北师大版选修直线与圆锥曲线的交点张
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①Δ>0 时，直线与圆锥曲线相交于不同的两点； ②Δ＝0 时，直线与圆锥曲线相切于一点； ③Δ<0 时，直线与圆锥曲线没有公共点．
(2)若 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，当圆锥曲线 是双曲线时，直线 l 与双曲线的__渐_近__线__平行；当圆锥曲 线是抛物线时，直线 l 与抛物线的_对__称_轴___平行(或重合)．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆xa22＋by22＝1 上不同的两点，
xa122＋yb122＝1 且两式x类圆1相≠似锥减x的曲2，可可线x得1得为＋：圆抛xx2y≠1锥物1－－0曲线yx，22线M·y2为(＝xyx110＋＋双2，pyyx曲x022()＝p线为>－0xaA)22时ba－B22，，by的22即＝有中_1_点__时_k_，k_A_，AB_则_B有_=___xy_y_x_p00a_0_2_2k_=2__＋A__．-B__aby_b_xy222_2_020＝__=___1ab．，．22
得F1A，AB，BF1依次成等差数列，求直线 l 的方
wenku.baidu.com
程． 椭圆C的方程为
x2 y2 42
1
直线l的方程为 y (x 2)
1、研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般化为研究其直线方 程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空 题常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．
2、有关弦中点的轨迹、中点弦所在直线的方程、中点坐标问 题，一般采用“设而不求” “作差法”．
1．若 a≠b 且 ab≠0，则直线 ax－y＋b＝0 和
二次曲线 bx2＋ay2＝ab 的位置关系可能是( )
2．已知双曲线方程
x2－y42＝1，过点
C P(1，1)
且与双曲线只有一个公共点的直线的条数为( A)
A．4
B．3
C．2 D．1
3．设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的 直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|＝( C )
3、利用弦长公式时，应注意应用韦达定理与判别式，数形结 合思想、转化与化归思想在综合性圆锥曲线中的应用．
1．直线 y＝43x＋b(b≠0)与双曲线x92－1y62 ＝1 的交点个数是( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．与 b 的取值有关 2．已知直线 l：x＋ky－3k＝0，如果它与双曲线x42－y32＝1 只有一个公共 点，则 k 的取值个数是( )
A.
30 3
B．6
C．12
D．7 3
4．过点 P(8，1)的直线与双曲线 x2－4y2＝4 相交于 A，B 两点， 且 P 是线段 AB 的中点，则直线 AB 的方程是__2_x_-y_-1_5_=_0_____．
1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看，可分为三类：____无_公__共_点_____； __仅_有__一_个__公_共__点_______；___有__两_个__相_异__的__公_共__点_______．具体 如下： ①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线 上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决． ②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆， 表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双 曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或 直线与其对称轴平行． ③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线 与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为 圆锥曲线的弦．
AB 的中点为 D.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)试判断 D、P、Q 三点是否共线，并证明你的结论．
抛物线C的方程为 x2 4 y
D、P、Q三点均在直线 x x0
例3 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴
上，离心率 e＝ 22，且经过点 M( 2， 1)．
(1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F2，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，使
1＋k12·|y1－y2| ＝_________________________．
(2)若弦过焦点，可用焦半径公式来表示弦长． 如抛物线 y2＝2px(p>0)，|AB|＝___x_1_＋__x_2＋__p_____．
3．涉及弦的中点及直线的斜率问题，可考虑用“点差
法”，构造出 kAB＝xy11－－yx22和 x1＋x2，y1＋y2 运用整体代入的方 法求中点或斜率，体现“设而不求”的思想．
例1 过点(0，3)的直线 l，与双曲线x42－y32＝1 只有一个公共点，求直
线 l 的方程．
y 3 x3 y 3x3 2
例2 已知抛物线 C 的顶点在原点，其焦点 F 的坐标为(0，1)，P 是抛
物线 C 上一动点，设抛物线 C 在点 P 处的切线为 l，过点 F 作直线 l
的垂线交其准线于点 Q，过 F 作 l 的平行线交抛物线于 A、B 两点，弦
1.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，常常与平面 向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题的求解 方法； 2.掌握直线与圆锥曲线相交，求其弦长、中点、定点、定值、 最值、面积、对称、存在性问题的求解方法；
3. 从近三年高考情况来看，以直线与圆锥曲线的位置关 系为主，充分利用数形结合思想，转化与化归思想来解决 综合性问题.同时注重数学思想在解题中的指导作用，对运 算能力的培养.
2．圆锥曲线的弦长 (1)设斜率 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长
|AB|＝_____1_＋__k_2·__|_x_1－___x_2|____
＝____（__1_＋__k_2_）__[_（__x_1＋___x_2）__2_－__4_x_1_x_2]___
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入二 次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断．
设直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0， 圆锥曲线方程 f(x，y)＝0. 由Af（x＋x，Byy＋）C＝＝0 0，消元(x 或 y)， 如消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0.
