变分原理-第3章

eij =
1 (ui, j + u j ,i ) 2
（ 在 V 域 内 ）
（1）
ui − u i = 0
（在 S u 边界上）
2、 应力应变关系—又称本构方程，通常有两种表示法
∂A = σ ij ∂eij
或
∂B = eij ∂σ ij
（ 在 V 域 内 ）
（2） 3、 平衡方程—包括 V 内的平衡方程和力的边界条件
6 个应变分量 在弹性力学中共有三类 15 个待求的函数—3 个位移分量 u i ，
eij ，6 个应力分量 σ ij 。
令物体所占空间为 V，V 的边界为 S，边界 S = S u + S p ，在 S u 上给定位移， 在 S p 上给定外力。在 V 中给定体积力 Fi 。 弹性力学的方程很多，其中直接从某一客观规律导出的方程称为基本方 程。弹性力学的客观规律有三条，因此相应的基本方程也有三类。 1、 连续条件—包括几何方程和位移边界条件
（8 ）
代入式（7）得
δΠ * c = ∫∫∫
V
∂B 1 − (λi , j + λ j ,i )δσ ij + (σ ij , j + Fi )δλi dV ∂σ ij 2
+ ∫∫ λi − u i δσ ij n j dS + ∫∫ σ ij n j − p i δη i + (λi + η i )δσ ij n j dS
(
)
（7）
利用格林公式和 σ ij 的对称性，有
∫∫∫ λ δσ
i V
ij , j
dV = ∫∫ λi δσ ij n j dS − ∫∫∫ λi , j δσ ij dV
S V
= ∫∫ λi δσ ij n j dS + ∫∫ λi δσ ij n j dS − ∫∫∫
Su Sp V
1 (λi, j + λ j ,i )δσ ij dV 2
V Su V Sp
(
)
（6）
求 Π* c 的一阶变分，并把 σ ij 和 λi 、 η i 看作为独立变量，得
δΠ * c = ∫∫∫
V
∂B δσ ij + δλi (σ ij , j + Fi ) + λi δσ ij , j dV − ∫∫ u i δσ ij n j + ∫∫η i σ ij n j − p i dS SV Sp ∂σ ij
（在 V 域内）
（4 ）
4、位移边界条件
ui = u i
（在 S u 边界上）
（5 ）
此外，物理方程为非变分约束条件，它是
∂B = eij ∂σ ij
现在引用两个特定的拉氏乘子 λi 和 η i ，分别用以解除变分约束条件（1） 和变分约束条件（2） ，建立新的变分泛函
Π* σ ij , j + Fi )dV + ∫∫ η i σ ij n j − p i dS c = ∫∫∫ B (σ ) dV − ∫∫ u i σ ij n j dS + ∫∫∫ λi (
（10）
σ ij , j + Fi = 0
λi − u i = 0
（11） （12）
σ ij n j − p i = 0 η i + λi = 0
将上面各式与式（1） （2 ） （4 ） （5）对比，很容易确定
λi = u i
η i = −u i
（在 V 域内） （在 S p 边界上）
（13） （13）
1 1 Π * = ∫∫∫ A(e ) + λij eij − u i , j − u j ,i − Fi u i dV − ∫∫ p i u i dS + ∫∫ λi u i − u i dS 2 2 V Sp Su
(
)
（7） 求 Π * 的一阶变分
δΠ * = ∫∫∫
V
∂A ∂eij
δeij + eij − u i , j − u j ,i δλij − Fi u i + λij δeij − δu i , j − δu j ,i dV

