材料力学--弯曲变形PPT课件
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~~ ~
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位移边界条件
AA
A
A
AA
A
A
A
A AA
wA 0
wA 0
A 0
光滑连续条件
A
A A AA
A
A AA A
A AA A
wenku.baidu.com
wA
－弹簧变形
wALwAR
ALAR
wALwAR
12.04.2020
.
11
积分法求解步骤
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段点：集中力、集中力偶、分布载荷起止点、EI不同 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程 微分方程的积分 利用约束条件和连续光滑条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角
性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。
这一连续光滑曲线称为弹性曲线（elastic curve），或挠
度曲线（deflection curve），简称弹性线或挠曲线。
y
F
O
x
12.04.2020
.
3
2．挠度与转角
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位 置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：
dw
dx
12.04.2020
.
6
§6-2 挠曲线的微分方程
力学中的曲率公式
1M EI
数学中的曲率公式
d2w
1
dx2
3
1
d
w
2
2
dx
12.04.2020
.
7
小挠度情形下
dw
2
1
dx
d2w
1
dx2
3
1
dw dx
2
2
d2w M
dx2 EI
弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号 与 w 坐标的取向有关。
第六章 弯曲变形
基本要求
1．明确挠曲线、挠度和转角的概念，深刻理解 梁挠曲线近似微分方程的建立。
2．掌握计算梁变形的积分法和叠加法。 3．了解梁的刚度条件。
12.04.2020
.
1
§6-1 引 言
一．工程实际中的弯曲变形
12.04.2020
.
2
二．基本概念
1．挠曲线：梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹
= （x）
规定：向上的挠度为正，向下的挠度为负。 逆时针转角为正，顺时针转角为负。
挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、
弯曲刚度之间存在下列关系：
1＝ M EI
12.04.2020
.
5
在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：
dw tan
dx
y
在小变形条件下，挠曲
线较为平坦，即很小，因而 上式中tan。于是有
横截面形心处的铅垂位移，称为挠度(deflection)，用w 表示； 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的 角度，称为转角（slope） ，用 表示；
横截面形心沿水平方向的 y
位移，称为轴向位移或水
平位移。通常不予考虑。 O
x
w
12.04.2020
.
4
y
挠曲线方程：
w = w（x）
转角方程：
方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积
分常数的挠度方程与转角方程：
(x)ddw xE MIdxC
——转角方程
w(x)(E Md I)x d xC xD——挠度方程
其中C、D为积分常数。
12.04.2020
.
10
积分常数C、D由边界条件和梁段间光滑连续条件或
中间绞链连续条件确定。
~~ ~
最大转角：
A
Fab(lb) 6lEI
B
Fab(l 6lEI
a)
当a>b时，B为最大转角。
12.04.2020
.
19
AC段
16F lEb(lI2b23x12)
w16 FlE b1(lxI2b2x12)
y
A x1 a
F
C
x2 b
l
12.04.2020
.
8
w
d2w M dx 2 EI
M O
M x
d2w M dx2 EI
由于规定挠度向上为正，有
d 2w M dx2 EI
——挠曲线微分方程
仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题。
12.04.2020
.
9
§6-3 用积分法求弯曲变形
d2w dx2
M (x) EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩
b均为已知。试：讨论这一梁的弯曲变形。 y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
12.04.2020
.
16
解： AEC I段 w1： M Flb(xx11)Fl bx1
y A
x1
EIw1
Fbx12 l2
C1
EI1wFl bx613C1x1D1FRA
Fb l
a
F
C
x2 b
l
B
FRB
Fa l
x
C E段 w B I2 M F ： (lx2 b x)2 F F l(xx 2 b 2 aF )(x2a)
Ew I2 F l x b 22 2F(x2 2a)2C2
12.04E .2020 2 I w F l x 6 b 2 3F(x2 6a .)3C 2x2D 2
17
EIw1
Fbx12 l2
C1
EI1wFl bx613C1x1D1
y
F
A
C
x1 x2
a
b
Ew I2 F l x b 22 2F(x2 2a)2C2
得： CD 0
12.04.2020
.
F Bx
14
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Fx (x2l)
2EI w Fx2 (x3l)
6EI
y
A x l
最大转角和最大挠度分别为：
maxB
Fl2
2EI
wmaxvB
Fl3 3EI
12.04.2020
.
F Bx
15
例6-2 已知：简支梁受力如图示。F、EI、l、a、
12.04.2020
.
12
例6-1 已知：悬臂梁受力如图示，F、l、EI均为
已知。求：梁的挠曲线、转角方程及最大挠度和转角
y
A x l
F Bx
12.04.2020
.
13
y 解：
M (x)F(lx) A
x
Ew IF xFl
l
Ew IFx2FlxC 2
EIw Fx3Flx2C xD 62
由边界条件： x0 时 w ， 0 , w 0
12.04.2020
.
