离散傅里叶变换DFT

X~ (k)Y~(k)
1 N
N 1 X~ (k )Y~(k )wNkn
k 0
1 N
N 1 N 1 ~x (m)wNmkY~(k )wNnk
k 0 m0
N 1 m0
~x (m)
1 N
N
1Y~(k
)wN(
nm)
k
k 0
N1 ~x (m)~y(n m)
m0
这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差
1
~x (
n)e
j
2
N
rn
X~(r)
n0
或写为
X~ (k )
N 1
~x (n)e
j
2
N
k n
n0
0 k N 1
1) 可求 N 次谐波的系数
X~ (k )
2） X~ (k ) 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数
3） X~ (k ) 为周期序列，周期为N。
X~ (k mN ) N 1 ~x (n)e j2 / N (kmN)n n0 N 1 ~x (n)e j2 / N kn X~ (k ) n0
N n0
0 n N 1
这两个公式的求和都只限于主值区间（0~N-1），它 们完全适用于主值序列 x(n) 与 X(k) ，因而我们可得到 一个新的定义——有限长序列离散傅里叶变换定义。
长度为N的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是 一个长度为N 的有限长序列，它们的关系为：
•时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个 周期序列。
X~(k) ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 变换对，这种对称关系可表为：
~x (n) IDFS [ X~ (k )] 1 N 1 X~ (k )e j2 / N nk
N n0
X~ (k ) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)e j2 / N kn n0
n0
N
(
1
~x (n)WNnk
)*
X~ *
k
n0
同理:
DFS ~x * n X~*k
进一步可得
DFSRe{~x n} 1 DFS[~x n ~x * n]
2 1 [ X~(k) X~ * (N k)]
2
共轭偶对称分量
DFSRe~x n
X~e
k
1 2
[
X~
(k)
X~ *
(N
k
别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即
m=0~N-1），称为周期卷积。
例： ~x(n) 、 ~y(n) ，周期为 N=7, 宽度分别为 4 和 3 ，求周期卷积。
结果仍为周期序列，周期为 N 。
由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘 积，存在着频域的周期卷积公式，
若
~f (n) ~x (n)~y(n)
im
wmk N
N
1
~x (i)wNki
wmk N
X~
(k
)
i0
由于 ~x (n) 与 X~(k ) 对称的特点，同样可证明
IDFS X~(k l) wNnl ~x(n)
3）共轭对称性
对于复序列 ~x n其共轭序列 ~x *n 满足
DFS ~x * n X~ * k
证:
DFS ~x * n N1 ~x * (n)WNnk
x(n)与 ~x (n) 的关系可描述为：
~x (n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x (n)的"主值序列"
数学表示：~x (n) x((n))N x(n) ~x (n)RN (n) x((n))N RN (n)
RN(n)为矩形序列。 符号((n))N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。
习惯上：记 WN e j2 / N ，
则DFS变换对可写为
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0
~x(n)
1 N
N
1
X~
(k
)W
N
kn
k 0
IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数变换
IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。
DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷 长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期 内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所 以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有 用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
则
F~(k ) DFS [ ~f (n)] 1 N1 X~(l )Y~(k l ) 1 N1 X~(k l )Y~(l )
N l0
N l0
§1.1.2 离散傅里叶变换（DFT）
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此 它的许多特性可推广到有限长序列上。
一个有限长序列 x(n)，长为N，
x(n)
x(n) 0
0
nN 其余n
1
为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列 ~x(n) ，它
由长度为 N 的有限长序列 x(n) 延拓而成，它们的关系：
x(
~x (n)
~x (nr)
n)
0
x(n 0
rN )
nN 其它n
1
周~x (期n)序对列于的的周“主期主值序值区列区间~x间(与n”)主，，值定主序义值列其区：第间一上个的周序期列为n=主0~值N-序1，列为x(n)。
§1.1 离散傅里叶变换（DFT）
为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其 离散傅里叶级数（DFS）表示。
§1.1.1 离散傅里叶级数（DFS） 一个周期为N的周期序列，即
~x(n) ~x(n kN)
， k为任意整数，N为周期
周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周而 复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连 续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散 的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。
W N
DFT特性：
以下讨论DFT的一些主要特性，这些特性都与周期序列 的DFS有关。
假定x(n)与y(n)是长度为N的有限长序列，其各自的离 散傅里叶变换分别为：
X(k)=DFT[x(n)] Y(k)=DFT[y(n)]
(1) 线性 DFT[ax(n)+by(n)]=aX(k)+bY(k) ,a,b为任意常数
IDFS
X~