1 2
1 2


1 2
1 2

− ∫∫ p i δu i dS + ∫∫ u i − u i δλi + λi δu i dS
Sp Su
(
)
[(
)
]
（10）
δu i , δλi 在 S u 上， δu i 在 S p 上都是独立的， 令 δΠ * = 0 , 得 由于 δeij , δu i , δλij 在 V 内，
∂A + λij = 0 ∂eij
（在 V 域内）
（11）
eij =
1 (ui, j + u j ,i ) 2
σ ij , j + Fi = 0
σ ij n j = p i
（在 V 域内） （在 S p 边界上）
（1） （2）
泛函为
Π c = ∫ B(σΒιβλιοθήκη Baidu)dV − ∫ u iσ ij n j dS
V Su
（3）
其变分导出的欧拉方程和自然边界条件为 3、用应力 σ ij 表示的几何方程
1 ∂B = (u i , j + u j ,i ) ∂σ ij 2
§ 3-4 胡—鹫变分原理（Hu-washizu Principle） 1954 年胡海昌在物理学报上发表了“论弹性力学与受范性体力学中的一 ，提出了三变量广义变分原理。接着 1955 年，鹫津久一郎在 般变分原理[3 ]” MIT Technical Report 上发表了类似的工作结果。人们就称这一变分原理为胡 —鹫变分原理。 为了比较系统地了解胡海昌对弹性力学一些基本变分原理的论述，这一 节还要从他的一些基本观点讲起。 一、 弹性力学的基本方程
∂A n j = pi ∂eij
平 衡 方 程
∂A ∂e ij
, j + Fi = 0
在
V
内
在 Sp 内
∂A = σ ij ∂eij
（6） 求得，它不参加变分，属非变分约束条件。 、 （2）吸收到泛函 Π 中 现在引进拉氏乘子 λij 和 λi ，把变分约束条件（1） 去，建立新的泛函
Sp Su
[(
)
]
（8） 注意到
u ∫∫∫ λ 2
i V
1
i, j
1 + u j ,i dV = ∫∫∫ λij δu i , j dV 2 V
= ∫∫ λij n j δu i dS − ∫∫∫ λij , j δu i dV
S V
（9） 把它代入式（8）得
δΠ * = ∫∫∫
λij = −
∂A ∂eij
（在 V 域内） ；
λi = −
∂A nj ∂eij
（在 S u 边界上）
（17） 把它们代入式（13）和（14） ，分别得到平衡方程和力的边界条件。把它们代 入式（7） ，得到一个以 eij ， u i 为变量的双变量广义变分原理泛函
1 1 ∂A Π *p 2 = ∫∫∫ A(e ) − eij − u i , j − u j ,i − Fi u i dV 2 2 ∂eij V
§ 3-2 H-R 变分原理 H-R 变分原理是一个两变量（ u i ， σ ij ）的弹性理论的广义变分原理，它 可以通过拉氏乘子法将最小余能原理中的两个变分约束条件—平衡方程和力 的边界条件，解除而建立。最小余能原理的非变分约束条件—物理方程，仍 保留为 H-R 变分原理的非变分约束条件。 现在来推导 H-R 变分原理的泛函。 最小余能原理的变分约束条件是 1、 平衡方程 2、 边界条件
V
∂A 1 1 + λij δeij + eij − u i , j − u j ,i δλij + (λij , j − Fi )δu i dV 2 2 ∂eij
+ ∫∫ λij n j + p i δu i dS + ∫∫ u i − u i δλi + (λi − λij n j )δu i dS
Π = ∫∫∫ A(e )dV − ∫∫∫ Fi u i dV − ∫∫ p i u i dS
V V Sp
eij =
1 (ui, j + u j ,i ) 2
在 V 内
ui = u i
在 Su 内
（3） 其变分驻值条件给出的欧拉方程和自然边界条件为 (3) （4） (4) 力 的 边 界 条 件 （5） 在式（4） 、 （5）中，以应变分别表示平衡方程和力的边界条件。 在这个变分内，没有 σ ij ， σ ij 可以通过物理方程
（在 V 域内）
（12）
λij , j − Fi = 0
（在 V 域内）
（13）
λij n j + p i = 0
（ 在 Sp 边 界 上 ）
（14）
ui − u i = 0
（ 在 Su 边 界 上 ）
（15）
λi − λij n j
（ 在 Su 边 界 上 ）
（16） 从式（11）和（16） ，可以识别出拉氏乘子 λij 和 λi
σ ij , j − Fi = 0
（在 V 域内）
（3）
σ ij n j = p i
（在 S p 边界上， p i 为 S p 上的已
知力）
σ ij n j = pi
（在 S u 边界上， p i 为 S u 上的已
Su Sp
(
)
[(
)
]
（9）
由于 δσ ij ， δλi 在 V 内， δσ ij 在 S u 上， δη i ， δσ ij 在 S p 上都是独立的，于是由泛 函驻值条件
δΠ * c = 0
得
∂B 1 − (λi , j + λ j ,i ) = 0 ∂σ ij 2
（在 V 域内） （在 V 域内） （在 S u 边界上） （在 S p 边界上） （在 S p 边界上）
这样就识别了两个拉氏乘子。把它们代入（6）式，得新的泛函
Π HR = ∫∫∫ B(σ ) + (σ ij , j + Fi )u i dV − ∫∫ u iσ ij n j dS − ∫∫ u i σ ij n j − p i dS
V Su Sp
[
]
(
)
（3-1）
这是 Hellinger-Reissner 变分原理的泛函，是一个两变量的广义变分原理，变 （2） （3） （4） 。 量为 u i 和 σ ij ，它的变分驻值条件给出四个方程，即式（1） 这个泛函中不包含 eij ，但它可依据物理方程
− ∫∫ p i u i dS − ∫∫
Sp Su
∂A n j u i − u i dS ∂eij
(
)
（3-2） 它的变分驻值条件给出式（1） 、 （2） 、 （4） 、 （5）四个方程，是一个广义变分 原理。 但式（3-2）中不包含变量 σ ij ，它可以用物理方程
∂A = σ ij ∂eij
求得。它没有参加变分，因而物理方程是一个非变分约束条件。 无论是 H-R 的 u i ， σ ij 双变量变分原理，还是 u i ， eij 双变量变分原理，都 是广义变分原理，它们的泛函取驻值，都能得到除物理方程以外的全部弹性 力学的基本方程，物理方程是非变分约束条件。
∂B = eij ∂σ ij
得到，物理方程在 Hellinger-Reissner 变分原理中是一个不参加变分的关系式，
是一个非变分约束条件。
§ 3-3 eij ， u i 双变量广义变分原理
eij ，u i 双变量广义变分原理，可以在最小位能原理的泛函中用拉氏乘子法
消去几何方程和位移边界条件这两个变分约束条件而建立起来。 最小位能原理的变分约束条件为： （ 1 ） 几 何 方 程 （1） （2）物理方程 （2） 泛函为
第三章
弹性理论的广义变分原理
§ 3-1 弹性理论各种广义变分原理的发展 在第二章里，讨论了弹性理论的最小位能原理和最小余能原理，它们分 别以位移 ui 和应力 σ ij 作为独立变量，都是单变量的变分原理。 E．Reissner 在 1950 年和 1958 年提出了第三种变分原理[1-2 ]，他把 ui 和 σ ij 作为独立变量，在非变分约束条件—物理方程的约束下，泛函取驻值的结果 相当于同时满足平衡方程、 几何方程、 力和位移全部边界条件。 由于 E． Reissner 的工作和 Hellinger 在 1914 年的工作大同小异，在国外把此变分原理称为 Hellinger-Reissner Principle，简写为 H-R 变分原理。 日本的鹫津久一郎 1955 在 1954 年， 胡海昌发表了三变量广义变分原理[3]， 人们就称这一变分原理为胡海昌—鹫津久一郎变 年发表了类似的工作结果[4]， 分原理（Hu-washizu Principle） 。