18
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
AC段
16F lEb(lI2b23x12)
w16 FlE b1(lxI2b2x12)
y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
CB段 2 6 F lE [b l2 (I b 2 3 x 2 2 ) 3 b l(x 2 a )2 ]
w 2 6 F lE [b l2 (I b 2 x 2 2 )x 2 b l(x 2 a )3 ]
l
E2 I w F l x 6 b 2 3F(x2 6a)3C 2x2D 2
Bx
由连续和光滑条件： x 1 x 2 a 时 w 1 w 2 ， ,w 1 w 2
得：
C 1C 2, D 1D 2
由边界条件： x10时w ， 10 x2l时w ， 20
得：
D1D20 C1C2F 6lb (l2b2)
~
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~ ~~
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位移边界条件
AA
A
A
AA
A
A
A
A AA
wA 0
wA 0
A 0
光滑连续条件
A
A A AA
A
A AA A
A AA A
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wA
－弹簧变形
wALwAR
ALAR
wALwAR
12.04.2020
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11
积分法求解步骤
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段点：集中力、集中力偶、分布载荷起止点、EI不同 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程 微分方程的积分 利用约束条件和连续光滑条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角
性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。
这一连续光滑曲线称为弹性曲线（elastic curve），或挠
度曲线（deflection curve），简称弹性线或挠曲线。
y
F
O
x
12.04.2020
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3
2．挠度与转角
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位 置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：
dw
dx
12.04.2020
.
6
§6-2 挠曲线的微分方程
力学中的曲率公式
1M EI
数学中的曲率公式
d2w
1
dx2
3
1
d
w
2
2
dx
12.04.2020
.
7
小挠度情形下
dw
2
1
dx
d2w
1
dx2
3
1
dw dx
2
2
d2w M
dx2 EI
弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号 与 w 坐标的取向有关。
第六章 弯曲变形
基本要求
1．明确挠曲线、挠度和转角的概念，深刻理解 梁挠曲线近似微分方程的建立。
2．掌握计算梁变形的积分法和叠加法。 3．了解梁的刚度条件。
12.04.2020
.
1
§6-1 引 言
一．工程实际中的弯曲变形
12.04.2020
.
2
二．基本概念
1．挠曲线：梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹
= （x）
规定：向上的挠度为正，向下的挠度为负。 逆时针转角为正，顺时针转角为负。
挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、
弯曲刚度之间存在下列关系：
1＝ M EI
12.04.2020
.
5
在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：
dw tan
dx
y
在小变形条件下，挠曲
线较为平坦，即很小，因而 上式中tan。于是有
横截面形心处的铅垂位移，称为挠度(deflection)，用w 表示； 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的 角度，称为转角（slope） ，用 表示；
横截面形心沿水平方向的 y
位移，称为轴向位移或水
平位移。通常不予考虑。 O
x
w
12.04.2020
.
4
y
挠曲线方程：
w = w（x）
转角方程：
方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积
分常数的挠度方程与转角方程：
(x)ddw xE MIdxC
——转角方程
w(x)(E Md I)x d xC xD——挠度方程
其中C、D为积分常数。
12.04.2020
.
10
积分常数C、D由边界条件和梁段间光滑连续条件或
中间绞链连续条件确定。
~~ ~
最大转角：
A
Fab(lb) 6lEI
B
Fab(l 6lEI
a)
当a>b时，B为最大转角。
12.04.2020
.
19
AC段
16F lEb(lI2b23x12)
w16 FlE b1(lxI2b2x12)
y
A x1 a
F
C
x2 b
l
12.04.2020
.
8
w
d2w M dx 2 EI
M O
M x
d2w M dx2 EI
由于规定挠度向上为正，有
d 2w M dx2 EI
——挠曲线微分方程
仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题。
12.04.2020
.
9
§6-3 用积分法求弯曲变形
d2w dx2
M (x) EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩
b均为已知。试：讨论这一梁的弯曲变形。 y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
12.04.2020
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16
解： AEC I段 w1： M Flb(xx11)Fl bx1
y A
x1
EIw1
Fbx12 l2
C1
EI1wFl bx613C1x1D1FRA
Fb l
a
F
C
x2 b
l
B
FRB
Fa l
x
C E段 w B I2 M F ： (lx2 b x)2 F F l(xx 2 b 2 aF )(x2a)
Ew I2 F l x b 22 2F(x2 2a)2C2
12.04E .2020 2 I w F l x 6 b 2 3F(x2 6a .)3C 2x2D 2
17
EIw1
Fbx12 l2
C1
EI1wFl bx613C1x1D1
y
F
A
C
x1 x2
a
b
Ew I2 F l x b 22 2F(x2 2a)2C2
得： CD 0
12.04.2020
.
F Bx
14
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Fx (x2l)
2EI w Fx2 (x3l)
6EI
y
A x l
最大转角和最大挠度分别为：
maxB
Fl2
2EI
wmaxvB
Fl3 3EI
12.04.2020
.
F Bx
15
例6-2 已知：简支梁受力如图示。F、EI、l、a、
12.04.2020
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12
例6-1 已知：悬臂梁受力如图示，F、l、EI均为
已知。求：梁的挠曲线、转角方程及最大挠度和转角
y
A x l
F Bx
12.04.2020
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13
y 解：
M (x)F(lx) A
x
Ew IF xFl
l
Ew IFx2FlxC 2
EIw Fx3Flx2C xD 62
由边界条件： x0 时 w ， 0 , w 0
12.04.2020
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18
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
AC段
16F lEb(lI2b23x12)
w16 FlE b1(lxI2b2x12)
y
F
A
C
x1 x2
a
b
l
Bx
CB段 2 6 F lE [b l2 (I b 2 3 x 2 2 ) 3 b l(x 2 a )2 ]
w 2 6 F lE [b l2 (I b 2 x 2 2 )x 2 b l(x 2 a )3 ]
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E2 I w F l x 6 b 2 3F(x2 6a)3C 2x2D 2
Bx
由连续和光滑条件： x 1 x 2 a 时 w 1 w 2 ， ,w 1 w 2
得：
C 1C 2, D 1D 2
由边界条件： x10时w ， 10 x2l时w ， 20
得：
D1D20 C1C2F 6lb (l2b2)