(1)若 a≠0，设 Δ＝b2－4ac.
(2)若 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，当圆锥曲线 是双曲线时，直线 l 与双曲线的__渐_近__线__平行；当圆锥曲 线是抛物线时，直线 l 与抛物线的_对__称_轴___平行(或重合)．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆xa22＋by22＝1 上不同的两点，
xa122＋yb122＝1 且两式x类圆1相≠似锥减x的曲2，可可线x得1得为＋：圆抛xx2y≠1锥物1－－0曲线yx，22线M·y2为(＝xyx110＋＋双2，pyyx曲x022()＝p线为>－0xaA)22时ba－B22，，by的22即＝有中_1_点__时_k_，k_A_，AB_则_B有_=___xy_y_x_p00a_0_2_2k_=2__＋A__．-B__aby_b_xy222_2_020＝__=___1ab．，．22
得F1A，AB，BF1依次成等差数列，求直线 l 的方
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程． 椭圆C的方程为
x2 y2 42
1
直线l的方程为 y (x 2)
1、研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般化为研究其直线方 程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空 题常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．
2、有关弦中点的轨迹、中点弦所在直线的方程、中点坐标问 题，一般采用“设而不求” “作差法”．
1．若 a≠b 且 ab≠0，则直线 ax－y＋b＝0 和
二次曲线 bx2＋ay2＝ab 的位置关系可能是( )
2．已知双曲线方程
x2－y42＝1，过点
C P(1，1)
且与双曲线只有一个公共点的直线的条数为( A)
A．4
B．3
C．2 D．1
3．设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的 直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|＝( C )
3、利用弦长公式时，应注意应用韦达定理与判别式，数形结 合思想、转化与化归思想在综合性圆锥曲线中的应用．
1．直线 y＝43x＋b(b≠0)与双曲线x92－1y62 ＝1 的交点个数是( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．与 b 的取值有关 2．已知直线 l：x＋ky－3k＝0，如果它与双曲线x42－y32＝1 只有一个公共 点，则 k 的取值个数是( )
A.
30 3
B．6
C．12
D．7 3
4．过点 P(8，1)的直线与双曲线 x2－4y2＝4 相交于 A，B 两点， 且 P 是线段 AB 的中点，则直线 AB 的方程是__2_x_-y_-1_5_=_0_____．
1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看，可分为三类：____无_公__共_点_____； __仅_有__一_个__公_共__点_______；___有__两_个__相_异__的__公_共__点_______．具体 如下： ①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线 上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决． ②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆， 表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双 曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或 直线与其对称轴平行． ③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线 与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为 圆锥曲线的弦．
AB 的中点为 D.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)试判断 D、P、Q 三点是否共线，并证明你的结论．
抛物线C的方程为 x2 4 y
D、P、Q三点均在直线 x x0
例3 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴
上，离心率 e＝ 22，且经过点 M( 2， 1)．
(1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F2，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，使
1＋k12·|y1－y2| ＝_________________________．
(2)若弦过焦点，可用焦半径公式来表示弦长． 如抛物线 y2＝2px(p>0)，|AB|＝___x_1_＋__x_2＋__p_____．
3．涉及弦的中点及直线的斜率问题，可考虑用“点差
法”，构造出 kAB＝xy11－－yx22和 x1＋x2，y1＋y2 运用整体代入的方 法求中点或斜率，体现“设而不求”的思想．
例1 过点(0，3)的直线 l，与双曲线x42－y32＝1 只有一个公共点，求直
线 l 的方程．
y 3 x3 y 3x3 2
例2 已知抛物线 C 的顶点在原点，其焦点 F 的坐标为(0，1)，P 是抛
物线 C 上一动点，设抛物线 C 在点 P 处的切线为 l，过点 F 作直线 l
的垂线交其准线于点 Q，过 F 作 l 的平行线交抛物线于 A、B 两点，弦
1.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，常常与平面 向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题的求解 方法； 2.掌握直线与圆锥曲线相交，求其弦长、中点、定点、定值、 最值、面积、对称、存在性问题的求解方法；
3. 从近三年高考情况来看，以直线与圆锥曲线的位置关 系为主，充分利用数形结合思想，转化与化归思想来解决 综合性问题.同时注重数学思想在解题中的指导作用，对运 算能力的培养.
2．圆锥曲线的弦长 (1)设斜率 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长
|AB|＝_____1_＋__k_2·__|_x_1－___x_2|____
＝____（__1_＋__k_2_）__[_（__x_1＋___x_2）__2_－__4_x_1_x_2]___
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入二 次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断．
设直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0， 圆锥曲线方程 f(x，y)＝0. 由Af（x＋x，Byy＋）C＝＝0 0，消元(x 或 y)， 如消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0.
(1)若 a≠0，设 Δ＝b2－4ac.