ ax (a>0)在 x∈(－1,1)上 2 x －1 的单调性．
基础知识
题型分类
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题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华
【例 1 】 讨论函数 f(x) ＝ 可根据定义，先设 ax (a>0)在 x∈(－1,1)上 －1<x1<x2<1，然后作差、 2 x －1 的单调性．
基础知识
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要点梳理
2．函数的最值 前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I， 如果存在实数 M 满足 (1)对于任意 x∈I，都 条件 有 f(x)≤M ； (2)存在 x0∈I，使得 (3)对于任意 x∈I，都 有 f(x)≥M ； . (4)存在 x0∈I，使得
又∵a>0，
∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，
的单调性．
∴f(x1)－f(x2)>0，
∴函数 f(x)在(－1,1)上为减函数．
基础知识
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题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华
利用定义法证明或判断函数单调
【例 1 】 讨论函数 f(x) ＝ 性的步骤： ax (a>0)在 x∈(－1,1)上 2 x －1 的单调性．
基础知识 题型分类
已知函数的单调性确定参数的 值或范围要注意以下两点：
①若函数在区间[a， b]上单调， 则 该函数在此区间的任意子区间上 也是单调的； ②分段函数的单调性，除注意各 段的单调性外，还要注意衔接点 的取值．
思想方法
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x－5 跟踪训练 2 (1)函数 y＝ 在(－1，＋∞)上单调递增，则 a x－a－2 的取值范围是 A．a＝－3 C．a≤－3 B．a<3 D．a≥－3 ( C )
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x
思维启迪 解析 答案 思维升华
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增 的，则实数 a 的取值范围是 ( D ) 1 1 A．a>－ B．a≥－ 4 4 1 1 C．－ ≤a<0 D．－ ≤a≤0 4 4 2－ax＋1，x<1， (2)已知 f(x)＝ x a ，x≥1， fx1－fx2 满足对任意 x1≠x2， 都有 x1－x2 >0 成立，那么 a 的取值范围是 3 [2，2) ． ________
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x
思维启迪 解析 答案 思维升华
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增 (2)由已知条件得 f(x)为增函数， 的，则实数 a 的取值范围是 ( ) 2－a>0 1 1 A．a>－ B．a≥－ ∴a>1 ， 4 4 2－a×1＋1≤a 1 1 C．－ ≤a<0 D．－ ≤a≤0 4 4 3 2－ax＋1，x<1， 解得2≤a<2， (2)已知 f(x)＝ x a ，x≥1， 3 fx1－fx2 ∴a 的取值范围是[2，2)． 满足对任意 x1≠x2， 都有 x1－x2 >0 成立，那么 a 的取值范围是 ________．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】
函数的单调性和最值
已知定义在区间
思维启迪 解析 思维升华
抽象函数的问题要根据题设 (0，＋∞)上的函数 f(x)满足 x1 f x ＝f(x1)－f(x2)，且当 x>1 及所求的结论来适当取特殊 2
当 0<x1<x2≤ a时，0<x1x2<a，又 x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 所以函数 f(x)在(0， a]上是减函数； 当 a≤x1<x2 时，x1x2>a，又 x1－x2<0，
所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)，
所以函数 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x
思维启迪 解析 答案 思维升华
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增 (2)由已知条件得 f(x)为增函数， 的，则实数 a 的取值范围是 ( D ) 2－a>0 1 1 A．a>－ B．a≥－ ∴a>1 ， 4 4 2－a×1＋1≤a 1 1 C．－ ≤a<0 D．－ ≤a≤0 4 4 3 2－ax＋1，x<1， 解得 ≤a<2， 2 (2)已知 f(x)＝ x a ，x≥1， 3 fx1－fx2 ∴a 的取值范围是[2，2)． 满足对任意 x1≠x2， 都有 x1－x2 >0 成立，那么 a 的取值范围是 3 [2，2) ． ________
知识回顾 理清教材
f(x0)＝M .
结论 M 为最大值
f(x0)＝M
M 为最小值
基础知识
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思想方法
练出高分
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夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) √ (3) × (4) × (5) √ (6) ×
解析
C C
4 3，1 ①②
基础知识
题型分类
思想方法
＝
的单调性．
2 2 x1 －1x2 －1
ax2－x1x1x2＋1 ＝ . 2 2 x1－1x2－1
∵－1<x1<x2<1，
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华
【例 1 】 讨论函数 f(x) ＝ 2 2 ( x － 1)( x 1 2－1)>0. ax (a>0)在 x∈(－1,1)上 2 x －1
数学
R A（文）
§2.2 函数的单调性与最值
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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要点梳理
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1<x2 时，都 定义 有 f(x1)<f(x2) 间 D 上是增函数 ， 那 当 x1<x2 时， 都有 f(x1)>f(x2) ， 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 减函数
∴y＝ x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为 [2，＋∞)．
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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x
思维启迪 解析 答案 思维升华
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增 的，则实数 a 的取值范围是 ( ) 1 1 A．a>－ B．a≥－ 4 4 1 1 C．－ ≤a<0 D．－ ≤a≤0 4 4 2－ax＋1，x<1， (2)已知 f(x)＝ x a ，x≥1， fx1－fx2 满足对任意 x1≠x2， 都有 x1－x2 >0 成立，那么 a 的取值范围是 ________．
x－5 a－3 解析 (1)y＝ ＝1＋ ， x－a－2 x－a＋2
由函数在(－1，＋∞)上单பைடு நூலகம்递增，
a－3<0 有 a＋2≤－1
，解得 a≤－3.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
ax (2)已知 f(x)＝ a 4－ x＋2 2 则实数 a 的取值范围为 A．(1，＋∞) C．(4,8)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
利用函数的单调性求参数或参 数的取值范围，解题思路为视 参数为已知数，依据函数的图 象或单调性定义，确定函数的 单调区间，与已知单调区间比 较求参．
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x
思维启迪 解析 答案 思维升华
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增 (1)当 a＝0 时，f(x)＝2x－3，在 的，则实数 a 的取值范围是 ( ) 定义域 R 上是单调递增的，故在 1 1 (－∞，4)上单调递增； A．a>－ B．a≥－ 4 4 当 a≠0 时，二次函数 f(x)的对称 1 1 C．－ ≤a<0 D．－ ≤a≤0 1 4 4 轴为 x＝－a， 2－ax＋1，x<1， 因为 f(x)在(－∞，4)上单调递增， (2)已知 f(x)＝ x 1 a ，x≥1， 所以 a<0，且－a≥4， fx1－fx2 满足对任意 x1≠x2， 都有 1 x1－x2 解得 0>a≥－4. >0 成立，那么 a 的取值范围是 1 综合上述得－4≤a≤0. ________．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x
思维启迪 解析 答案 思维升华
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增 的，则实数 a 的取值范围是 ( ) 1 1 A．a>－ B．a≥－ 4 4 1 1 C．－ ≤a<0 D．－ ≤a≤0 4 4 2－ax＋1，x<1， (2)已知 f(x)＝ x a ，x≥1， fx1－fx2 满足对任意 x1≠x2， 都有 x1－x2 >0 成立，那么 a 的取值范围是 ________．
变形、定号、判断．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华
解
设－1<x1<x2<1，
【例 1 】 讨论函数 f(x) ＝ 则 f(x )－f(x )＝ ax1 － ax2 1 2 x2 x2 1－1 2－1 ax (a>0)在 x∈(－1,1)上 2 x －1 2 ax1x2 － ax － ax x 2 1 2 1＋ax2