m) wNmk X~(k)
(k l) wNnl ~x (n)
证:因为 ~x(n) 及 wNkn 都是以N为周期的函数，
所以有
DFS ~x (n m) N 1 ~x (n m)wNkn N 1m~x (i)wNkiwNkm
n0
im
wmk N
N 1m~x (i)wNki
X
x(n)
(k) DFT[x(n)] IDFT[X (k)]
N 1
x(n)WNkn
n0
1 N
N 1
X (k)WNkn
k 0
0 k N 1 0 n N 1
x(n) 与 X(k) 是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知 x(n) 就能唯一地确定 X(k) ，同样已知 X(k) 也就唯一地确定 x(n) ，实际上 x(n) 与 X(k) 都是长度为 N 的序列（复序列）都 有N个独立值，因而具有等量的信息。
)]
共轭奇对称分量
DFS
j
Im~x n
X~o
k
1 2
[
X~
(k
)
X~ * ( N
k
)]
4）周期卷积
若 F~(k ) X~(k )Y~(k )
则 ~f (n) IDFS F~(k) N1 ~x (m)~y(n m) m0
或
N 1 ~y (m)~x (n m)
m0
周期卷积
证：~f (n) IDFS
• 1798年，拿破仑侵略埃及，在侵略队伍中一些有名的数学家和科学家， Fourier就是其中的一位，他负责组织修建第一条从格勒诺布尔到都灵 的道路。Fourier也是一个拥有独特想法的一个怪才。例如，他认为酷 热是理想的环境，因此，他喜欢居住在严热的小屋里，并穿上厚厚的 衣服。1801，法国决心召回自己的军队，于是Fourier才得以重返家园。
x(n) ~x (n)
例：~x(n) 是周期为 N=8 的序列，求 n=11 和 n=-2 对 N的余数。
n 11 1 8 3 ((11))8 3 n 2 (1) 8 6 ((2))8 6
~x(11) x(3),~x(2) x(6)
因此
频域上的主值区间与主值序列：
周期序列 ~x(n) 的离散傅氏级数 X~(k ) 也是一个 周期序列，也可给它定义一个主值区间 0 k N 1 ，以及主值序列 X(k)。
周期为N的正弦序列其基频成分为：
e1 (n) e j2 / N n
K次谐波序列为：ek (n) e j 2 / N kn
但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的， 这是与连续傅氏级数的不同之处，
即
e j2 / N (kN )n e j2 / N kn
因此
ekN (n) ek (n)
将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到 (N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离 散傅里叶级数只需包含这N个复指数，
有限长序列隐含着周期性。
DFT的矩阵方程表示
x(0)
x
x(1)
,
x(N 1)
X (0)
X
X (1)
X
(N
1)
1
1
WN
1
1
XБайду номын сангаас WNx
1
WN1 WN2
W ( N 1) N
1
WN1 WN4
W 2( N 1) N
1
W N 1 N
W 2( N 1) N
( N 1)( N 1)
r
)
n
n0
N n0 k0
N k0
n0
N 1 k 0
X~ (k )[
1 N
1 e j 2 (k r ) 1 e j 2 (k r ) / N
]
1
N
N 1 j( 2 )(k r )n
eN
n0
1 0
k r sN kr
上式中[ ]部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为
零,所以有
N
~x (n) 1 N 1 X~ (k )e j2 / N kn
N K 0
利用正弦序列的周期性可求解系数 X~ (k ) 。
将上式两边乘以 e j(2 / N )rn
求和
，并对一个周期
N
1
~x (n)e
j
2 N
rn
1
N
1
N
1
X~
(k
)e
j
2 N
(
k
r
)n
1
N
1
X~
(k
N
)
1
e
j
2 N
(k
DFS的几个主要特性：
假设 ~x(n)、~y(n) 都是周期为 N 的两个周期序 列，各自的离散傅里叶级数为：
1）线性
X~(k ) DFS~x(n) Y~(k ) DFS~y(n)
DFS a~x (n) b~y(n) aX~(k ) bY~(k )
a,b为任意常数
2）序列移位DFS~x(n
(2) 循环移位 有限长序列x(n)的循环移位定义为：
f(n)=x((n+m))NRN(n)
数学表示：
X (k) X~ ( k
X~(k )RN (k ) X ((k ))N
)
再看周期序列的离散傅里叶级数变换（DFS）公式：
X~(k) DFS [~x (n)] N1 ~x (n)W kn n0
0 k N 1
~x (n) IDFS [ X~(k)] 1 N 1 X~(k)W kn
离散傅里叶变换
Fourier
• 1753年，Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成正弦加权和的形式， 但是他未能给出所需的加权系数。
• Jean-Baptiste-Joseph Fourier于1768年3月出生在法国的Auxerre，当 他8岁时不幸成了一名孤儿，被收养在一个宗教界主办的军事学校中。 在此期间，Fourier对数学产生了浓厚的兴趣。21岁那年，Fourier在 巴黎学术界论述了有关数值方程解的著名论作，这一工作使他在巴黎 的数学界出名。Fourier不仅是公认的大数学家，而且他还是一位杰出 的教师。他灵活运用历史典故使得他的讲座非常生动。实际上， Fourier所研究的主要领域是数学史。Fourier是最早以应用的眼光来解 释抽象数学概念的研究者之一。
• 回国后，Fourier被任命为格勒诺布尔伊泽尔省的长官，就是在此期间， Fourier完成了其经典之作Theorie analytiquede la chaleur(热能数学 原理)。在该著作中，他证明了任一周期函数都可以表示成正弦函数和 的形式，其中正弦函数的频率为频率的整数倍。
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义， 相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是， 直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的 处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应 用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得 以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被 广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近 年来，计算机的处理速率有了惊人的发展， 同时在数字信号处理领域出现了许多新的方 法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里 叶变换及其快速算法。